4．機(jī)械能守恒定律課程標(biāo)準(zhǔn)1．通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律。2．理解機(jī)械能守恒定律。素養(yǎng)目標(biāo)知識點(diǎn)1追尋守恒量、動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化1．追尋守恒量：伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)中，如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必將準(zhǔn)確地終止于它開始運(yùn)動時(shí)的_高度__，這說明某種“東西”在小球運(yùn)動的過程中是_不變__的。2．重力勢能可以與_動能__相互轉(zhuǎn)化。3．彈性勢能可以與_動能__相互轉(zhuǎn)化。4．機(jī)械能(1)重力勢能、_彈性__勢能與動能都是機(jī)械運(yùn)動中的能量形式，統(tǒng)稱為_機(jī)械能__。(2)機(jī)械能可以從一種形式_轉(zhuǎn)化__成另一種形式?！号幸慌小?1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉(zhuǎn)化。(√)(2)物體自由下落時(shí)，重力做正功，物體的動能和重力勢能都增加。(×)知識點(diǎn)2機(jī)械能守恒定律1．推導(dǎo)如圖所示，物體沿光滑曲面滑下。物體在某一時(shí)刻處在高度為h1的位置A，這時(shí)它的速度是v1。經(jīng)過一段時(shí)間后，物體下落到高度為h2的另一位置B，這時(shí)它的速度是v2。用W表示這一過程中重力做的功。由動能定理可得：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，又W＝_mgh1－mgh2__可得：mgh1－mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，移項(xiàng)后得：eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＋mgh2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋mgh1，即物體末狀態(tài)動能與勢能之和_等于__物體初狀態(tài)動能與勢能之和。2．內(nèi)容在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以_互相轉(zhuǎn)化__，而總的機(jī)械能_保持不變__。3．守恒條件物體系統(tǒng)中只有_重力__或_彈力__做功?！号幸慌小?1)機(jī)械能守恒時(shí)，物體一定只受重力和彈力作用。(×)(2)合力做功為零，物體的機(jī)械能一定保持不變。(×)(3)合力為零，物體的機(jī)械能一定守恒。(×)(4)只有重力做功時(shí)，物體的機(jī)械能一定守恒。(√)『選一選』(2022·渝中區(qū)重慶巴蜀中學(xué)高一月考)下列運(yùn)動過程中，機(jī)械能守恒的是(B)A．跳傘運(yùn)動員在空中勻速下落過程B．不計(jì)空氣阻力，拋出的在空中運(yùn)動的標(biāo)槍C．不計(jì)空氣阻力，隨摩天輪做勻速圓周運(yùn)動的小孩D．一個(gè)處于壓縮狀態(tài)的彈簧把小球彈出去過程，小球的機(jī)械能解析：運(yùn)動員勻速下落過程中，動能不變，重力勢能減小，機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；拋出的標(biāo)槍，在不計(jì)空氣阻力下，只受重力，滿足機(jī)械能守恒的條件，故B正確；因?yàn)樾『⒃谪Q直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，動能不變，而重力勢能隨高度改變，機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；壓縮的彈簧將小球彈出去的過程中，彈力做正功，小球的動能增加，故小球的機(jī)械能增加，所以小球的機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤?！合胍幌搿幌聢D是上?！懊髦榫€”某車站的設(shè)計(jì)方案。由于站臺建得稍高，電車進(jìn)站時(shí)要上坡，出站時(shí)要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析這種設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)嗎？答案：這樣設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)在于節(jié)約電能。解析：電車進(jìn)站前雖關(guān)閉了電動機(jī)，但仍具有動能，可使電車爬上斜坡，這是將動能轉(zhuǎn)化為勢能儲存。出站時(shí)，電車可利用斜坡再將勢能轉(zhuǎn)化成動能?？梢?，這種設(shè)計(jì)方案可以節(jié)約電能。探究對機(jī)械能守恒條件的理解要點(diǎn)提煉1.對機(jī)械能守恒條件的理解(1)物體只受重力，只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，如自由落體運(yùn)動、拋體運(yùn)動等。(2)只有彈力做功，只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化，如在光滑水平面上運(yùn)動的物體碰到一根彈簧，和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守恒。(3)物體既受重力，又受彈力，重力和彈力都做功，發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉(zhuǎn)化，如自由下落的物體落到豎直的彈簧上，和彈簧相互作用的過程中，對物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守恒。(4)除受重力或彈力外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零，如物體在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下運(yùn)動，其拉力的大小與摩擦力的大小相等，在此運(yùn)動過程中，其機(jī)械能守恒。2．判斷機(jī)械能是否守恒的方法(1)利用機(jī)械能的定義判斷(直接判斷)：若物體動能、勢能均不變，機(jī)械能不變；若一個(gè)物體動能不變、重力勢能變化，或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時(shí)增加(或減小)，其機(jī)械能一定變化。(2)根據(jù)做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機(jī)械能守恒。(3)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒。典例剖析典題1(多選)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是(CD)A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機(jī)械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)滑輪質(zhì)量和任何阻力時(shí)A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動時(shí)，小球的機(jī)械能守恒思路引導(dǎo)：解答本題時(shí)應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)機(jī)械能守恒時(shí)力做功的特點(diǎn)；(2)機(jī)械能守恒的研究對象；(3)機(jī)械能守恒中能量轉(zhuǎn)化特點(diǎn)。解析：甲圖中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)。乙圖中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對B做負(fù)功，機(jī)械能不守恒，但從能量特點(diǎn)看A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B錯(cuò)。丙圖中A、B組成的系統(tǒng)只有重力做功，動能和勢能相互轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能守恒，C對。丁圖中動能不變，勢能不變，機(jī)械能守恒，D對?？偨Y(jié)提升：物體的運(yùn)動形式有多種，判斷其機(jī)械能是否守恒，關(guān)鍵看是否只有重力或彈力做功或分析有無其他形式的能與機(jī)械能發(fā)生轉(zhuǎn)化。對點(diǎn)訓(xùn)練?為了方便打開核桃、夏威夷果等堅(jiān)果，有人發(fā)明了一款彈簧堅(jiān)果開核器，它是由錐形彈簧、固定在彈簧頂部的硬質(zhì)小球及放置堅(jiān)果的果墊組成。如圖所示，是演示打開核桃的三個(gè)步驟。則下列說法正確的是(C)A．彈簧被向上拉伸的過程中，彈簧的彈性勢能減小B．松手后，小球向下運(yùn)動過程中，小球的機(jī)械能守恒C．小球向下運(yùn)動過程中，彈簧對小球做正功D．打擊過程中，果墊對核桃做負(fù)功解析：彈簧被向上拉伸過程中，彈簧的形變量增大，故彈簧的彈性勢能增大，故A錯(cuò)誤；松手后，小球向下運(yùn)動過程中，由于彈簧彈力做功，故小球的機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；小球向下運(yùn)動過程中，彈力向下，故彈簧對小球做正功，故C正確；在打擊過程中，核桃對果墊的作用力方向上沒有發(fā)生位移，故果墊對核桃不做功，故D錯(cuò)誤。探究機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用要點(diǎn)提煉1.機(jī)械能守恒的表達(dá)式及其意義表達(dá)式物理意義從不同狀態(tài)看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能從轉(zhuǎn)化角度看Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp過程中動能的增加量等于勢能的減少量從轉(zhuǎn)移角度看EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB系統(tǒng)只有A、B兩物體時(shí)，A增加的機(jī)械能等于B減少的機(jī)械能2.應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的步驟3．機(jī)械能守恒定律和動能定理的比較兩大規(guī)律比較內(nèi)容機(jī)械能守恒定律動能定理應(yīng)用范圍只有重力和彈力做功時(shí)無條件限制物理意義其他力(重力、彈力以外)所做的功是機(jī)械能變化的量度合外力對物體做的功是動能變化的量度關(guān)注角度守恒的條件和始末狀態(tài)機(jī)械能的形式及大小動能的變化及改變動能的方式(合外力做功情況)說明－ΔEp＝ΔEk等號右邊表示動能增量時(shí)，左邊表示勢能的減少量，“mgh”表示重力勢能(或重力勢能的變化)W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)等號左邊是合外力的功，右邊是動能的增量，“mgh”表示重力的功典例剖析典題2如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上，其正上方A位置有一只小球，小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。忽略空氣阻力，對于小球下降階段，下列說法正確的是(B)A．在B位置小球動能最大B．小球與彈簧組成的系統(tǒng)，機(jī)械能保持不變C．從A→C，小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量D．從A→D，小球重力勢能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量解析：從A→B，小球做自由落體運(yùn)動，動能不斷增大；從B→C，小球的重力大于彈簧的彈力，小球所受合力向下，小球做加速運(yùn)動，動能增大；從C→D，小球的重力小于彈簧的彈力，小球所受合力向上，小球做減速運(yùn)動，動能減小，故小球在C位置動能最大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球與彈簧組成的系統(tǒng)中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變，故選項(xiàng)B正確；從A→C，小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量和彈簧的彈性勢能增加量之和，則從A→C，小球重力勢能的減少量大于小球動能的增加量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；從A→D，小球動能變化量為零，由機(jī)械能守恒定律可知，小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。對點(diǎn)訓(xùn)練?如圖所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1kg和2kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2m的輕桿相連，小球B距水平地面的高度h＝0.1m。兩球從靜止開始下滑到光滑水平地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10m/s2，則下列說法正確的是(D)A．下滑的整個(gè)過程中，A球機(jī)械能守恒B．下滑的整個(gè)過程中，B球機(jī)械能守恒C．兩球在光滑水平地面上運(yùn)動時(shí)的速度大小為1m/sD．系統(tǒng)下滑的整個(gè)過程中，B球機(jī)械能的增加量為eq\f(2,3)J解析：A、B與輕桿組成的系統(tǒng)在下滑的整個(gè)過程中，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但當(dāng)B在水平地面滑行，而A仍在斜面上滑行時(shí)，桿的彈力對A、B球做功，所以A、B兩球的機(jī)械能均不守恒，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)A、B與輕桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得，mAg(h＋Lsin30°)＋mBgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，代入數(shù)據(jù)解得系統(tǒng)在地面上運(yùn)動時(shí)的速度大小v＝eq\f(2\r(6),3)m/s，故C錯(cuò)誤；系統(tǒng)下滑的整個(gè)過程中，B球機(jī)械能的增加量ΔE＝eq\f(1,2)mBv2－mBgh＝eq\f(2,3)J，故D正確。對點(diǎn)訓(xùn)練?如圖所示，在高1.5m的光滑平臺上有一個(gè)質(zhì)量為2kg的小球被一細(xì)線拴在墻上，球與墻之間有一根被壓縮的輕質(zhì)彈簧。當(dāng)燒斷細(xì)線時(shí)，小球被彈出，小球落地時(shí)的速度方向與水平方向成60°角，則彈簧被壓縮時(shí)具有的彈性勢能為(g＝10m/s2)(A)A．10J B．15JC．20J D．25J解析：由平拋運(yùn)動規(guī)律可知h＝eq\f(1,2)gt2和vy＝gt，解得vy＝eq\r(30)m/s，小球落地時(shí)由幾何關(guān)系得，tan60°＝eq\f(vy,v0)，解得v0＝eq\f(vy,tan60°)＝eq\r(10)m/s，由機(jī)械能守恒定律可知，Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝10J，A正確。非質(zhì)點(diǎn)類物體的機(jī)械能守恒問題1．在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)來處理。2．物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解。案例如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)鐵鏈跨過一個(gè)光滑的輕質(zhì)小滑輪，不計(jì)滑輪大小，開始時(shí)下端A、B相平齊，當(dāng)略有擾動時(shí)其A端下落，則當(dāng)鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大？(重力加速度為g)解析：解法1：取整個(gè)鐵鏈為研究對象：設(shè)整個(gè)鐵鏈的質(zhì)量為m，初始位置的重心在A點(diǎn)上方eq\f(1,4)L處，末位置的重心在A點(diǎn)，則重力勢能的減少量為：ΔEp＝mg·eq\f(1,4)L，由機(jī)械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(1,4)L，則v＝eq\r(\f(gl,2))。解法2：將鐵鏈看成兩段：鐵鏈由初始狀態(tài)到剛離開滑輪時(shí)，等效于左側(cè)鐵鏈BB′部分移到AA′位置。重力勢能減少量為ΔEp＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，由機(jī)械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)，則v＝eq\r(\f(gL,2))。答案：eq\r(\f(gL,2))一、追尋守恒量、動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化1．在如圖所示的滾擺實(shí)驗(yàn)中，下列說法正確的是(B)A．滾擺下降時(shí)，動能減小，重力勢能增加B．滾擺運(yùn)動時(shí)，有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能C．滾擺運(yùn)動至最低點(diǎn)時(shí)，動能為零D．滾擺運(yùn)動至最高點(diǎn)時(shí)，一切外力突然消失，滾擺會繼續(xù)向上轉(zhuǎn)動解析：滾擺下降時(shí)，質(zhì)量不變、速度增大，動能增大；質(zhì)量不變、高度減小，重力勢能減小，故A錯(cuò)誤；滾擺運(yùn)動時(shí)，與空氣摩擦，將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故B正確；滾擺運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，速度不為零，動能也就不為零，故C錯(cuò)誤；滾擺運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，若此時(shí)外力消失，物體將處于靜止?fàn)顟B(tài)，故D錯(cuò)誤。故選B。二、機(jī)械能守恒定律2．下列情境中關(guān)于機(jī)械能守恒的分析正確的是(D)A．若物體在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則物體的機(jī)械能可能守恒B．若物體做勻減速直線運(yùn)動，則物體的機(jī)械能一定守恒C．若物體做勻變速曲線運(yùn)動，則物體的機(jī)械能一定守恒D．若物體做平拋運(yùn)動，則物體的機(jī)械能一定守恒解析：物體在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，動能不變，重力勢能不斷改變，機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；若物體做勻減速直線運(yùn)動，則系統(tǒng)的機(jī)械能不一定守恒，如物體在水平面上做減速運(yùn)動時(shí)，重力勢能不變，動能改變，機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；若物體做勻變速曲線運(yùn)動，則系統(tǒng)的機(jī)械能不一定守恒，如物體在水平面上做勻變速曲線運(yùn)動時(shí)，動能改變，重力勢能不變，機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；物體做平拋運(yùn)動時(shí)，只有重力做功，物體的機(jī)械能一定守恒，故D正確。3．(多選)質(zhì)量相同的小球A和B分別懸掛在長為L和2L的不同長繩上，先將小球拉至同一水平位置(如圖所示)從靜止釋放，當(dāng)兩繩豎直時(shí)(CD)A．兩球的速率一樣大B．兩球的動能一樣大C．兩球的機(jī)械能一樣大D．兩球所受的拉力一樣大解析：兩球在下落過程中，機(jī)械能守恒，開始下落時(shí)，重力勢能相等，動能都為零，所以機(jī)械能相等，下落到最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能也一樣大，故選項(xiàng)C正確；選取小球A為研究對象，設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為vA，動能為EkA，小球所受的拉力大小為FA，則mgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，F(xiàn)A－mg＝eq\f(mv\o\al(2,A),L)，可得vA＝eq\r(2gL)，EkA＝mgL，F(xiàn)A＝3mg；同理可得vB＝2eq\r(gL)，EkB＝2mgL，F(xiàn)B＝3mg，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，D正確。4．(多選)(2023·山東煙臺高一月考)如圖所示，運(yùn)動員跳傘經(jīng)歷(打開傘前)加速下降和(打開傘后)減速下降兩個(gè)過程，空氣阻力不可忽略。下列說法中正確的是(AD)A．加速下降過程中，重力的大小大于阻力的大小B．加速下降過程中，重力的大小小于阻力的大小C．加速下降過程中，重力勢能的減少量小于機(jī)械能的減少量D．加速下降過程中，重力勢能的減少量大于機(jī)械能的減少量解析：加速下降過程中，加速度向下，重力大于阻力，B錯(cuò)誤，A正確；加速下降過程中，重力的大小大于阻力的大小，下降相同的位移，重力做的功大于阻力做的功，阻力做負(fù)功機(jī)械能減少，重力做正功重力勢能減少，即加速下降過程中，重力勢能的減少量大于機(jī)械能的減少量，C錯(cuò)誤，D正確。5．(多選)(2022·甘肅白銀高一期末)質(zhì)量為m的小球由靜止開始自由下落，在它正下方有一輕彈簧豎直放置，如圖所示。已知小球自距輕彈簧上端h處開始下落，重力加速度大小為g，則(AD)A．小球與輕彈簧接觸時(shí)速度大小為eq\r(2gh)B．小球與輕彈簧接觸后，小球的機(jī)械能守恒C．小球與輕彈簧接觸后，小球的動能開始減小D．小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，輕彈簧的最大彈性勢能大于mgh解析：小球在下落h的過程中做自由落體運(yùn)動，則v2＝2gh，解得v＝eq\r(2gh)，故A正確；小球與輕彈簧接觸后，小球受到彈簧向上的彈力，彈力做負(fù)功，所以小球的機(jī)械能減小，故B錯(cuò)誤；當(dāng)小球與彈簧接觸后，由于彈力小于重力，小球加速度方向向下，小球向下加速，當(dāng)彈簧彈力增大到等于重力時(shí)，加速度為零，小球的速度達(dá)到最大，動能最大，此后彈簧的彈力大