§2線性變換及其矩陣表示一、線性變換定義二、線性變換矩陣表示三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系五、線性變換核和值域六、不變子空間七、線性變換特征值和特征向量八、線性變換可對角化定理1/54問什么叫變換？映射：一元函數(shù)：二元函數(shù)：映射：稱空間到空間上映射為變換。

按照某種法則,存在唯一與之對應(yīng),則記為像原像一、線性變換定義2/54線性變換則稱為線性變換。

定義1

設(shè)為線性空間,若

映射滿足：有一、線性變換定義3/54例1在線性空間中定義變換則是線性變換。？例2給定，則有由矩陣運算法則可知是線性變換。微分變換矩陣變換例3兩個特殊線性變換：單位變換，零變換一、線性變換定義4/54②線性變換簡單性質(zhì)：也線性相關(guān)。③若線性相關(guān)，則①問是否也線性無關(guān)？若線性無關(guān)，問一、線性變換定義5/54線性變換矩陣表示設(shè)是一個基則可由唯一線性表出：是一個基是線性變換稱為在基偶下矩陣。二、線性變換矩陣表示6/54線性變換矩陣表示二、線性變換矩陣表示7/54例4設(shè)線性變換定義為：試求在基下矩陣。二、線性變換矩陣表示8/54例4設(shè)線性變換定義為：試求在基下矩陣。解故在基下矩陣為？二、線性變換矩陣表示9/54，設(shè)在下坐標為，即故像在基下坐標為則假如分別取定基二、線性變換矩陣表示10/54首先，假如分別取定基問：任給定階矩陣A，是否存在唯一線性變換T，使T在下矩陣為A？由以上分析可知：,必存在基偶矩陣使得表示線性變換全體三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系11/54三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系12/54三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系13/54三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系14/54三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系15/54三、線性變換與矩陣對應(yīng)關(guān)系可見：線性變換特征完全由基偶矩陣刻畫，故對線性變換研究可轉(zhuǎn)為對基偶矩陣研究。16/54設(shè)是兩個基，是兩個基在基偶下有在基偶下有問兩個基偶矩陣有什么關(guān)系？四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系17/54，則設(shè)是兩個基，是兩個基設(shè)基過渡矩陣為：在基偶下有在基偶下有因為是基，故故線性變換在不一樣基偶下矩陣是相互等價。四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系18/54設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個基在基矩陣為，即在基矩陣為，即問兩個基下矩陣有什么關(guān)系？四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系19/54設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個基在基矩陣為，即在基矩陣為，即設(shè)有基變換矩陣令，則有，于是線性空間到本身線性變換在不一樣基下矩陣是相同四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系20/54即與等價線性變換即與相同到本身線性變換四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系21/54四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系22/54四、不一樣基偶下矩陣關(guān)系23/54類似地定義設(shè)在基偶下矩陣為,即零空間、列空間分別為稱為零空間(核),為值空間(值域)。五、線性變換核和值域定義稱為零度，為秩。24/54五、線性變換核和值域25/54五、線性變換核和值域26/54五、線性變換核和值域27/54五、線性變換核和值域28/54五、線性變換核和值域29/54五、線性變換核和值域30/54五、線性變換核和值域31/54設(shè)線性變換矩陣表示最簡形式問題怎樣求基偶，使得在下矩陣有最簡單形式？(標準型)五、線性變換核和值域32/54五、線性變換核和值域33/54則在基下矩陣為設(shè)線性變換矩陣表示化簡問題

怎樣求基，使得在下矩陣有較簡單形式？分析：任取一個基，且若將方陣相同化簡為，即考慮兩種簡單形式矩陣：①分塊對角陣②對角矩陣？六、不變子空間34/54

定義2

設(shè)，是子空間，若有，則稱是不變子空間，記為

例7，記核與值域分別為則均是不變子空間。證，即有又，有六、不變子空間35/54

定義2

設(shè)，是子空間，若有，則稱是不變子空間，記為

例7，記核與值域分別為則均是不變子空間。證顯然。例8設(shè)，則是不變子空間，則有，從而即是不變子空間。六、不變子空間36/54證均是不變子空間.(其中是階方陣)故是不變子空間

定理

設(shè)

是

基,則在下矩陣是分塊對角陣充要條件是記,則六、不變子空間37/54證

定理

設(shè)

是

基,則在下矩陣是分塊對角陣充要條件是是不變子空間故存在階方陣使得均是不變子空間.(其中是階方陣)六、不變子空間38/54解故在下矩陣為例9設(shè),定義變換試求線性變換不變子空間及在基下矩陣。兩個不變子空間是六、不變子空間39/54

推論

設(shè)是

基,則在下矩陣是對角陣充要條件是存在數(shù)使得七、線性變換特征值和特征向量40/54定義4

設(shè),若存在數(shù)

及使得則稱是特征值,是對應(yīng)特征向量。七、線性變換特征值和特征向量

定義3

設(shè),若存在基

使得在下矩陣是對角陣則稱可對角化。注：特征向量不唯一.41/54分析

設(shè)是特征值,是對應(yīng)特征向量,即問

怎樣求特征值與特征向量？任取一個基

在

下矩陣為

,即記，則故

是特征值是特征值是特征向量是特征向量七、線性變換特征值和特征向量42/54問是否與基選取相關(guān)？七、線性變換特征值和特征向量線性變換T特征多項式（也即表示矩陣A特征多項式）設(shè)是

到本身線性變換，

是

兩個基在基矩陣為，即在基矩陣為，即，則有，，從而43/54七、線性變換特征值和特征向量類似于表示矩陣A特征值和特征向量相關(guān)性質(zhì),有定理

線性變換T關(guān)于不一樣特征值特征向量必線性無關(guān).定理

設(shè)是T不一樣特征值,是T關(guān)于ri

個線性無關(guān)特征向量，則向量組

必線性無關(guān).44/54試求特征值和特征向量.例10上線性變換定義為解取基，因

A特征值即為T特征值.七、線性變換特征值和特征向量是特征值是特征值是特征向量是特征向量45/54七、線性變換特征值和特征向量求

特征值和特征向量.例10上線性變換定義為解取基，令故在基下矩陣為

特征值關(guān)于解,解得關(guān)于解,解得關(guān)于解,解得46/54則三個特征值分別對應(yīng)線性無關(guān)特征向量為七、線性變換特征值和特征向量47/54八、線性變換可對角化定理類似，先給出幾個概念：48/54八、線性變換可對角化定理49/54八、線性變換可對角化定理線性變換可對角化定理：推論

若T有n個不一樣特征值,則T可對角化.50/54八、線性變換可對角化定理試證

可對角化,求一個基使得

在該基下矩陣為對角陣.例上線性變換定義為解取基，令

用右乘可視為對進行一系列列變換。51/54八、線性變換可對角化定理試證

可對角化,求一個基使得

在該基下矩陣為對角陣.例上線性變換定義為解取基，令故在基下矩陣為

特征值均為單根,