天津市信息工程學(xué)校主講教師王東俠模塊五測量誤差的基本知識(shí)

項(xiàng)目5.3誤差傳播定律的應(yīng)用典型工作任務(wù)5.3

誤差傳播定律的應(yīng)用25.3誤差傳播定律的應(yīng)用一、誤差傳播定律二、注意事項(xiàng)三、應(yīng)用舉例5.3誤差傳播定律的應(yīng)用在實(shí)際工作中，有些未知量經(jīng)常不能直接測定，必須由直接觀測值間接推算出來。如多邊形的內(nèi)角和，而是直接測定內(nèi)角，然后相加得出內(nèi)角和，因此，多邊形的內(nèi)角和為各個(gè)獨(dú)立觀測角的函數(shù)。又如，對某段距離作了n次同精度丈量得，求該段長度的算術(shù)平均值，即

用三角高程測量的方法測量地面上兩點(diǎn)的高差h，是通過觀測的水平距離D和豎直角

；，按照函數(shù)關(guān)系

來計(jì)算的，等等。以上各式都稱函數(shù)式，可以測表示。顯然，在直接觀測的情況下，觀測值的中誤差和觀測值表示。顯然，在直接觀函數(shù)的中誤差存在著一定的關(guān)系。闡述獨(dú)立觀測值中誤差和觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律，它在測量中應(yīng)用十分廣泛。一、誤差傳播定律設(shè)z是獨(dú)立觀測量x1，x2，…，xn的函數(shù)，即式中：x1，x2，…，xn為互相獨(dú)立的直接觀測量，它們相應(yīng)的觀測值的中誤差分別為m1，m2，…，mn。當(dāng)x1，x2，…，xn分別有真誤差△x1，△x2，…，△xn時(shí)，則函數(shù)z隨之產(chǎn)生真誤差△z，因誤差△x（i=1,2,…,n）是一個(gè)微小數(shù)值，變量的誤差與函數(shù)誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達(dá)。把微分得如將上式中的微分量“d”改用真誤差“△”，則得式中

代入偏導(dǎo)數(shù)后求出的數(shù)值，故均為常數(shù)。根據(jù)中誤差的定義，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：為函數(shù)z分別對各變量xi

的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測值xi則觀測值的函數(shù)z的中誤差為:(5—6)

等于該函數(shù)對每個(gè)觀測值所求得的偏導(dǎo)數(shù)值與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的平方取總和再求平方根。從公式（5—6）的推導(dǎo)過程可以總結(jié)出應(yīng)用誤差傳播定律時(shí)的幾個(gè)步驟：（1）寫出函數(shù)式，如（2）對函數(shù)z進(jìn)行全微分，即

，分別求出

（3）將

、

帶入關(guān)系式（5—6）求出

根據(jù)關(guān)系式（5—6）可導(dǎo)出下列簡單函數(shù)式的中誤差傳播公式（見表5—2）。表5—2簡單函數(shù)式的中誤差傳播公式函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式備注倍數(shù)函數(shù)

為常數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)二、注意事項(xiàng)應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

1．要正確列出函數(shù)式

【例5—3】用長30m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為

=±5mm，求全長D及其中誤差mD。1）函數(shù)式D=10按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出

=10×30=300m2）實(shí)際上全長應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為

用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，用倍數(shù)公式是錯(cuò)誤的。

2．在函數(shù)式中各個(gè)觀測值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)?！纠?—4】有函數(shù)式：z=y1+2y2=1(a)

而：y1=3x;y2=2x+2(b)

若已知x的中誤差為mx，求z的中誤差mz。

1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：由（b）式得：

代入（c）式得

（上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤）上面的結(jié)果為什么是錯(cuò)誤的？因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。

正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。

【例5—5】在1:500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的實(shí)地平距DAB及其中誤差mD

。

解：函數(shù)關(guān)系為：DAB=500×dAB=25600mm

md=±0.2mm。

代入誤差傳播公式中，

得：mD2=5002×md2=10000

mD=±100mm

最后得：DAB=25.6±0.1m三、應(yīng)用舉例【例5—6】某建筑場地已劃定為長方形，獨(dú)立地測定其長和寬分別為a=30.000m,b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m,mb=±0.003m,求該場地面積A及其中誤差mA。解：函數(shù)關(guān)系式為A=a×b

屬于倍數(shù)函數(shù)

該場地面積得A=a×b=450.000m2

求函數(shù)對各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù)得轉(zhuǎn)換成中誤差表達(dá)式并求得值為

【例5—7】水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a=1.734m，前視讀數(shù)b=0.476m，中誤差分別為ma=±0.002m，mb=±0.003m，請同學(xué)們試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。

解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258m±0.004m?！纠?—8】在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50m，中誤差mL=±0.05m，并測得傾斜角α=10°34′，其中誤差mα