冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的應(yīng)用摘要：本文歸納總結(jié)了冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的幾種方法，并舉例加以運(yùn)用。關(guān)鍵字：冪級(jí)數(shù)，收斂域，和函數(shù).目錄TOC\o"1-3"\h\u93521選題意義 選題意義冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析這一領(lǐng)域是非常重要的一個(gè)板塊，它有著廣泛的運(yùn)用，比如在求近似值，微分方程等等的時(shí)候，都會(huì)運(yùn)用到冪級(jí)數(shù)，在一年一度的研究生考試中，冪級(jí)數(shù)也是作為數(shù)學(xué)考研的一個(gè)重要內(nèi)容存在的。[1]其中對(duì)于冪級(jí)數(shù)最常見的性質(zhì)就是關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂域以及求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這是高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)重點(diǎn)，因此關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂域以及和函數(shù)的研究是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要板塊。收斂性質(zhì)是函數(shù)展開式的基礎(chǔ)，這部分是冪級(jí)數(shù)的研究最基礎(chǔ)的，也是研究中最重要的。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，冪函數(shù)是最簡(jiǎn)單的一類級(jí)數(shù)，是數(shù)學(xué)分析中對(duì)于多種函數(shù)進(jìn)行研究的基礎(chǔ)。在研究數(shù)分中的函數(shù)時(shí)，它是最基本的工具，在研究指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)時(shí)，都有它的功勞。在國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其研究的熱度也是經(jīng)久不衰，它和牛頓的理論共同構(gòu)成了微積分學(xué)得兩大重要支柱。級(jí)數(shù)重要且普遍，在曾經(jīng)的中學(xué)教學(xué)中也會(huì)有所提及，它貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，是高等數(shù)學(xué)的樞紐。2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀[2]1944年，Bethe川使用了標(biāo)量勢(shì)函數(shù)的近似方法，找到冪級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，找到了圓形口徑回折的遠(yuǎn)距離場(chǎng)解決方案。1989年，劉人懷開發(fā)了Way方法，求解了計(jì)及表層抗彎剛度的夾層圓板的大撓度方程，并考慮到其表面的彎曲強(qiáng)，提出了修冪函數(shù)法。1994年Sutherland成功地使用冪函數(shù)解決方案來證明一個(gè)模型可以描述匯率的最大分布和匯率與利率差距之間不確定的相互關(guān)系。

3預(yù)備知識(shí)定理1[3]任何形如的一個(gè)冪級(jí)數(shù)，在處總是收斂的。除此之外，若該冪級(jí)數(shù)在收斂，則對(duì)于所有的滿足的，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若該冪級(jí)數(shù)在發(fā)散，則對(duì)于所以滿足的，該冪級(jí)數(shù)就是發(fā)散的。定理2[3]對(duì)于冪級(jí)數(shù)，若有，則時(shí)，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為；時(shí)，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為；時(shí)，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。若，類比上述的方法，便可以推出該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。定理3[4]冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是在上的連續(xù)函數(shù)，如果該冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的右（左）端點(diǎn)上收斂，那么其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上是左（右）連續(xù)的。定理4[6]冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與冪級(jí)數(shù)、相同。定理5[6]是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，且收斂區(qū)間為，若是上的任意的一點(diǎn)，則1.在點(diǎn)是可導(dǎo)的，且;2.在0與之間的區(qū)間上可積，且.推理1[9]若是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，且收斂區(qū)間為，則在上的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，即定理6[5]設(shè)在點(diǎn)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么在區(qū)間上等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充要條件是：對(duì)一切滿足不等式的，有這里是在處的泰勒公式余項(xiàng)。

4例題與應(yīng)用4.1冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間我們要知道冪級(jí)數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間，其次冪級(jí)數(shù)的收斂域是以原點(diǎn)為中心的。我們用來表示這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度，那么冪級(jí)數(shù)的收斂半徑就稱為，綜上所述冪級(jí)數(shù)收斂的那些收斂點(diǎn)的絕對(duì)值的上確界就是，可得：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)就只有在處是收斂的；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)域上都是收斂的；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)就在上是收斂的。對(duì)于滿足不等式的，冪級(jí)數(shù)是發(fā)散的，但是對(duì)于端點(diǎn)處的，冪級(jí)數(shù)有可能是收斂的，也有可能是不收斂的，都需要進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于區(qū)間我們稱作是冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。在求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)，最常用的方法是根式判別法和比試判別法，再根據(jù)收斂半徑從而求得收斂區(qū)間。例1[5]解決問題：求收斂區(qū)間。例如：解：因?yàn)?，所以它的收斂半徑為，即收斂區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，則有，由于級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)在時(shí)也是收斂，所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?.2求和函數(shù)的方法對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)求和，最常用到的數(shù)學(xué)方法是逐項(xiàng)積分，逐項(xiàng)求導(dǎo)，等量代換，四則運(yùn)算等，有的時(shí)候需要多種方法混合使用，例如，有的題目是先運(yùn)用逐項(xiàng)積分，然后再運(yùn)用逐項(xiàng)求導(dǎo)，有的則相反，也有的既可以先逐項(xiàng)積分，然后再逐項(xiàng)求導(dǎo)，反之亦然。我們可以在了解掌握冪級(jí)數(shù)的概念性質(zhì)的同時(shí)，會(huì)得到一些常見的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開形式，這將是我們研究?jī)缂?jí)數(shù)求和和收斂域的基礎(chǔ)，因此在求解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的時(shí)候，通常情況下都需要借助一些常用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再運(yùn)用上述手段把冪級(jí)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，最后再進(jìn)行求解，這時(shí)候就會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)中的化歸思想，將一個(gè)不太熟悉的問題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)比較熟悉的數(shù)學(xué)問題，降低解題的難度。當(dāng)傳統(tǒng)的方法不能使用的時(shí)候，可以建立一個(gè)微分方程，該方程通過和函數(shù)來建立，從而巧妙的運(yùn)用化歸思想，把對(duì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成求解關(guān)于一個(gè)微分方程的初值的問題。4.3常見的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)冪級(jí)數(shù)的常見類型有兩類，其中一種是，另一種是。第一類：求關(guān)于該類型的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，第一步應(yīng)該是想辦法把通項(xiàng)式中的去掉，再根據(jù)式子，用把或者提出來的方法，一步一步消去通項(xiàng)中的系數(shù)，從而把冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)形式變?yōu)?，這樣就可以很容易算出和函數(shù)。例2對(duì)以下的冪函數(shù)的和函數(shù)進(jìn)行求解：(1)(2)解：(1)(2)第二類：[7]求關(guān)于該類型的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，第一步應(yīng)該是想辦法把通項(xiàng)式中的去掉，再根據(jù)式子，把通項(xiàng)公式進(jìn)行變形求解和函數(shù)。例3對(duì)以下的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)進(jìn)行求解:(1)(2)解：(1)因?yàn)?，所以因此又因?yàn)榧矗汉秃瘮?shù)(2)因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂域是，設(shè)對(duì)積分，得再對(duì)積分，得因此，，，這兩種形式的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的問題，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中最基礎(chǔ)的兩種類型，在對(duì)題目進(jìn)行解答的過程中最重要的就是把通項(xiàng)公式進(jìn)行變形，變成或者這樣的形式，其余的類型都是在這個(gè)的基礎(chǔ)上展開進(jìn)行的，結(jié)合運(yùn)用一項(xiàng)一項(xiàng)積分，一項(xiàng)一項(xiàng)求導(dǎo)的公式，還有運(yùn)算法則，這樣問題會(huì)迎刃而解，會(huì)更容易求出和函數(shù)。4.4和函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用對(duì)于一個(gè)函數(shù)，在該函數(shù)上的某一點(diǎn)，若該點(diǎn)的某領(lǐng)域上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有上述公式中的為稱為拉格朗日型余項(xiàng)注意在其中是有范圍的：.此時(shí)在處的泰勒公式即為。知道了泰勒公式，現(xiàn)在來看一下泰勒級(jí)數(shù)：將在附近函數(shù)，用上述的右邊的多項(xiàng)式來做近似代替，然后舍去中的拉格朗日余項(xiàng)，此時(shí)若函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，就稱該級(jí)數(shù)在處時(shí)為泰勒級(jí)數(shù)。若要使函數(shù)在點(diǎn)的領(lǐng)域上可以展開成為泰勒級(jí)數(shù)，則在點(diǎn)的領(lǐng)域上，函數(shù)能等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)?？傻玫降仁剑悍Q為冪級(jí)數(shù)展開式。冪級(jí)數(shù)展開式是唯一。若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上，且其和函數(shù)為，那么函數(shù)在收斂區(qū)間上的泰勒展開式就是。特殊情況，當(dāng)函數(shù)在時(shí)，函數(shù)的展開式稱為的麥克勞林級(jí)數(shù)。例4解決問題：求函數(shù)的展開式例如：解由于，，的拉格朗日型余項(xiàng)為。顯然得到該式子對(duì)所有實(shí)數(shù)，都有因此，可以得到常見初等函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)有：冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)對(duì)冪級(jí)數(shù)的展開都發(fā)揮著重要的作用，冪級(jí)數(shù)的展開是在收斂區(qū)間進(jìn)行的，展開后的冪級(jí)數(shù)求和除簡(jiǎn)單的函數(shù)外，也可以用其他間接的方法把他求出來，例如：1、四則運(yùn)算；1、變量代換；2、四則運(yùn)；3、逐項(xiàng)求導(dǎo)（逐項(xiàng)求積）；...4.5冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的思想4.5.1化歸思想的概念化歸的意思就是轉(zhuǎn)化，歸結(jié)，先把不熟悉的題目轉(zhuǎn)化成為比較熟悉的數(shù)學(xué)思路，就是把需要解決的難題，用數(shù)學(xué)的思維來進(jìn)行分析，對(duì)比，聯(lián)想，再使用合理的手段把問題轉(zhuǎn)化，最后將問題解決?；瘹w最主要的就是轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)中，有很多地方都會(huì)使用到這樣的數(shù)學(xué)思想，這也是在解題中往往最關(guān)鍵的一步，俗話說“將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化”就是這樣的道理，化歸思想在冪級(jí)數(shù)的求和中也有重要的應(yīng)用。4.5.2化歸思想的主要運(yùn)用對(duì)給定的冪級(jí)數(shù)，要求出它的和函數(shù)，對(duì)其通項(xiàng)的觀察分析可以知道，可以把通項(xiàng)進(jìn)行拆分，變成我們熟悉的冪級(jí)數(shù)；可以構(gòu)造代數(shù)方程，使其方程的變量為冪級(jí)數(shù)的和，將需要求解的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題；也可以通過冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，對(duì)通項(xiàng)公式一項(xiàng)一項(xiàng)積分，或者一項(xiàng)一項(xiàng)微分，變成我們熟悉的冪級(jí)數(shù)來求解，這里就需要準(zhǔn)確計(jì)算收斂區(qū)間和最后計(jì)算結(jié)果的轉(zhuǎn)化；還可以把問題轉(zhuǎn)化成微分方程來求解，建立一個(gè)任何條件都滿足的微分方程，通過求解微分方程來得到和函數(shù)。以上方式運(yùn)用到了化歸思想，同時(shí)也是冪級(jí)數(shù)求和的重要手段，這樣可以使的求和函數(shù)更加方便準(zhǔn)確。例5求出的和函數(shù)。解首先可以知道這個(gè)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間上是收斂的例6求出的和函數(shù)。解首先可以知道這個(gè)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間上是收斂的，在化歸數(shù)學(xué)思想里，最重要的就是對(duì)問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換成我們熟悉的，基本的冪級(jí)數(shù)，結(jié)合積分，微分，方程，運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。

4.6常見的錯(cuò)誤以及分析許多時(shí)候在對(duì)冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的時(shí)候，大家都會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，導(dǎo)致最后結(jié)果出錯(cuò)，最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方有：因?yàn)閮缂?jí)數(shù)有無窮項(xiàng)，是用求和符號(hào)進(jìn)行表示的，往往大家就會(huì)把第一項(xiàng)忽視掉了，比如冪級(jí)數(shù)和，這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的首項(xiàng)是不一樣的，一個(gè)是1，另一個(gè)是，所以前者的和函數(shù)為，后者的和函數(shù)為，但是大多數(shù)人在計(jì)算時(shí)就會(huì)不小心把首項(xiàng)看錯(cuò)；還有把冪級(jí)數(shù)的收斂域計(jì)算錯(cuò)，收斂域是冪級(jí)數(shù)具有和函數(shù)的一個(gè)基本條件，就相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)的定義域，如果收斂域出錯(cuò)，那么往往和函數(shù)的定義域就會(huì)出錯(cuò)，因?yàn)閷?duì)于無窮項(xiàng)的和，它不是無論什么情況下都會(huì)存在，他只是在冪級(jí)數(shù)的收斂域上存在，存在和函數(shù)的點(diǎn)是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，所有的點(diǎn)形成了一個(gè)收斂域，兩者是等價(jià)的；最后是對(duì)整個(gè)冪級(jí)數(shù)不了解，直接忽略了冪級(jí)數(shù)中特殊的點(diǎn)，所有的通項(xiàng)都有定義域，有的是在整個(gè)數(shù)域上都成立，有的則會(huì)在某些點(diǎn)沒有意義，比如它就在處沒有意義，此處就是和函數(shù)的間斷點(diǎn)，或者此處沒有和函數(shù)。為了防止以上錯(cuò)誤的出現(xiàn)，我們?cè)谇蠛秃瘮?shù)的時(shí)候，先計(jì)算通項(xiàng)的定義域，再計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂域，先寫下來，再求和函數(shù)，將其標(biāo)注在和函數(shù)的后面，這樣就可以避免不要的錯(cuò)誤出現(xiàn)，函數(shù)的定義域與冪級(jí)數(shù)的收斂域是等價(jià)的。尤其是在運(yùn)用一項(xiàng)一項(xiàng)微分，一項(xiàng)一項(xiàng)積分這種方法求和函數(shù)的時(shí)候，首先它要求冪級(jí)數(shù)在某一段區(qū)間都是連續(xù)的，其次在進(jìn)行這樣的手段以后，收斂域就可能會(huì)被變大了，所以對(duì)求出的和函數(shù)要把起始兩個(gè)端點(diǎn)帶進(jìn)去一一驗(yàn)證是否滿足，對(duì)于某一些單獨(dú)的，特殊的點(diǎn)，也要進(jìn)行驗(yàn)證。

結(jié)束語本文主要研究了冪級(jí)數(shù)對(duì)于收斂域，和函數(shù)的求解，其中和函數(shù)的求解與收斂域有著密切的關(guān)系，正確計(jì)算收斂域是求和函數(shù)的基礎(chǔ)。冪級(jí)數(shù)它作為在函數(shù)級(jí)數(shù)領(lǐng)域最簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)，在計(jì)算的一些過程中，如果用初等函數(shù)求解非常困難，這時(shí)候冪級(jí)數(shù)就會(huì)起到至關(guān)重要的作用，冪級(jí)數(shù)的展開式，性質(zhì)會(huì)把問題變得更加的簡(jiǎn)單，使得問題迎刃而解。關(guān)于冪級(jí)數(shù)的研究很多，數(shù)不勝數(shù)，對(duì)冪級(jí)數(shù)的研究也越來越透徹，本文簡(jiǎn)單的介紹了冪級(jí)數(shù)的背景，用途和現(xiàn)狀，并總結(jié)了冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的方法手段，求和函數(shù)的思想，以及求和函數(shù)容易出錯(cuò)的地方。因?yàn)閮缂?jí)數(shù)自身的簡(jiǎn)單性，自身的多元性，使得它在很多領(lǐng)域都被廣泛的推廣，使用，隨著時(shí)間的推移，人們?cè)絹碓綇?qiáng)大的智慧，冪級(jí)數(shù)的各種性質(zhì)一定還會(huì)得到更充分的研究。

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