2024屆北京市豐臺區(qū)第12中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度2．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．124．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．16．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知數(shù)列中，，且當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．則此數(shù)列的前項的和為（）A． B． C． D．8．若集合，則=（）A． B． C． D．9．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交10．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．11．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要12．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列（），且，則______．14．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個學(xué)生的編號是__________．15．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α118．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且，證明.19．（12分）在四棱錐的底面是菱形，底面，，分別是的中點，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．21．（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，求面積的最大值．22．（10分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計算量大大減少.4、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.5、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時，又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得：ω∈本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.6、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.7、A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和，利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和，進而可求解.【詳解】當為奇數(shù)時，，則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，當為偶數(shù)時，，則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.10、A【解析】

根據(jù)向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.11、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當時，有，當時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由題先畫出基本圖形，結(jié)合向量加法和點乘運算化簡可得，結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因為,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為，所以.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.14、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.15、192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】∵，∴，即，∴，∴．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、A=【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單18、（1）若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】

（1），分，討論即可；（2）由題可得到，故只需證，，即，采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.【詳解】由已知，，若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，對求導(dǎo)可得從而，是的兩個變號零點，因此下證：，即證令，即證：，對求導(dǎo)可得，，，因為故，所以在上單調(diào)遞減，而，從而所以在單調(diào)遞增，所以，即于是【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度的壓軸題.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點存在，設(shè)，由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，設(shè)平面的一個法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.(Ⅲ)由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點存在，設(shè)，，據(jù)此可得：，即：,從而點F的坐標為，據(jù)此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點F為中點時滿足題意.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標方程；（2）寫出點M和點N的極坐標，根據(jù)極徑的定義分別表示出和，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標方程為，，極坐標方程．（2）由題可知，，當時，.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得角C；(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數(shù)量積的定義，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解：（1）∵，，（Ⅱ）取中點，則，在中，，（注：也可將兩邊平方）即，，所以，當且僅當時取等號．此時，其最大值為.點睛：該題考查的是有關(guān)三角