第3章3.2空間向量應用3.2.3空間角計算1/381.了解直線與平面所成角概念.2.能夠利用向量方法處理線線、線面、面面夾角問題.3.掌握用空間向量處理立體幾何問題基本步驟.學習目標2/38知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引3/38知識梳理自主學習知識點一兩條異面直線所成角(1)定義：設a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成銳角(或直角)叫做a與b所成角.(2)范圍：兩條異面直線所成角θ取值范圍是(3)向量求法：設直線a，b方向向量分別為a，b，其夾角為φ，則a，b所成角余弦值為cosθ＝|cosφ|＝.4/38(1)定義：直線和平面所成角，是指直線與它在這個平面內(nèi)射影所成角.(2)范圍：直線和平面所成角θ取值范圍是0≤θ≤.(3)向量求法：設直線l方向向量為a，平面法向量為u，直線與平面所成角為θ，a與u夾角為φ，則有知識點二直線與平面所成角5/38知識點三二面角(1)二面角取值范圍：[0，π].(2)二面角向量求法：①若AB，CD分別是二面角α-l-β兩個面內(nèi)與棱l垂直異面直線(垂足分別為A，C)，如圖，則二面角大小就是向量

與

夾角.②設n1、n2是二面角α-l-β兩個面α，β法向量，則向量n1與向量n2夾角(或其補角)就是二面角平面角大小.返回6/38例1

如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC中點.求異面直線A1B與C1D所成角余弦值.題型探究重點突破題型一兩條異面直線所成角向量求法解析答案反思與感悟7/38解以A為坐標原點，分別以AB，AC，AA1為x，y，z軸建立如圖所表示空間直角坐標系A－xyz，反思與感悟則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，8/38建立空間直角坐標系要充分利用題目中垂直關系；利用向量法求兩異面直線所成角計算思緒簡便，要注意角范圍.反思與感悟9/38跟蹤訓練1

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E是棱AB上動點.若異面直線AD1與EC所成角為60°，試確定此時動點E位置.解析答案10/38解以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所表示.設E(1，t,0)(0≤t≤2)，所以t＝1，所以點E位置是AB中點.11/38題型二直線與平面所成角向量求法解析答案反思與感悟12/38解析答案反思與感悟解建立如圖所表示空間直角坐標系，設平面AMC1法向量為n＝(x，y，z).13/38反思與感悟設BC1與平面AMC1所成角為θ，14/38借助于向量求線面角關鍵在于確定直線方向向量和平面法向量，一定要注意向量夾角與線面角區(qū)分和聯(lián)絡.反思與感悟15/38跟蹤訓練2

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC中點.解析答案(1)證實MN∥平面PAB；16/38又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.17/38解析答案(2)求直線AN與平面PMN所成角正弦值.(2)解取BC中點E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，18/38設n＝(x，y，z)為平面PMN法向量，則19/38例3

如圖，在三棱臺ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；題型三二面角向量求法解析答案(1)證實延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所表示.20/38因為平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以，AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK中點，則BF⊥CK，且CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.反思與感悟21/38解析答案(2)求二面角B－AD－F平面角余弦值.反思與感悟(2)解如圖，延長AD，BE，CF相交于一點K，則△BCK為等邊三角形.取BC中點O，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK方向為x，z正方向，建立空間直角坐標系O－xyz.22/38反思與感悟設平面ACK法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面ABK法向量為n＝(x2，y2，z2).23/38反思與感悟24/38設n1，n2分別是平面α，β法向量，則向量n1與n2夾角(或其補角)就是兩個平面所成角大小，如圖.反思與感悟用坐標法解題步驟以下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當空間直角坐標系.(2)求法向量：在建立空間直角坐標系下求兩個面法向量n1，n2.(3)計算：求n1與n2所成銳角θ，cosθ＝ .(4)定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ.25/38跟蹤訓練3

在如圖所表示圓臺中，AC是下底面圓O直徑，EF是上底面圓O′直徑，F(xiàn)B是圓臺一條母線.解析答案返回26/38(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B中點，求證：GH∥平面ABC；解析答案(1)證實設FC中點為I，連接GI，HI，在△CEF中，因為點G是CE中點，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因為H是FB中點，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.27/38解析答案(2)連接OO′，則OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圓O直徑，所以BO⊥AC.以O為坐標原點，建立如圖所表示空間直角坐標系O－xyz.28/38返回設m＝(x，y，z)是平面BCF一個法向量.29/38返回因為平面ABC一個法向量n＝(0，0，1)，30/38當堂檢測123451.已知向量m，n分別是直線l和平面α方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－

，則直線l與平面α所成角為________.解析答案30°31/38123452.已知兩平面法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成二面角大小為________________.∴二面角大小為45°或135°.45°或135°解析答案32/3812345解析答案33/38解析建立如圖所表示空間直角坐標系，即AB1與C1B所成角大小為90°.答案90°1234534/38123454.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角余弦值為____.解析設正方體棱長為1，建系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).解析答案35/38123455.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面直線A1B與B1C所成角余