量子力學(xué)基礎(chǔ)()§16-1波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)詮釋

量子力學(xué)中描述微觀粒子的波函數(shù)本身是沒有直接物理意義的,具有直接物理意義的是波函數(shù)的模的平方，它代表了粒子出現(xiàn)的概率。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)，是用波函數(shù)

來描述的，這個(gè)波函數(shù)所反映的微觀粒子波動(dòng)性，就是德布羅意波。（量子力學(xué)的基本假設(shè)之一）玻恩指出：德布羅意波或波函數(shù)

不代表實(shí)際物理量的波動(dòng)，而是描述粒子在空間的概率分布的概率波。

第2頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天

或概率密度為波函數(shù)是單值的、連續(xù)的和有限的。波函數(shù)允許包含一個(gè)任意的常數(shù)因子。歸一化條件微觀粒子的概率波的波函數(shù)是

，那么概率正比于波函數(shù)

和A

(A是常數(shù))描述了同一個(gè)量子態(tài)，對(duì)于空間任意兩點(diǎn)

和

有第3頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天態(tài)疊加原理（一個(gè)基本假設(shè)）如果波函數(shù)

,

,…都是描述系統(tǒng)的可能的量子態(tài)，那么它們的線性疊加也是這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)可能的量子態(tài)。宇稱：是描述微觀粒子波函數(shù)在空間反演下所具有的一種對(duì)稱性。偶宇稱(或正宇稱)奇宇稱(或負(fù)宇稱)第4頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1:已知描述粒子的歸一化波函數(shù)為

(t,x,y,z)，求在t時(shí)刻、在x到x+dx的無限大薄層內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率。解:體積元內(nèi)的概率為該薄層中發(fā)現(xiàn)粒子的概率例2:用電子束進(jìn)行雙縫衍射實(shí)驗(yàn)，先將狹縫B遮蓋，電子穿過狹縫A到達(dá)屏上任意一點(diǎn)P的狀態(tài)為

1，后將狹縫A遮蓋，電子穿過狹縫B到達(dá)屏上任意一點(diǎn)的P狀態(tài)為

2。求將兩狹縫打開，電子同時(shí)穿過A和B兩個(gè)狹縫到達(dá)屏上點(diǎn)P的概率密度。解:由線性疊加，得屏上點(diǎn)P發(fā)現(xiàn)電子的概率密度為第5頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天§16-2薛定諤方程

一、含時(shí)薛定諤方程自由粒子的平面波函數(shù)為根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得將上兩式代入前式，得第6頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天將平面波函數(shù)對(duì)時(shí)間微商,得二次微商，得式中

2稱為拉普拉斯算符。根據(jù)上式和上述等價(jià)關(guān)系，得

E

p2

或者

p

自由粒子的動(dòng)能與動(dòng)量關(guān)系為由上兩式得到等價(jià)關(guān)系為粒子處于力場(chǎng)中時(shí)，有所以薛定諤方程第7頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、定態(tài)薛定諤方程因勢(shì)場(chǎng)只是坐標(biāo)的函數(shù)，所以有將上式代入薛定諤方程，得由于時(shí)間和坐標(biāo)是獨(dú)立變量，上式可分成兩個(gè)方程。方程1:其解為方程2:定態(tài)薛定諤方程特解為概率密度分布為第8頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、概率守恒和概率流密度矢量概率密度隨時(shí)間的變化為將薛定諤方程及其共軛方程代入上式，并利用公式得令將上式代入前式，得概率守恒的微分形式第9頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天將上式積分，再利用高斯定理，得概率守恒的積分形式

此式表明：在空間某體積V內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率在單位時(shí)間內(nèi)的增量，必定等于在同一時(shí)間內(nèi)通過V的邊界面S流入體積V的概率。第10頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天§15-3力學(xué)量的算符表示和平均值

一、力學(xué)量的算符表示量子力學(xué)中描述系統(tǒng)的每一個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)一個(gè)算符。與動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的算符動(dòng)量分量的算符與動(dòng)量平方相對(duì)應(yīng)的算符是與能量相對(duì)應(yīng)的算符稱為哈密頓算符第11頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天角動(dòng)量算符為直角坐標(biāo)系中的分量式球坐標(biāo)系中的分量式角動(dòng)量平方算符為式中算符第12頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天角動(dòng)量平方算符也可以表示為二、本征函數(shù)、本征值和平均值算符是代表對(duì)波函數(shù)的一種運(yùn)算，是把一個(gè)波函數(shù)或量子態(tài)變換成另一個(gè)波函數(shù)或量子態(tài)。此式為力學(xué)量的本征值方程，常量A稱為力學(xué)量的本征值。引入哈密頓算符后，定態(tài)薛定諤方程可以簡(jiǎn)化為量子力學(xué)中，任何一個(gè)力學(xué)量的平均值都可以用下式計(jì)算第13頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天§16-3一維勢(shì)阱和勢(shì)壘問題

一、一維無限深方勢(shì)阱

對(duì)于一維無限深方勢(shì)阱有∞0aU(x)∞勢(shì)阱內(nèi)U(x)=0，哈密頓算符為定態(tài)薛定諤方程為令薛定諤方程的解為第14頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)，可以確定

=0或m

，m=1,2,3,

。于是上式改寫為根據(jù)，得ka=n

，n=1,2,3,…

因?yàn)楫?dāng)n=0時(shí)，必定k=0，定態(tài)薛定諤方程應(yīng)有解得

(x)

Cx+D

所以由此式知：一維無限深方勢(shì)阱的能譜是分立譜,這個(gè)分立的能譜就是量子化了的能級(jí)。基態(tài)的能量為零點(diǎn)能第15頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天與能量本征值En相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)

n(x)為

利用歸一化條件，得歸一化波函數(shù)為一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級(jí)第16頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、勢(shì)壘穿透和隧道效應(yīng)有限高的勢(shì)壘在P區(qū)和S區(qū)薛定諤方程的形式為其中在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式式中第17頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天用分離變量法求解，得(P區(qū))

(Q區(qū))

(S區(qū))在P區(qū)，勢(shì)壘反射系數(shù)

在Q區(qū)，勢(shì)壘透射系數(shù)

粒子能夠穿透比其動(dòng)能高的勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。如圖是在隧道效應(yīng)中波函數(shù)分布的示意圖。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：掃描隧道顯微鏡(STM)隧道二極管第18頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1:證明無限深方勢(shì)阱中，不同能級(jí)的粒子波函數(shù)具有下面正交性的性質(zhì)：即不同能級(jí)的波函數(shù)互相正交。解:波函數(shù)取其復(fù)共軛相乘并積分，得第19頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天把波函數(shù)的正交性和歸一性表示在一起，其中當(dāng)m=n

時(shí),

mn

=1

當(dāng)m

n

時(shí),

mn

=0

mn

稱為克羅內(nèi)克符號(hào)。第20頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天§16-4一維諧振子問題

一、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)為系統(tǒng)的勢(shì)能為簡(jiǎn)諧振子的能量為將勢(shì)能形式代入定態(tài)薛定諤方程，得令第21頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天將變量x變換為所以求解這個(gè)方程，并使解滿足束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值。二、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值波函數(shù)的一般形式為或者式中Hn(

)稱為厄米多項(xiàng)式，具體形式為第22頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此得出n=0,1,2,3,4的厄米多項(xiàng)式分別為由歸一化條件，得時(shí)間因子的一維諧振子的定態(tài)波函數(shù)為第23頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)

時(shí)，應(yīng)有

0，所以上式的解為這表示一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級(jí)是等間距的，等于。基態(tài)能量為零點(diǎn)能經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論，振子是不可能進(jìn)入x>

A

的經(jīng)典禁區(qū)。量子力學(xué)中，由于隧道效應(yīng)，粒子可以到達(dá)經(jīng)典禁區(qū)，即不存在什么禁區(qū)。第24頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖中畫出了對(duì)應(yīng)于量子數(shù)n=0,1,2三種情況的波函數(shù)，以及相應(yīng)的概率密度。由圖可以看出，量子數(shù)n較小時(shí)，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增大,概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。第25頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1:一個(gè)電子被束縛在一維無限深勢(shì)阱內(nèi)，勢(shì)阱寬度為1.01

10-10m。求當(dāng)電子處于基態(tài)時(shí)對(duì)阱壁的平均沖力。解:設(shè)電子的質(zhì)量為me，速度為vx，動(dòng)量為px

，勢(shì)阱寬度為a。則沖力為將算符代入上式，得因電子是處于基態(tài)，則第26頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天*§16-5氫原子

一、有心力場(chǎng)中的薛定諤方程系統(tǒng)的勢(shì)能為哈密頓算符為定態(tài)薛定諤方程為將拉普拉斯算符寫為球坐標(biāo)的形式第27頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中將上式代入前式，得波函數(shù)表示為將上式代入前式，得設(shè)這個(gè)常量為

，于是由上式，得第28頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式的具體形式是將Y(

,

)表示為兩個(gè)函數(shù)的乘積將上式代入前式，得設(shè)常數(shù)m2，則上式分成兩個(gè)方程第29頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天氫原子中電子波函數(shù)

(r,

,

)的三個(gè)組成部分R(r)、

(

)和

(

)分別滿足的方程為：二、角動(dòng)量的本征函數(shù)和相應(yīng)的量子數(shù)方位角波函數(shù)

(

)是上式的解，即

(

)是單值的，滿足

(

)=

(

+2

)，即m只能取整數(shù)0,

1,

2,…

第30頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)歸一化條件，得歸一化系數(shù)為歸一化方位角波函數(shù)為為確保極角波函數(shù)

(

)的有限性，

必須滿足

=l(l+1),l=0,1,2,

并且

m

l

，即m=0,1,2,…,l

將

(

)和

(

)合并，并正交歸一化，得球諧函數(shù)第31頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天將

=l(l+1)和球諧函數(shù)代入得將角動(dòng)量平方算符代入上式，得其本征值為：L2=l(l+1)

動(dòng)量的本征值為L(zhǎng)稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，表示電子相對(duì)于原子核的角動(dòng)量的大小。核外電子相對(duì)于核的角動(dòng)量，稱為軌道角動(dòng)量。第32頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天球諧函數(shù)Ylm(

,

)既是算符的本征函數(shù)，也是算符的本征函數(shù)，故有算符的本征值為m=0,

1,

2,…,

l

m稱為磁量子數(shù)，表示電子軌道角動(dòng)量的z分量的大小。軌道角動(dòng)量在空間不能任意取向，而只能取某些特定方向的性質(zhì)，稱為角動(dòng)量的空間量子化。第33頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、徑向波函數(shù)和氫原子的能級(jí)將

=l(l+1)代入徑向波函數(shù)R(r)所滿足的方程,得令于是勢(shì)能為其中因E<0，將上式代入式，得第34頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天由上式解得的徑向波函數(shù)，為歸一化系數(shù)為式中n=1,2,3,

,l=0,1,2,

,(n-1)

徑向波函數(shù)Rnl(r)中的也是一個(gè)特殊函數(shù)，稱為(l+1-n)階合流超幾何多項(xiàng)式。a的具體形式為第35頁(yè),共39頁(yè)，2024年2月25日，星期天滿足束縛態(tài)條件時(shí)，有由上式可得氫原子的能量本征值為這就是