一、第一型曲面積分二、第二型曲面積分三、奧高公式四、斯托克斯公式第二節(jié)曲面積分1第二型曲面積分2觀察以下曲面的側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)1.有向曲面

通常光滑曲面都有兩側(cè).(假設(shè)曲面是光滑的)3有兩側(cè)的曲面.規(guī)定(1)雙側(cè)曲面２.曲面的分類法向量的方向來區(qū)分曲面的兩側(cè).4(2)單側(cè)曲面莫比烏斯(Mobius)帶.B、C粘在一起形成的環(huán)這在雙側(cè)曲面上是不能實(shí)現(xiàn)的.它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉(zhuǎn)一下,將A、D粘在一起，行帶.小毛蟲在莫比烏斯帶上,不通過邊界可以爬到任何一點(diǎn)去.5設(shè)所表示的曲面S是雙側(cè)曲面，當(dāng)以其法線正方向與z軸正向的夾角成銳角的一側(cè)（上側(cè)）為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)（下側(cè)）為負(fù)側(cè)．的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)．3.正負(fù)側(cè)的取法當(dāng)S為封閉曲面時(shí)，通常規(guī)定曲面6設(shè)S是有向曲面.假定上各點(diǎn)處的法向量與z軸正向的夾角在有向曲面取一小塊４.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影取上側(cè)為正側(cè)71.實(shí)例

流向曲面一側(cè)的流量.二、第二型曲面積分8(2)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的流體的速度場由給出,都在S上連續(xù),求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)流體的體積分割把曲面S分成小塊（表示第小塊曲面的面積),S是速度場中的光滑雙側(cè)曲面,函數(shù)(流量)。9取近似法向量為在上任取一點(diǎn),則該點(diǎn)流速為10求和該點(diǎn)處曲面S的單位法向量1112取極限設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在雙側(cè)光滑或者逐片光滑的曲面塊S上有定義，選定曲面S一側(cè)為正，將曲面S任意分成n個(gè)小曲面：將此分法表為T，用表示第k個(gè)小曲面的面積，在xy平面投影的小區(qū)域的面積是13在第k個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)

，稱為函數(shù)在曲面S關(guān)于xy的積分和。令2.定義

設(shè)函數(shù)在光滑或者逐片光滑的曲面塊S上有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)在曲面S關(guān)于xy的積分和存在極限作和14則稱是f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型面積微元.其中dxdy是曲面微元在xy上投影的即曲面積分，表為如果S是閉曲面，則在S的第二型曲面積分記為15類似地,設(shè)小曲面在yz平面與zx平面的投影小區(qū)域的面積分別是與與第二型曲面積分為則在曲面的163.存在條件4.組合形式5.物理意義（求流量，磁通量）176.性質(zhì)18定理2若有光滑曲面S:其中D是有界閉區(qū)域。函數(shù)在曲面S連續(xù)，則函數(shù)在S第二型曲面積分其中符號“”由曲面s的正側(cè)外法線與z軸正向的夾角余弦的符號決定。７.第二型曲面積分的計(jì)算方法存在，且19則20若光滑曲面S有參數(shù)方程給出且在D上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式不同時(shí)為零，則21解2223解原式==òòzdxdyS24例３