常微分方程

Ordinarydifferentialequation王高雄周之銘朱思銘王壽松編學(xué)習(xí)《常微分方程》重要性

300多年前，人類科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，就是由Newton(1642-1727)和Leibniz(1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)。而微積分的產(chǎn)生和開展，又與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因?yàn)?物質(zhì)世界是運(yùn)動的，運(yùn)動不但有快慢(導(dǎo)數(shù)),還遵循守恒定律(等式).因而描述物質(zhì)運(yùn)動變化常常用含有導(dǎo)數(shù)的方程來表示，這就是微分方程，具體地微分方程聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.常微分方程自變量只有一個(gè)的微分方程.

常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.常微分方程內(nèi)容:〔1〕常微分方程的模型建立.〔2〕常微分方程的解方法:用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的假設(shè)干最重要也是最根本的微分方程問題.課程目的/MajorSubjectionofCourse/學(xué)習(xí)可求解的常微分方程(組)的類型及其求解方法。熟悉常微分方程解的根本性質(zhì)(如解的存在性，唯一性等)，了解研究常微分方程的根本方法(如穩(wěn)定性分析、定性分析等)。課時(shí)/Periods/4節(jié)/周，共48學(xué)時(shí)?？荚?Examination/閉卷：期末考試(70%)。參考書目/ReferenceBooks/竇霽虹，常微分方程考研教案，西北工業(yè)大學(xué)出版社。朱思銘,常微分方程輔導(dǎo)與習(xí)題解答，高等教育出版社。常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章緒論第二章一階微分方程的初等積分法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線性微分方程組第六章非線性微分方程1

2第七章一階線性偏微分方程第一章緒論

Introduction微分方程模型/ModelingofODE/根本概念/BasicConception/練習(xí)題/Exercise/本章要求/Requirements/

能快速判斷微分方程的類型；

掌握高階微分方程及其初值問題的一般形式；

理解微分方程解的意義。CH1§1.1

微分方程模型/ModelingofODE/例1R-L-C電路例2

數(shù)學(xué)擺

例3人口模型例5

兩種群生態(tài)模型例6

Lorenz

方程

例4

傳染病模型例1R-L-C電路包含電阻R

電感L

電容C

及電源的電路基爾霍夫(Kirchhoff)第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零。(1)回路中設(shè)R、L及電源電壓E為常數(shù).

當(dāng)開關(guān)S合上后,得關(guān)系式:那么是常微分方程初始條件如果電源突然短路E=0,方程為:(2)回路中設(shè)R、L、C及為常數(shù)，電源電壓e(t)

。當(dāng)開關(guān)S合上后，由Kirchhoff第二定律,得

兩邊同時(shí)對t求導(dǎo),得初始條件當(dāng)電源電壓是常數(shù)e(t)=E時(shí)，方程變?yōu)?例2(數(shù)學(xué)擺)數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為l的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動.如下圖.試確定擺的運(yùn)動方程.小球所受的合力為mgsin

,由牛頓第二定律得:

∴二階非線性方程,不易求解.當(dāng)

很小時(shí),sin

≈

,近似線性方程：

逆時(shí)針正向【注】(1)假設(shè)擺是在一個(gè)有粘性的介質(zhì)中作擺動,存在沿運(yùn)動方向阻力,與v成正比,系數(shù)為,那么:擺的運(yùn)動方程(2)假設(shè)擺還沿著擺的運(yùn)動方向受到一個(gè)外力F(t)的作用,那么擺的運(yùn)動方程為:∴假設(shè):時(shí)間

t時(shí)人囗

N(t)

凈相對增長率r是常數(shù)微分方程初值條件

N(t0)=N0時(shí)解為例3馬爾薩斯〔Malthus〕人口模型:即有解不合理!假設(shè):環(huán)境最大容納量Nm

凈相對增長率為微分方程Logistic人口模型:

微分方程Logistic人口模型:

估計(jì):世界人口自然增長率r=0.29。1960年人口29.8億，增長率1.85%.由0.0185=r(1-N/Nm)式可得Nm=82.3億。而20世紀(jì)70年代為40億左右。與統(tǒng)計(jì)結(jié)果相符。年1625183019301960197419871999人口（億）5102030405060例4

(傳染病模型)

長期以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題．人們不能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù)，所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法建立模型.化簡，得這個(gè)模型稱為SI模型．

SI模型:化簡，得這個(gè)模型稱為SIS

模型．這個(gè)模型稱為SIR

模型．例4兩種群生態(tài)模型被食-捕食模型(2)不存在被食魚時(shí)，捕食魚減少率c。被食魚供養(yǎng)捕食魚能力為dxy。假設(shè):(1)不存在捕食魚時(shí)，被食魚增長率

a。單位時(shí)間內(nèi)被食魚與捕食魚相遇次數(shù)為bxy。微分方程被食魚x(t),捕食魚y(t)

被食-捕食模型得得兩種群x(t),y(t)a、b、c、d正數(shù)競爭模型被食-捕食模型共生模型Volterra模型兩種群x(t),y(t)a、b、c、d

常數(shù)美國氣象學(xué)家Lorenz在1961年發(fā)現(xiàn)方程的解對初值敏感的現(xiàn)象。后來由李-約克提煉出“混沌”概念，觸發(fā)了一場科學(xué)革命。其中參數(shù)a=10,b=8/3,c=28.Lorenz方程:例5Lorenz方程

模型:反映客觀現(xiàn)實(shí)世界中量與量的變化關(guān)系，往往與時(shí)間有關(guān)，是一個(gè)動態(tài)(動力)系統(tǒng).第一章構(gòu)造方法：

·從物理、力學(xué)等已確定的自然規(guī)律出發(fā)

·應(yīng)用類比方法，例如用電路來模擬機(jī)械系統(tǒng)

·通過分析數(shù)據(jù)的相互關(guān)系加上合理的邏輯推理

·通過反復(fù)試驗(yàn)，尋找出適合要求的模型常微分方程模型總結(jié)常微分方程模型特點(diǎn)特點(diǎn):完全無關(guān)的、本質(zhì)上不同的模型有時(shí)可以由同類型的微分方程來描述。

R-L-C電路和人口模型當(dāng)E

=

0

時(shí)兩方程一樣§1.2根本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程

2.一階與高階微分方程

3.線性和非線性微分方程

4.解和隱式解

5.通解和特解

6.積分曲線和積分曲線族

7.微分方程的幾何解釋-----方向場常微分方程與偏微分方程/ODEandPDE/

常微分方程/ODE/

在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。偏微分方程/PDE/

自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程?！?.2BasicConception一階與高階微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的階/Order/在一個(gè)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當(dāng)n=1時(shí)，稱為一階微分方程；當(dāng)n>1時(shí)，稱為高階微分方程。例如§1.2BasicConception一階常微分方程的一般隱式形式可表示為：一階常微分方程的一般顯式形式可表示為：類似的，n階隱方程的一般形式可表示為：n階顯方程的一般形式為其中F及f分別是它所依賴的變元的函數(shù)?！?.2BasicConception線性和非線性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，那么稱它為線性微分方程，否那么，稱它為非線性微分方程。例如：§1.2BasicConceptionn階線性微分方程的一般形式為：其中均為的函數(shù)例：2階線性方程的一般形式§1.2BasicConception解和隱式解/Solution/

對于方程假設(shè)將函數(shù)代入方程后使其有意義且兩端成立即那么稱函數(shù)為該方程的一個(gè)解.或一階微分方程有解即關(guān)系式假設(shè)方程的解是某關(guān)系式的隱函數(shù)，稱這個(gè)關(guān)系式為該方程的隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。包含了方程的解，§1.2BasicConception通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/常微分方程的解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或者幾任意常數(shù)，假設(shè)其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，稱這樣的解為該微分方程的通解。常微分方程滿足某個(gè)初始條件的解稱為微分方程的特解。例：二階方程其通解而是方程滿足初始條件特解?！?.2BasicConception初值條件/InitialValueConditions/對于n階方程初值條件可表示為n階方程初值問題〔CauchyProblem〕的表示一階和二階方程初值問題〔CauchyProblem〕的表示§1.2BasicConception積分曲線和積分曲線族

/IntegralCurve(s)/稱它為微分方程的積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族§1.2BasicConception方向場/DirectionalPattern/此時(shí)，點(diǎn)集D就成為帶有方向的點(diǎn)集,稱區(qū)域D為由方程確定的方向場。常微分方程求解的幾何意義是：在方向場中尋求一條曲線，使這條曲線上每一點(diǎn)切線的方向等于方向場中該點(diǎn)的方向?！?.2BasicConception例1

畫出方程的方向場。等傾線方程也就是說，方向場中每點(diǎn)的方向與該點(diǎn)等傾線垂直。xyo§1.2BasicConception例2畫出方程的方向場。等傾線方程xyo拐點(diǎn)線方程§1.2BasicConceptionn階微分方程其中取變換那么n階微分方程變?yōu)?階微分方程組可記為

或這里y為向量。(6)微分方程組駐定(自治)微分方程組含時(shí)間t的微分方程組叫非駐定方程組引進(jìn)新時(shí)間

，非駐定方程組可化為(n+1維空間)駐定方程組:方程組右端不含t(7)駐定與非駐定過y的解

(t,y)可視t為參數(shù)，稱為單參數(shù)變換群

t(y)

動力系統(tǒng)常微分駐定方程組可稱為連續(xù)動力系統(tǒng)具恒同性和可加性(7)動力系統(tǒng)相空間軌線駐定解(平衡解、常數(shù)解)奇點(diǎn)相平面其相空間(x,y)稱為相平面。不含自變量，僅由未知函數(shù)組成的空間積分曲線在相空間中的投影駐定微分方程組,右端函數(shù)為0的解駐定解在相空間中稱為奇點(diǎn)〔平衡點(diǎn)〕平面一階駐定方程組(8)相空間、奇點(diǎn)和軌線平面一階駐定方程組其積分曲線有特殊性質(zhì)：可在空間(x,y,t)將方程的積分曲線投影到(x,y)平面上。方程組変為時(shí)間軸的平移不影響方向場或(8)相平面軌線空間投影練習(xí)題1編號微分方程自變量未知函數(shù)?；蚱A數(shù)是否線性24補(bǔ)6§1.3Exercise作業(yè)/Homework/4.給定一階微分方程〔1〕求出它的通解.〔2〕求出通過點(diǎn)〔1,4〕的特解.〔3〕求出與直線相切的解.〔4〕求出滿足條件的解