第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

主要內(nèi)容：1.非周期信號頻譜處理方法2.傅立葉變換與逆變換二.傅立葉變換的主要性質(zhì)三.典型信號的頻譜一.傅立葉變換與連續(xù)頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜時域描述頻域描述傅立葉級數(shù)展開傅立葉級數(shù)展開傅立葉變換周期信號頻譜分析，采用傅立葉級數(shù)分析。對于非周期信號，用什么方法進(jìn)行頻譜分析呢？

方法：將非周期信號看成是周期無限長的周期信號，結(jié)果所有都可以看作周期信號來處理。一.傅立葉變換與連續(xù)頻譜1.非周期信號頻譜處理方法

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例：周期性方波信號的頻譜，當(dāng)T——4——8——16——∞變化時增大周期T

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜頻譜線的包絡(luò)線不變

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜將非周期信號看成是周期無限長的周期信號周期為的信號就成為非周期信號離散頻譜連續(xù)頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜2.傅立葉變換與逆變換設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：

式中

當(dāng)T→∞時，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω，求和就轉(zhuǎn)變成積分。將代入式得

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜傅立葉積分（1－4）將式中括號中的積分記為：

它是變量ω的函數(shù)。（1－5）傅立葉變換傅立葉逆變換則式（1－4）可寫為：(1－6)FTIFT

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜若將上述變換公式中的角頻率ω用頻率f來替代，則由于ω=2πf，式（1－5）和（1－6）分別變?yōu)椋海?－7）（1－8）由于X(f)一般為實變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為：

將上式中的(或，當(dāng)變量為ω時）稱非周期信號x(t)的幅值譜，φ(f)（或φ(ω)）稱x(t)的相位譜。注意：區(qū)別非周期信號的幅值譜與周期信號的幅值譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例：求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜解：由式（1－7）有于是單邊指數(shù)函數(shù)e-atu(t)(a>0)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜單邊指數(shù)函數(shù)e-atu(t)(a>0)的頻譜連續(xù)幅值譜連續(xù)相位譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例：求圖示矩形窗函數(shù)的頻譜解：矩形脈沖函數(shù)sinc

函數(shù)？

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜其幅頻譜和相頻譜分別為：矩形窗函數(shù)的頻譜W(f)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜二.傅立葉變換的主要性質(zhì)線性奇偶性對稱性（亦稱對偶性）尺度變換性翻轉(zhuǎn)時移性頻移性（亦稱調(diào)制性）卷積時域微分和積分頻域微分和積分

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜1.線性如果有例：求下圖波形的頻譜則用線性疊加定理簡化

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜+X1(f)X2(f)所求信號頻譜X1(f)+X2(f)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜2.奇偶性x(t)為時間t的實函數(shù)X(f)實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)）x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)）x(t)為時間t的虛函數(shù)X(f)實部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)）x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)）X(f)為f的實、偶函數(shù)X(f)為f的虛、奇函數(shù)X(f)為f的虛、偶函數(shù)X(f)為f的實、奇函數(shù)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜3.對稱性若則或若則證明：以-t替換t得t與f互換得所以

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例：FTIFTFTIFT時間波形與其頻譜的對稱性

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜4.尺度變換性若則證明：若信號x（t）在時間軸上被壓縮至原信號的1/k，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬k倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號幅值的1/k。信號的持續(xù)時間與信號占有的頻帶寬成反比

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜窗函數(shù)的尺度變換例：

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜5.翻轉(zhuǎn)如果有則證明：設(shè)以t替換t’得所以

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜6.時移性如果有則例：求圖所示矩形窗函數(shù)的頻譜

具有時移t0的矩形窗函數(shù)

解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為可視為一個中心位于坐標(biāo)原點的矩形窗函數(shù)時移至t0點位置所形成。則幅頻譜和相頻譜分別為

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜具有時移的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形位于坐標(biāo)原點的矩形脈沖函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形不變

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜7.頻移性如果有則例：x(t)cost的頻譜x(t)cost的頻譜FTIFTFTIFT

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜8.卷積特性卷積的定義時域卷積如果有則頻域卷積則如果有

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜證明：根據(jù)卷積積分的定義有其傅里葉變換為由時移性可知代入上式得

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例：y(t)2A2T02T0-2T00tY(f)卷積

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜9.時域微分和積分如果有則n階微分的傅里葉變換公式：條件是X(0)=0以及證明：時域微分

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜時域積分設(shè)函數(shù)g(t)為其傅里葉變換為G(f)則利用時域微分性質(zhì)得亦即

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜10.頻域微分和積分如果有則進(jìn)而可擴(kuò)展為和條件是x(0)=0

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜習(xí)題：已知利用傅立葉變換的性質(zhì)求的傅立葉變換表達(dá)式。解：按翻轉(zhuǎn)－尺度變換－時移的性質(zhì)求解已知翻轉(zhuǎn)后得尺度變換，時域壓縮2倍得時移6/2得

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜三.典型信號的頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜周期函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

符號函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)的頻譜正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)周期單位脈沖序列的頻譜密度函數(shù)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜

矩形窗函數(shù)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜W(f)

主瓣旁瓣主瓣寬度＝2/T

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜函數(shù)的頻譜

函數(shù)的定義：在Δ時間內(nèi)激發(fā)有一矩形脈沖pΔ(t)，面積為1。當(dāng)Δ→0時，該矩形脈沖pΔ(t)的極限便稱為單位脈沖函數(shù)或δ函數(shù)。從函數(shù)值極限角度看從面積的角度看

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

函數(shù)的采樣性質(zhì)：

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

函數(shù)與其他函數(shù)的卷積：卷積

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜卷積

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

函數(shù)的頻譜：其逆變換為即FTIFT

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜圖示圖示

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜周期函數(shù)的頻譜密度函數(shù)周期函數(shù)不滿足絕對可積的條件，如何進(jìn)行傅立葉變換呢？將周期函數(shù)x(t)表示為的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：式中x(t)的傅立葉變換為：一個周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個位于的各諧波頻率上的脈沖函數(shù)組成。

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例1正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)由歐拉公式，正、余弦函數(shù)可寫成正、余弦函數(shù)的傅立葉變換為：

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜FTIFTFTIFT正弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜例2周期單位脈沖序列的頻譜密度函數(shù)等間隔的周期脈沖序列將x(t)表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式于是有梳狀函數(shù)周期單位脈沖序列

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜作傅立葉變換有也是梳狀函數(shù)

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)不滿足絕對可積的條件，無法直接應(yīng)用傅立葉變換進(jìn)行計算。方法：采用極限的方法，先計算信號，的傅立葉變換，再令。即：

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜符號函數(shù)為實奇函數(shù)，則其頻譜函數(shù)為虛奇函數(shù)。幅頻譜相頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜單位階躍函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)也不滿足絕對可積的條件，無法直接應(yīng)用傅立葉變換進(jìn)行計算。方法：采用極限的方法，先計算信號，的傅立葉變換，再令。即：

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜因為實部虛部實部為一脈沖函數(shù)，其強(qiáng)度為單位階躍信號的頻譜為

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜幅頻譜相頻譜

第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜練習(xí):已知信號a(t)的頻譜為A(f)。試求函數(shù)的傅氏變換