（挑戰(zhàn)壓軸）專項27.4相似三角形-一線三等角綜合應用【方法技巧】如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當是中點時：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個等角（直角）或一個直角時，可構造“一線三等角”型相似。【類型1：標準“K”型圖】1．（2021秋?長安區(qū)期末）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊的點F處（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．2.如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．3.已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．4.（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖，四邊形ABDC為矩形，AB＝4，AC＝3，點M為邊AB上一點（點M不與點A、B重合），連接CM，過點M作MN⊥MC，MN與邊BD交于點N．（1）當點M為邊AB的中點時，求線段BN的長；（2）直接寫出：當DN最小時△MNB的面積為．5．（2019?玉州區(qū)二模）已知：如圖，正方形ABCD中，E是邊AB上一點，AM⊥DE于點M，CN⊥DE于點N．（1）求證：MN＝DM﹣AM；（2）連接AN，如果＝，求證：MN＝ME．6．（2022?郴州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作EF⊥CE，交AB于點F．（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）如圖2，連接CF，過點B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當AG+GM取最小值時，求線段DE的長．【類型2：做輔助線構造“K”型圖】7．（2022春?定海區(qū)校級月考）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點C，分別過A、B兩點作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點，過D作AD的垂線交AB于點E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．【類型3：特殊“K”型圖】8．（2022秋?二道區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動點（點D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長為．9．（2020秋?南京期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．10.如圖，AB＝9，AC