4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用5種常見考法歸類1、幾類已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2、應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程（1）審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．（2）建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．（3）求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．（4）還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．3、指數(shù)函數(shù)模型問題的求解策略(1)對于人口增長、銀行復(fù)利、細胞分裂等增長率問題，在實際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知條件中給定的值對應(yīng)求解．(2)函數(shù)y＝c·akx(a，c，k為常數(shù))是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)模型，它在電學(xué)、生物學(xué)、人口學(xué)、氣象學(xué)等方面都有廣泛的應(yīng)用，解決這類給出指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題的基本方法是待定系數(shù)法，即根據(jù)題意確定相關(guān)的系數(shù).4、對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略(1)基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實際問題求解．(2)求解策略：首先根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實際意義．5、建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟考點一根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型考點二指數(shù)型函數(shù)模型考點三對數(shù)型函數(shù)模型考點四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異考點五建立擬合函數(shù)模型解決實際問題考點一根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型1．（2023·高一單元測試）下表顯示出函數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（

）x210123yA．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．對數(shù)函數(shù)模型 D．指數(shù)函數(shù)模型【答案】D【分析】利用各類型函數(shù)的特點，取點，設(shè)出函數(shù)解析式，代入其他對應(yīng)值驗證即可求解.【詳解】由變量可取負數(shù)，故函數(shù)模型暫排除對數(shù)函數(shù)模型；故C錯誤；取點，設(shè)一次函數(shù)，則，解得，即，而當時，，所以不是一次函數(shù)模型；故A錯誤；設(shè)二次函數(shù)，則

解得，即.當時，，故不滿足題意；故B錯誤；設(shè)指數(shù)函數(shù)，則，解得，即，代入其他值，驗證：接近；接近；接近；接近，故D正確.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若三個變量，，隨著變量xx分別呈函數(shù)模型：，，變化的變量依次是（）x13579115254565851055292452189196851771495A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)型的性質(zhì)即可得其變化特征，即可求解.【詳解】由題表可知，隨著x的增大而迅速增大，是指數(shù)型函數(shù)的變化；隨著x的增大而增大，但是變化緩慢，是對數(shù)型函數(shù)的變化；相對于的變化要慢一些，是冪函數(shù)型的變化.故選:.3．（2023秋·高一單元測試）在一次數(shù)學(xué)實驗中，某同學(xué)運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x123y0.240.512.023.988.02在以下四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，由圖觀察散點圖符合指數(shù)型函數(shù)圖象.【詳解】由題中表格數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示，觀察圖象，類似于指數(shù)函數(shù)圖象，對于A，是一次函數(shù)，圖象是一條直線，所以A錯誤，對于B，是以y軸為對稱軸的二次函數(shù)，所以B錯誤，對于C，是對數(shù)型函數(shù)，由于表中的取到了負數(shù)，所以C錯誤，對于D，是指數(shù)型函數(shù)，所以D正確，故選：D4．（2023秋·高一課時練習(xí)）有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，作出散點圖，結(jié)合選項和函數(shù)的單調(diào)性，逐項判斷即可求解.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示，結(jié)合選項，函數(shù)的增長速度越來越緩慢，不符合題意；函數(shù)隨著的增大，不斷減小，不符合題意；函數(shù)的增長速度越來越快，符合題意；函數(shù)增長速度不變，不符合題意；所以最接近的一個函數(shù)是，故選：C5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：利用散點圖看增長趨勢確定函數(shù)，法二：結(jié)合表中數(shù)據(jù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】法一：由表格數(shù)據(jù)得到如下散點圖，為遞增趨勢，隨變大增長率變小，只有B符合；法二：對于A，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，增長速度很快，且在時，時，代入值偏差較大，不符合要求；對于B，函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)，增長速度緩慢，且在時，時，基本符合要求；對于C，函數(shù)是二次函數(shù)，且當時，時，代入值偏差較大，不符合要求；對于D，函數(shù)，當時，代入值偏差較大，不符合要求，故選：B.6．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期中）某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠面積增加數(shù)（萬公頃）關(guān)于年數(shù)（年）的函數(shù)關(guān)系較為接近的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將，，分別代入選項中的函數(shù)，逐項驗證比較，即可求解.【詳解】由題意，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，即，，，對于A中，函數(shù)，當時，和0.76相差較大；對于B中，函數(shù)，當時，和0.4相差較大；對于C中，函數(shù)，當時，和0.4相差較大；對于D中，函數(shù)，當時，，當時，，當時，和0.76相差0.04，綜合可得，選用函數(shù)關(guān)系較為近似．故選：D.7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習(xí)）小明在調(diào)查某班小學(xué)生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數(shù)據(jù)：月份23456…元11…請從模型，模型中選擇一個合適的函數(shù)模型，并預(yù)測小學(xué)生零花錢首次超過300元的月份為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用給出函數(shù)的表格法確定自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出自變量的范圍.【詳解】根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，畫出散點圖，并畫出函數(shù)及的圖象．如圖：觀察發(fā)現(xiàn)，這些點基本上是落在函數(shù)圖象上或附近，因此用這一函數(shù)模型．當時，，則有.由且，最小值為10.故選：C.8．（2023秋·高一課時練習(xí)）某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢．現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①，②，③(其中為正常數(shù)，且).若要較準確反映數(shù)學(xué)成績與考試次序關(guān)系，應(yīng)選作為模擬函數(shù)(填序號)；若，則所選函數(shù)的解析式為．【答案】③【分析】根據(jù)該同學(xué)的成績變化選定函數(shù)模型，然后根據(jù)已知條件求得解析式.【詳解】由于指數(shù)函數(shù)增長迅速，而對數(shù)型函數(shù)增長緩慢，因此滿足先上升后下降再上升的是，∵，且，∴，解得，∴.故答案為：③；9．（2023秋·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）某廠家為增加某種商品的銷售量，決定投入廣告據(jù)市場調(diào)查，廣告投入費用（單位：萬元）與增加的銷售量（單位：千件）滿足下列數(shù)據(jù)：增加的銷售量01245廣告投入費用為了描述廣告投入費用與增加的銷售量的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，，，，(1)選出你認為最符合題意的函數(shù)模型，并說明理由；(2)根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；你認為增加的銷售量為多少時，每千件的廣告投入費用最少？【答案】(1)選擇是最合適的模型，理由見解析(2)；千件【分析】（1）可利用特殊點與單調(diào)性，排除不合適的函數(shù)模型；（2）可將表中數(shù)據(jù)代入（1）中所選函數(shù)模型，求出函數(shù)，則每件的廣告費用為,繼而求其最值即可.【詳解】（1），在區(qū)間上單調(diào)遞減，與表中數(shù)據(jù)矛盾，該模型不合適,，則函數(shù)在處無意義,與表中數(shù)據(jù)矛盾，該模型不合適,故選擇是最合適的模型.（2）將表中的數(shù)據(jù)代入可得，解得所以；設(shè)每千件的廣告費用為，則，所以當時，最小值為，故銷售量增加達到千件時，才能使每千件的廣告投入費用最少.考點二指數(shù)型函數(shù)模型10．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某地投資億元進行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，且再過年，該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由求出的值，再令求出，從而求出.【詳解】依題意，顯然，即，所以，則，所以，令，即，所以，即，所以，所以該地投資基礎(chǔ)建設(shè)年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的倍，所以.故選：C11．【多選】（2023秋·甘肅天水·高三校考階段練習(xí)）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復(fù)合袋．在我們的日常生活中，各類大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進行排氣，已知該型號的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內(nèi)氣體的，則（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的D．抽3次可以使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來的【答案】ACD【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用指對函數(shù)的性質(zhì)一一計算即可判定選項.【詳解】設(shè)抽氣泵抽了次，若要使壓縮袋內(nèi)的氣體少于原來的，則，即，則．因為，所以至少要抽5次，A正確，B錯誤．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的，C正確．，D正確．故選：ACD12．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于扎實推進污染物治理工作的通知》明確指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（

）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A．20 B．16 C．12 D．7【答案】B【分析】由，解方程即可.【詳解】依題意有時，，則，當時，有，，.故選：B13．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）楊梅是楊梅科楊梅屬常綠喬木植物，自古以來深受人們的喜愛，古詩《詠梅》就這樣贊美楊梅：“顆顆黑珠樹中藏，此物只在五月有．游人過此嘗一顆，滿嘴酸甜不思歸．”根據(jù)楊梅單果的果型和顏色，可將其依次分為4個等級，其等級與其對應(yīng)等級的市場銷售單價（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的2級楊梅比4級楊梅多1倍，且1級楊梅的市場銷售單價為4元/千克，則4級楊梅的市場銷售單價最接近（

）） D．16元/千克【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到且，結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由市場銷售單價（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，因為2級楊梅比4級楊梅多1倍，可得，解得，又因為1級楊梅的市場銷售單價為4元/千克，可得，可得，所以．故選：C．14．（2023秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】C【分析】根據(jù)所給模型解不等式即得．【詳解】由題意，，，，故選：C．15．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校聯(lián)考階段練習(xí)）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%．經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得，然后列不等式來求得的取值范圍，進而求得的最小整數(shù)值.【詳解】當時，，所以，由得，，所以的最小整數(shù)值為.故選：A考點三對數(shù)型函數(shù)模型16．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數(shù)是聽覺下限閾值，，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的模型，列出火箭發(fā)射時的聲壓級和人正常說話時的聲壓級表達式，聯(lián)立求解即可.【詳解】令人正常說話時的聲壓級為，火箭發(fā)射時的聲壓級為，則，而人正常說話的聲壓，火箭發(fā)射時的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時的聲壓約為.故選：D17．（2023秋·北京通州·高三潞河中學(xué)校考階段練習(xí)）被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由題意可知，分別將數(shù)據(jù)代入利用對數(shù)運算法則計算出，，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，將，代入可得；將，代入可得；所以可知.故選：D18．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）人們用分貝來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：）與聲音強度（單位：）滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（

）A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍【答案】C【分析】根據(jù)所給聲音等級與聲音強度的函數(shù)關(guān)系，求出聲音等級即可比較得解.【詳解】∵聲音的等級式（單位：）與聲音強度（單位：）滿足，又∵老師的聲音的等級約為63dB，，解得，即老師的聲音強度約為，∵兩人交談時的聲音等級大約為，，解得，即兩人交談時的聲音強度約為，老師上課時聲音強度約為兩人小聲交談時聲音強度的倍.故選：C19．（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）習(xí)近平總書記強調(diào)，發(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強國，是我們不懈追求的航天夢.我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭把嫦娥五號探測器順利地送入預(yù)定軌道，開啟我國首次外太空采樣返回之旅.這為我國未來月球與行星探測奠定了堅實基礎(chǔ).在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式是.若火箭的最大速度為，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為：（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指對數(shù)轉(zhuǎn)化可求燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值.【詳解】令，則，故，故選：C.20．（2023秋·山東臨沂·高三校考期中）在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾，2023年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦。會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平。香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改變帶寬，而將信噪比從9提升至53，則最大信息傳遞率會提升到原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．【答案】D【分析】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，根據(jù)題意計算，利用指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求解.【詳解】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，則，，.最大信息傳遞率會提升到原來的倍.故選：D.21．【多選】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則（

）A．震級為2級的地震釋放能量為焦耳B．釋放能量為焦耳的地震震級為3級C．9級地震釋放能量是8級地震釋放能量的10倍D．釋放能量之比為的兩場地震的震級相差2級【答案】BD【分析】利用給定的關(guān)系式，逐項計算判斷即可得解.【詳解】對于A，當時，，解得，A錯誤；對于B，當時，，解得，B正確；對于C，令9級地震釋放能量為，8級地震釋放能量為，則，于是，C錯誤；對于D，釋放的能量為，對應(yīng)的震級為，釋放的能量為，對應(yīng)的震級為，則，且，兩式相減得，解得，D正確.故選：BD22．【多選】（2023秋·江西·高三贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從到通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍.其中，香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道帶寬?信道內(nèi)信號的平均功率?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.根據(jù)香農(nóng)公式，以下說法正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．若不改變信噪比，而將信道帶寬增加一倍，則增加一倍B．若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來的一半，則增加一倍C．若不改變帶寬，而將信噪比從255提升至增加了D．若不改變帶寬，而將信噪比從999提升至大約增加了【答案】ACD【分析】計算可判斷A；計算可判斷B；計算的值可判斷C；計算可判斷D.【詳解】對于，若不改變信噪比，而將信道帶寬增加一倍，即，則增加一倍，所以正確；對于，若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來的一半，即，所以B錯誤；對于C，若不改變帶寬，而將信噪比從255提升至1023，則，所以C增加了，所以C正確；對于D，若不改變帶寬，而將信噪比從999提升至4999，則，所以D正確.故選：ACD.23．（2023秋·山西晉中·高三介休一中校考階段練習(xí)）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M倍時，它的游速是.【答案】/【分析】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，計算出的值，再將代入，即可得解.【詳解】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，則，可得，將代入可得，.故答案為：.考點四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異24．（2023秋·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，即可得到結(jié)果.【詳解】指數(shù)函數(shù)時呈爆炸式增長，并且隨值的增大，增長速度越快，在一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)中，增長速度最快的是指數(shù)函數(shù).故選：A25．（2023秋·高一校考課時練習(xí)）下面對函數(shù)，與在區(qū)間上的衰減情況的敘述正確的是（

）A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快【答案】C【分析】根據(jù)冪指對函數(shù)的圖象以及性質(zhì)即可求解.【詳解】由函數(shù)，與在區(qū)間上的圖象以及性質(zhì)知函數(shù)，，的衰減速度均逐漸變慢，故選:C．26．【多選】（2023秋·高一單元測試）函數(shù)，，，在區(qū)間上（

）A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知在區(qū)間上，遞減速度越來越慢，故A正確；遞減速度越來越慢，故B正確；遞減速度越來越慢，故C正確；的遞減速度慢于遞減速度，故D錯誤.故選：ABC.27．（2023秋·高一課時練習(xí)）當時，試探究三個函數(shù)的增長差異，用“＞”把它們的大小關(guān)系連接起來為．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件求出范圍，進而可求出結(jié)果.【詳解】令，易知三個函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以，當時，，，，故，故答案為：.28．（2023秋·全國·高一隨堂練習(xí)）三個變量隨自變量的變化情況如下表：則關(guān)于分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為，，.【答案】【分析】根據(jù)三種函數(shù)模型增長速度的差異可直接判斷出結(jié)果.【詳解】對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快且呈現(xiàn)出爆炸式增長模式，冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，由此可知：變量為對數(shù)函數(shù)，變量為指數(shù)函數(shù)；變量為冪函數(shù)．故答案為：，，.29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（1）函數(shù)的圖象接近圖示；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由；(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；(3)已知學(xué)校要求每天的分數(shù)不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】(1)選，理由見解析(2)答案見解析(3)55分鐘【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，（2）將，代入求解系數(shù)即可.（3）將代入解析式即可.【詳解】（1）第一步：分析題中每個模型的特點對于模型一，當時，勻速增長；對于模型二，當時，先慢后快增長；對于模型三，當時，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.（2）第三步把題圖中的兩點代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將，代入解析式得到，即，解得，，即.第四步：完善模型是否合適當時，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（3）由，，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運動55分鐘.30．（2023·高一課時練習(xí)）若，則使成立的的取值范圍是，使成立的的取值范圍是．【答案】【分析】畫出指對冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷不等關(guān)系下對應(yīng)x的范圍即可.【詳解】在同一平面直角坐標系中作出，，在上的圖象如下．由圖得，若，則，若，則或．故答案為：，考點五建立擬合函數(shù)模型解決實際問題31.（2023·高一課時練習(xí)）某大型家電商場，