函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

>基礎(chǔ)練一水平一

(30分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.(多選題)已知函數(shù)片Ax)是定義在R上的奇函數(shù),則下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()

A.『f(|x|)B.y=M

C.y=x,f(x)D.尸/'(x)+x

【解析】選A、B、C.因?yàn)?tr)的定義域?yàn)镽,又因?yàn)??(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函數(shù)；

令尸(x)=f(*2),則尸(-X)=F(V)=F(x),

所以尸(x)是偶函數(shù)，即B是偶函數(shù)；

令M(x)=x?f(x),則"(-X)=-x?f(-x)-x?f(x)=,〃(x),所以.1/(%)是偶函數(shù)，即C是偶函數(shù)；

令N(x)-f(x)+x,則/V(-X)-x=-f(x)-x=-[f{x)+x]--N{x),所以/V(x)是奇函數(shù)，即D是

奇函數(shù).

2.己知函數(shù)f(x)=|『l|+a|x+l|,則“下-1"是'"(X)為奇函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選C.若函數(shù)/(%)為奇函數(shù),且函數(shù)F(x)的定義域?yàn)镽,

F(x)+/(->)=I+a|x+11+|-xT|+

a|-A+l|=|尸1+1廣11+a|科11+a|七11=

(濟(jì)1)+|戶11)=0,

所以Kl=0,解得a=-l.

所以“a=T”是“f(x)為奇函數(shù)”的充分必要條件.

3.偶函數(shù)尸f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減，則有()

A.f(T)>/(1)>『(-n)

B./Q^>A-D>/'(-n)

C.F(-n)>F(-l)>d

D.『(-IX-JIDO

［解析］選A.因?yàn)镕(x)是偶函數(shù)，所以a-D*⑴，/"(-n)=F(口).又f(x)在［0,4］上單調(diào)遞

減，所以f(l)>O>f(”).所以/■(T)〉O〉f(-Jt).

4.已知函數(shù)*/U)是偶函數(shù),其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程A%)=0的所有實(shí)根之和是

()

A.4B.2C.1D.0

【解析】選D.因?yàn)榕己瘮?shù)產(chǎn)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以/Xx)與x軸的四個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于y

軸對(duì)稱.

因此,若一根為刈則它關(guān)于y軸對(duì)稱的根為-為；

若另一根為四則它關(guān)于y軸對(duì)稱的根為-%.

所以F(x)=0的四根之和為為+(-汨)+及+(-及)=0.

5.已知f(x)在［a,6］上是奇函數(shù)，且/U)在［a,句上的最大值為加，則函數(shù)尸(x)=f(x)+3在

［a,6］上的最大值與最小值之和為()

A.2/3B.2〃升6

C.6-2/z/D.6

【解析】選D.因?yàn)槠婧瘮?shù)Ax)在出物上的最大值為m,所以它在［a,6］上的最小值為-網(wǎng)所

以函數(shù)尸(x)=f(x)+3在［a,⑸上的最大值與最小值之和為加3+(-帆3)=6.

6.已知/Xx)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)“〉0時(shí)，/"(x)=*-4x,則不等式xF(x)>0的解集為

()

A.(-8,-4)U(4,+8)

B.(-4,0)U(4,+8)

C.(-oo,-4)U(0,4)

D.(-4,4)

【解析】選A.因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/"(x)=f-4x,

所以當(dāng)水0時(shí)，/'(x)=-x(戶4),

當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)>0=>f{x)>0=V-4x>0=x>4,

當(dāng)K0時(shí),xf(x)>0=f(x)<0=-x(x+4)<0=>x<-4,

所以不等式xf{x}>0的解集為(-8,-4)u(4,+8).

二、填空題(每小題5分，共10分)

1

7.設(shè),3是偶函數(shù)，晨x)為奇函數(shù)'又,)+4)=-'則

f(x)=,g(*)

1

【解析】因?yàn)閒(x)+g(x)=—,①

X-1

1

所以十止玄.又上)為偶函數(shù)'

1

g(x)為奇函數(shù),所以F(x)-g(x)=---.②

-X-1

①+②，得上)1:三/@得"石X.

1X

答案:石K

8.已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞減，f(l)=0,則不等式f(x)＞0的解集

為

【解析1根據(jù)題意，由于『(1)=0,

則/1(x)>0=f(x)>F(l),

f(x)是R上的偶函數(shù),且在［0,+8)上單調(diào)遞減,

解得-1＜水1,

則不等式f(x)＞0的解集為｛削.

答案：｛＞［-1＜京1｝

國(guó)J【補(bǔ)償訓(xùn)練】

定義在R上的奇函數(shù)/U)單調(diào)遞減,則不等式A2^+l)+/-(x-4)＞0的解集為.

【解析】因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),且單調(diào)遞減,

所以由f(2廿1)+『(/_4)＞。得

A2A+1)>A4-/);

所以2x<-K4-x2;

解得-3〈水1;

所以原不等式的解集為(-3,1).

答案：(-3,1)

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知/Xx)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)

=(/+1)(A+1),求f{x),g{x).

【解析】因?yàn)?'(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)，

所以F(-x)=f(X),g(-x)=-g(x).

在已知條件中，將X全部換成-X,

得/1(-X)+g(-X)=(V+D(-A+1),

即■T(x)-g(^=(f+l)(-xH).

'/(%)+g(x)=(X2+1)(%+1),

(/(x)-^(x)=(x2+1)(-%+1),

得F(x)=f+l,g(x)=x(f+l).

10.判斷函數(shù)f(x)=|戶aH『a|(a6R)的奇偶性.

【解析】對(duì)a進(jìn)行分類討論.

若3=0,則/'(X)=|x|Tx|=0.

因?yàn)槎x域?yàn)镽,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

若a#0,因?yàn)?'(-x)=|-肝a|-|-尸a|=|尸a|-|戶a|=-(|戶a|-|尸a|)=-F(x),所以/'(x)是奇函

數(shù).

綜上,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);當(dāng)。力0時(shí),函數(shù)/Xx)是奇函數(shù).

為提升練一水平二..........

......................................(35分鐘70分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.已知F(x)=aV+6戶1,且F(5)=7,貝UF(-5)的值是()

A.-5B.-7C.5D.7

【解析】選A.因?yàn)閒^-ax+bx^t,令g(x)=af+6x,f(x)=g(x)+l,則

g(-x)=a(-*)3+b*(-x)=-{ax+bx)--g{x),

即g(x)=af+康為奇函數(shù)，

又F(5)=7,所以f(5)=g(5)+l=7,

所以g⑸=6,所以g(-5)=-g(5)=-6,

所以f(-5)=g(-5)+l=-6+l=-5.

2.函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，且為奇函數(shù)，若/U)=-l,則滿足-lWf(尸2)W1的x的取值范

圍是()

A.［-2,2］B.［-1,1］

C.［0,4］D.［1,3］

【解析】選D.因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，/?⑴=T,

所以A-D=-/(1)=1,

由TW/■(尸2)W1,得F(l)Wf(尸2)WF(-1),

又因?yàn)镕(x)在R上單調(diào)遞減，

所以所以1WXW3.

3.(多選題)定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)/■(*)滿足/?(戶l)=-f(x),且/1(x)在11,0］上是增函

數(shù)，則()

A.f(x)是周期函數(shù)

B.f(x)的圖象關(guān)于尸1對(duì)稱

C.f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增

D.f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減

【解析】選A、B.由于/?(戶l)=-f(x),所以/"(戶2)=-7?(戶l)=f(x),周期為2,故A正確；

由于F(2-x)=f(-x)=F(x),圖象關(guān)于直線尸1對(duì)稱,故B正確；

偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，故C不正確；

根據(jù)周期性,函數(shù)在［1,2］上的單調(diào)性與［T,0］上的單調(diào)性相同,故D不正確.

4.已矢口f(x)=ax-bx+cx+2,且A-5)=m,貝ij/'(5)+F(-5)的值為()

A.4B.0C.2/nD.-帆4

【解析】選A.由A_5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)'+2=~a?5'+b?5s-c,5'+2=m,

得a?5'-b?5a+c?53-2-m,UJlJf(5)=a?5'-6?5"+c?5‘+2=2-加2=4-0.

所以/'(5)+f(-5)=4-研〃產(chǎn)4.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí)，/'(x)=x(l-x),則當(dāng)-1^X0

時(shí)，/Xx)=.

【解析】當(dāng)TW水0時(shí)，

f(X)=-/■(-X)=-[-x(1+x)]=x(l+x).

答案:x(l+x)

x2+(a+l)x+a

6.設(shè)函數(shù)f(x)=——;---------為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

x

x2+(a+l)x+a

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)F(x)二一■——:——為奇函數(shù),

x

x2-(a+l)x+ax2+(a+l)x+a

所以f(-x)+f(x)二一-——-——+—■——;——-0,

-XX

化簡(jiǎn)可得濟(jì)1=0,解得王T.

答案：T

71(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，若F(2Y)+F(4Y)<0,則a的取值范圍

為.

【解析】因?yàn)閒(2-a)+f(4-a)〈0,

所以A2-a)<-/(4-a).

又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以-f(4-a)=/'(看4),

所以f(2-a)〈f(a-4).又因?yàn)閒(x)是單調(diào)遞減函數(shù),所以2-a>才4,所以a<3.

答案:水3

8.己知f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)X0時(shí)，f(x)=V+3戶2.若當(dāng)xG［1,3］時(shí)，/'(x)的最大值為///,最小

值為n,則m-n的值為.

【解析】因?yàn)樗?時(shí),f(x)=/+3e2=(%+121

4,

所以當(dāng)xd[-3,-1]時(shí),

f(^)max=f(-3)=2.

1

因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)在［1,3］上的最小值和最大值分別是-2,一,

4

1199

所以〃尸一，n=~2.所以m~n=—(-2)=-，即nrn的值為一.

4444

9

答案:一

4

三、解答題(共30分)

9.(10分)已知函數(shù)F(x)是偶函數(shù)，當(dāng)xG[0,+8)時(shí)，f(x)=x-l,求滿足的x的取值

范圍.

【解析】設(shè)X0,則-x>0,所以

因?yàn)?Xx)為偶函數(shù),所以即/"(x)=-尸1(求0),

%-1(%>0),

所以f(X)=?

、-%-1(%<0).

x-2(x>1),

所以-(尸1)=4

<1).

當(dāng)X)1時(shí)，由/"(xT)=尸2<0,得當(dāng)2,

所以1〈水2;

當(dāng)水1時(shí)，由/?(尸1)=-求0,得x>0,

所以0〈水1,

綜上可知,滿足A^lXO的x的取值范圍為{x|0<x<2}.

10.(10分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)(x+⑸(a"GR)為R上的偶函數(shù).

(1)求a,6的關(guān)系式.

(2)求關(guān)于x的方程f(x)=O的解集.

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=(戶a)(戶6)=/+36)肝ab是偶函數(shù)，所以/'(-x)=FO)對(duì)于xGR恒成

立，

所以(-x)\(a+6)x+ab=x+(a+Z?)x^ab,

即2(a+6)A=0對(duì)于