課時跟蹤檢測（九）基本不等式

A級——學(xué)考合格性考試達標(biāo)練

1.下列不等式中，正確的是（）

4

A.。+-24B,a2+b2^4ab

a

D.x2+^2^2yf3

4

22

解析：選Da<0,則Q+,24不成立，故A錯；a=l9b=l,a+b<4ab9故B錯，

a=4,b=16,則故C錯；由基本不等式可知D項正確.

2.若”>。>0,則下列不等式成立的是（）

A.a>b>—^>yfabB.a>—^->y]ab>b

abi—/—ci-1-b

C.a>>b>y[abD.a>y[ab>>b

解析：選Ba=生智>色誓>標(biāo)>4麗=心因此B項正確.

3.已知x<0,則*+：—2有（）

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為一4D.最小值為一4

解析：選CVx<0,

1「，、，1口

.?.x+嚏-2=一（_x）+（_「）—2^—2—2=—4,

當(dāng)且僅當(dāng)一即x=-1時取等號.

4.3好+喜的最小值是（）

A.3^2-3B.3

C.6^2D.6^2-3

解析：選D3（x2+l）+^q-j—3^2^J3（x2+l）3=2718-3=6^2-3,當(dāng)

且僅當(dāng)*2=g一1時等號成立，故選D.

2Q

5.若x>0,y>0,且;：+：=L則”有（）

A.最大值64B.最小值0

04

C.最小值5D.最小值64

解析：選D由題意孫孫■"或=8^再，.,.■\/E28,即孫有最

小值64,等號成立的條件是x=4,j=16.

6.要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每

平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______元.

解析：設(shè)底面矩形的一邊長為x,由容器的容積為4m3,

4

高為1m,得另一邊長為(m.

記容器的總造價為y元，則

j=4X20+2(x+^JxIX10=80+20^r+^80+20X2yjx?^=160,

4

當(dāng)且僅當(dāng)尤=7即x=2時，等號成立.

因此當(dāng)x=2時，y取得最小值160,

即容器的最低總造價為160元.

答案：160

7.AJ(3—a)~(a+6)(—6WaW3)的最大值為.

解析：因為一6/。/3,所以3—〃20,a+620,則由基本不等式可知，

7(3-a)~(〃+6)~?(。+6),=[,當(dāng)且僅當(dāng)〃=一號時等號成立.

答案：2

8.已知x>0,j>0,2x+3y=6,則xy的最大值為

解析：因為x>0,j>0,2x+3y=6,

所以XJ=1(2X-3J)^1?

⑥3

-

22

3

即X=-?3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3j,2y=l時等號成立，孫取到最大值方.

答案：?

9.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，試證明不等式：與上+審+審》6.

證明：因為a>0,Z?0,c>0,

“、.b,c,c.b、c

所以方聲2,-+-^2,計/2,

所以（知）+（、2+（計展6,

「c八、,bacacb

當(dāng)且僅當(dāng)一=工，T=~,

ahachc9

即〃=〃=c時，等號成立.

所以26.

10.（1）已知x<3,求y=&+x的最大值;

（2）已知x,y是正實數(shù)，且x+y=4,求^1十三3的最小值.

**y

解：⑴,.”<3,

Ax—3<0,

44

?\j=T+X=~+(x-3)+3

」x-3x-3

=—(3-x)+3W-2A(3—x)+3=—1,

4

當(dāng)且僅當(dāng)m=3—x,

即x=l時取等號，

?*.j的最大值為一1.

⑵y是正實數(shù),

???（x+y）（瀉）=4+?+字）>4+26.

當(dāng)且僅當(dāng)卜書，

1y

即x=2（V§-l）,y=2（3—巾）時取“=”號.

又x+y=4,

4+》+學(xué)，

故的最小值為1+率.

B級——面向全國卷高考高分練

1.設(shè)。，。為正數(shù)，且Q+方W4,則下列各式中正確的一個是（）

A.-4-T<1B.

abab

C.-+1<2D.，+裊2

abah

解析：選B因為〈傍=4,所以>+[22\^22\^1=1,當(dāng)且“=》=

2時等號成立.

2.若Oag,則用1—的最大值為()

A.1B-2

1

8

解析：選C因為0aV；,所以1—4%2>0,所以4/1-4/=：X24/1—

4*2i—4*2i_______、

-------2-------=不當(dāng)且僅當(dāng)2x=dl—4旦,即時等號成立，故選C.

_.、5?,x2-4x+5.

3.已知x25，則21_4有()

A.最大值&B.最小值3

C.最大值1D.最小值1

x2~4x+5(x-2)2+1

解析：選D2x-4=2(x-2)

因為七*，所以x—2>0,

所以莖(x-2)+=國?2個(x-2).==1.

當(dāng)且僅當(dāng)、-2=占，即x=3時取等號.

故原式有最小值為1.

4.已知不等式(*+月(鴻)》9對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()

A.2B.4

C.6D.8

解析：選B不等式(*+7)@+泉》9對任意正實數(shù)x,y恒成立，則(x+y)G+?》(l

+3)229,.../22,即a24,故正實數(shù)a的最小值為4.

5.若a>0,b>0,a+h=2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是(寫

出所有正確命題的序號).

@ab^l；@a2+b2^2；@a3+Z>3^3；@^+春》2.

解析：因為a>0,b>0,a+b=2,所以aZ(/佟誓)=1,所以①恒成立；

3+后W24(電)向通所以②不恒成立；

a2+b2，一一=2,所以③恒成立；

當(dāng)a=b=l時，a3+Z>3=2<3,所以④不恒成立；

。+德+()4(2+肝?》2,所以⑤恒成立.

答案：①③⑤

6.若對任意x>0,其念不jW”恒成立，則a的取值范圍是.

解析：因為x>0,所以x+：22.當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取等號，

所以有正品1=大《專4

%+一+

x3

Y11

即.+t+1的最大值為J故a關(guān)

答案:卜|。*}

7.已知a,b為正實數(shù)，且1+1=2啦.

(1)求。2+"的最小值；

(2)若(a—b)2=4(ab)3,求a)的值.

解：(1)因為a,》為正實數(shù)，且泊=2巾,所以!+3=2g》2\^,即功23(當(dāng)且

僅當(dāng)a=b時等號成立).

因為。2+/>222az>22x[=l(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)，

所以蘇+"的最小值為1.

(2)因為1+：=2g,所以a+Z?=2\/ia瓦因為(a—b)2=4(a)"，所以(a+B)?—4aB=4(a)

即(2啦而戶-4而=4(而產(chǎn),即(ab)2—2aZ>+l=0,(必-1產(chǎn)=0.因為a,方為正實數(shù)，所以而

=1.

C級——拓展探索性題目應(yīng)用練

某廠家擬在2019年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年

產(chǎn)量)x(單位：萬件)與年促銷費用皿,〃，0)(單位：萬元)滿足x=3一蓋j優(yōu)為常數(shù))，如果

不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬

元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的