PAGE新編人教版精品教學(xué)資料第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自擺成一個(gè)正三角形，A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：設(shè)一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為(4－x)cm，則這兩個(gè)正三角形的面積之和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)[(x－2)2＋4]≥2eq\r(3)(cm2)．答案：D2．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：由題意可得總利潤(rùn)P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.當(dāng)0≤x＜300時(shí)，P′(x)＞0；當(dāng)300＜x≤390時(shí)，P′(x)＜0，所以當(dāng)x＝300時(shí)，P(x)最大．答案：D3．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，則這兩個(gè)數(shù)為()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對(duì)解析：設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x＜4時(shí)，y′＜0；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y′＞0，所以當(dāng)x＝4時(shí)，y取得極小值，也是最小值．答案：B4．做一個(gè)容積為256m3的方底無(wú)蓋水箱，所用材料最省時(shí)A．6mB．8mC．4mD．2m解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm，高為hm．則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設(shè)為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．答案：C5．設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面正三角形的邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)令l′＝0，即eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2)＝0，解得x1＝8－4eq\r(2)，x2＝4eq\r(2)－8(舍去)．當(dāng)0<x<8－4eq\r(2)時(shí)，l′<0；當(dāng)8－4eq\r(2)<x<4eq\r(2)時(shí)，l′>0，所以，當(dāng)x＝8－4eq\r(2)時(shí)，l取得最小值．此時(shí)，x＝8－4eq\r(2)≈2.343，y≈2.828.即當(dāng)x約為2.343，y約為2.828時(shí)，用料最?。?0．現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/時(shí)，A地到B地之間的航行距離約為500海里，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/時(shí))的函數(shù)；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度航行？解：(1)依題意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，且由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?0，35]，即y＝eq\f(480000,x)＋300x(0＜x≤35)．(2)由(1)得y′＝－eq\f(480000,x2)＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0，35]，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．又當(dāng)0＜x≤35時(shí)，y′＜0，所以函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x在(0，35]上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝35時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值．故為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/時(shí)的速度航行．B級(jí)能力提升1．某公司的盈利y(元)和時(shí)間x(天)的函數(shù)關(guān)系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，這個(gè)數(shù)據(jù)說(shuō)明在第100天時(shí)()A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加C．公司的盈利在逐漸減少D．公司有時(shí)盈利有時(shí)虧損解析：因?yàn)閒′(100)＝－1，所以函數(shù)圖象在x＝100處的切線的斜率為負(fù)值，說(shuō)明公司的盈利在逐漸減少．答案：C2．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成正比．如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站________千米處．解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝eq\f(k1,x)，每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x，其中x是倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離，k1，k2是比例系數(shù)．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞5時(shí)，y′＞0.因此，當(dāng)x＝5時(shí)，y取得極小值，也是最小值．故當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車(chē)站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。鸢福?3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為20000元，每生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品需增加投入100元，已知總收益滿(mǎn)足函數(shù)R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400），,80000（x＞400），))其中x是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量(單位：噸)．(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400），,60000－100x（x＞400）.))(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f′(x)＝－x＋300，當(dāng)0≤x＜300時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＞300時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；所以當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)取得極大值，也是最