專題二函數(shù)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.本章內(nèi)容有

兩條主線：一是對函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種具體的基本初等函數(shù)-----次函

數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù).研究函數(shù)的問題主要圍繞以下兒個方面：函

數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等.

§2-1函數(shù)

【知識要點(diǎn)】

要了解映射的概念，映射是學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的基礎(chǔ)，對函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的深刻理解

在很多情況下要借助映射這一概念.

1、設(shè)A,8是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則力對A中的任意一個元素X,在

B中有一個且僅有一個元素y與x對應(yīng)，則稱/是集合A到集合8的映射.記作力A-B,

其中x叫原象，y叫象.

2、設(shè)集合A是一個非空的數(shù)集，對A中的任意數(shù)x,按照確定的法則力都有唯一確定

的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種映射叫做集合A上的一個函數(shù).記作y=/(x),xGA.

其中x叫做自變量，自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個函數(shù)的定義域.所有函數(shù)值構(gòu)

成的集合｛yIy=/U),xd4｝叫做這個函數(shù)的值域.函數(shù)的值域由定義域與對應(yīng)法則完全確

定.

3、函數(shù)是一種特殊的映射.其定義域和值域都是非空的數(shù)集，值域中的每一個元素都

有原象.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域，值域和對應(yīng)法則.其中定義域和對應(yīng)法則是核心.

【復(fù)習(xí)要求】

1.了解映射的意義，對于給出對應(yīng)關(guān)系的映射會求映射中指定元素的象與原象.

2.能根據(jù)函數(shù)三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

3.掌握函數(shù)的三種表示法(列表法、圖象法和解析法)，理解函數(shù)符號人》)(對應(yīng)法則)，

能依據(jù)一定的條件求出函數(shù)的對應(yīng)法則.

4.理解定義域在三要素的地位，并會求定義域.

【例題分析】

例1設(shè)集合A和8都是自然數(shù)集合N.映射力4-8把集合A中的元素x映射到集合

B中的元素則在映射/作用下，2的象是；20的原象是.

【分析】由已知，在映射了作用下x的象為2'+x.

所以，2的象是2?+2=6；

設(shè)象20的原象為x,則x的象為20,即2"+x=20.

由于xGN,2，+x隨著x的增大而增大，又可以發(fā)現(xiàn)24+4=20,所以20的原象是4.

x-l,x<0,

例2設(shè)函數(shù)/(x)=〈,則八1)=______；若人0)+八&)=-2,則a

—x+2,x+2,x>0,

的所有可能值為.

【分析】從映射的角度看，函數(shù)就是映射，函數(shù)解析式就是映射的法則.

所以/U)=3.

又共0)=—1,所以犬”)=一1,

當(dāng)aWO時，由a—1=—1得a=0；

當(dāng)a>0時，由一a2+2a+2=—1,即a2—2a—3=0得a=3或a=—1(舍).

綜上，a=0或a=3.

例3下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

(A)y=V?,y=(〃)2(B)y=|x|,y=￥

(C)y==,y=x+1X

(D)y=x,y=丁

x-1

【分析】（A）（C）（D）中兩個函數(shù)的定義域均不同，所以不是同一函數(shù).（B）中兩個函數(shù)的

定義域相同，化簡后為y=IxI及y=IfI，法則也相同，所以選（B）.

【評析】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是要看兩個函數(shù)的定義域與法則是否完全相

同.

一般有兩個步驟：（1）在不對解析式進(jìn)行變形的情況下求定義域，看定義域是否?致.（2）

對解析式進(jìn)行合理變形的情況下，看法則是否一致.

例4求下列函數(shù)的定義域

(1)y=Vx-1-l；(2)y=，-

VX2+2X-3

Vl-X2

（3）。=+。-1）。；

幽出(4)y=12^k2；

X

解：(1)由Ix—1I—120,得Ix—1121,所以x—121或x—1W—1,所以x22或

xW0.

所以，所求函數(shù)的定義域為{xI或尤<0}.

(2)由#+2%—3>0得，x>l或xV—3.

所以，所求函數(shù)的定義域為{xIx>l或xV—3}.

3-x>0,

(3)由彳匯,0,得xV3,且xWO,xWl,

x-1#0,

所以，所求函數(shù)的定義域為“k<3,且/WO,xWl}

\—x~20,W1-x-_0,nJ-1-%-11

(4)由<所以一iWxWl,且x#0.

l2-xl-2^0,、I2—xl#2,]x#0,Kx#4,

所以，所求函數(shù)定義域為"I且xWO}.

例5已知函數(shù)的定義域為（0,1）,求函數(shù)yu+1）及凡產(chǎn)）的定義域.

【分析】此題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)共外的解析式，這就要求我們根據(jù)函數(shù)三要素之

間的相互制約關(guān)系明確兩件事情：①定義域是指X的取值范圍；②受對應(yīng)法則/制約的量的

取值范圍在“已知”和“求”當(dāng)中是一致的.那么由於）的定義域是（0,1）可知法則/制約

的量的取值范圍是（0,1）,而在函數(shù)yu+i）中，受/直接制約的是x+i,而定義域是指x的

范圍，因此通過解不等式0<x+l<l得一l<x<0,即_/（x+l）的定義域是（一1,0）.同理可

得的定義域為{XI且x￥0}.

例6如圖，用長為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長

為2x,求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域.

解：根據(jù)題意，AB=2x.

…l-2x-nx

CD-nx,AD=-------------

所以，y-lx--—~—+—?TLX2=-(2+—)x2+lx.

222

x>0,

根據(jù)問題的實際意義.AD>0,x>0.解|/_2x—也得0<x<——

I--------2------->0,2+n

所以，所求函數(shù)定義域為｛xl0<%<上一｝?

2+71

【評析】求函數(shù)定義域問題一般有以下三種類型問題.

(1)給出函數(shù)解析式求定義域(如例4),這類問題就是求使解析式有意義的自變量的取值

范圍.正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.

中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對變量有限制的運(yùn)算法則有：①分式中分母不為零；②偶次方根下被

開方數(shù)非負(fù)；③零次暴的底數(shù)要求不為零；④對數(shù)中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

JI

⑤y=tanx,則X/ATI+I，k^Z.

(2)不給出;(x)的解析式而求定義域(如例5).其解決辦法見例5的分析.

(3)在實際問題中求函數(shù)的定義域(如例6).在這類問題中除了考慮解析式對自變量的限

制，還應(yīng)考慮實際問題對自變量的限制.

另外，在處理函數(shù)問題時要有一種隨時關(guān)注定義域的意識，這是極其重要的.比如在研

究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域.

例7⑴已知求危)的解析式；

X1-x

(2)己知/(X+L)=X2+3，求A3)的值；

XX

(3)如果/)為二次函數(shù)，式0)=2,并且當(dāng)x=l時，於)取得最小值一1,求加)的解析式:

(4)*已知函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)=2'的圖象關(guān)于直線x=l對稱，求_/(x)的解析式.

【分析】(1)求函數(shù)凡0的解析式，從映射的角度看就是求對應(yīng)法則，于是，我們一般有

下面兩種方法解決(1)這樣的問題.

1

方法一./(工)=丁匚=I*?通過這樣“湊型”的方法,我們可以明確看到法則

X--X(-)2-1

XX

X

了是“原象對應(yīng)于原象除以原象的平方減i”.所以，/(X)=F■丁

1

11f

方法二.設(shè)上=f,則彳=-.則/?)=—^-=一一，所以/(幻x=?

xt.1r-1x-[

1-7

這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.

⑵用“湊型”的方法，/(X+-)=X2+4-=(X+-)2-2.所以/(X)=—2,〃3)=7.

XXX

(3)因為Ax)為二次函數(shù)，并且當(dāng)x=l時，兀0取得最小值一1,

所以，可設(shè)式x)=”(x-l)2-l,

又10)=2,所以0(0—1猿-1=2,所以0=3.

Xx)=3(x-l)2-l=3?-6r+2.

(4)這個問題相當(dāng)于已知人x)的圖象滿足一定的條件，進(jìn)而求函數(shù)/U)的解析式.所以，

可以類比解析兒何中求軌跡方程的方法求.加0的解析式.

設(shè)兀0的圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為尸(x,y),則P關(guān)于x=l對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。(2—x,y),

由已知，點(diǎn)。在函數(shù)y=g(x)的圖象上，

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(2—x,y)滿足y=g(x)的解析式，即y=g(2—))=22-*,

所以，

【評析】由于已知條件的不同，求函數(shù)的解析式的常見方法有象(1)(2)所用到的“湊形”

及“換元”的方法；有象(3)所用到的待定系數(shù)法；也有象(4)所用到的解析法.

值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函數(shù)解析式或者求軌跡方程時都可以用這種方

法，是一種通法.同時也表明函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的聯(lián)系.

例8已知二次函數(shù)兀0的對稱軸為x=l,且圖象在y軸上的截距為一3,被x軸截得的

線段長為4,求人x)的解析式.

解：解法一

設(shè)/(x)=ax2+bx+c,

由/(x)的對稱軸為x=1,可得6=-2a；

由圖象在y軸上的截距為一3,可得。=一3；

由圖象被x軸截得的線段長為4,可得x=-1,x=3均為方程“，+加；+?=0的根.

所以五-1)=0,BPa—b+c—0,所以a=l.

f^x)=x2—2x—3.

解法二

因為圖象被X軸截得的線段長為4,可得X=-1,x=3均為方程式x)=0的根.

所以，設(shè)兀r)="(x+I)(x—3),

又穴x)圖象在)，軸上的截距為一3,即函數(shù)圖象過(0,一3)點(diǎn).

即—3a——3,a=l.所以兀0=苫2—2x—3.

【評析】二次函數(shù)是非常常見的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

一般式y(tǒng)uaf+bx+c；

頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—〃/+匕其中(/?,處為頂點(diǎn)坐標(biāo)；

雙根式y(tǒng)=a(x-xi)(x-x2)，其中內(nèi)，也為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)所

對應(yīng)的一元二次方程的兩個根.

例9某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW?h,年用電量為akW-h.本年度計劃將電價

降至IJ0.55元/kW?h至0.75元/kW?h之間，而用戶期望電價為0.40元/kW?h.

經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為

k).該地區(qū)電力的成本價為0.30元/kW?h.

(1)寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長

20%?

解：(1)依題意，當(dāng)實際電價為x元/kW?h時，用電量將增加至一匚+4,

x-0.4

故電力部門的收益為y=(―^-+a)(x-03)(0.55<x<0.75).

x-0.4

(2)易知，上年度的收益為(0.8—0.3)“，依題意，

(+a)(x-0.3)><7(0.8-0.3)(1+20%),且0.55WxW0.75,

無一0.4

解得O.6OWxWO/75.

所以，當(dāng)電價最低定為0.60元仍可保證電力部門的收益比上年至少增長

20%.

練習(xí)2—1

一、選擇題

1.已知函數(shù)/(x)=/的定義域為M,g(x)=ln(l+x)的定義域為N,則)

y/1-X

(A){xIx>l}(B){xIx<l}(C){xI-1<X<1}(D)0

2.圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()

3

(A)y=—Ix-11(0<x<2)

33

(B)y=------Ix-11(0<x<2)

22

3.

(C)y=-—1x-11(0<x<2)

(D)y=l—Ix-1I(04W2)

3.已知Ax-l)=f+2x,則/(1)=()

X

12113x2+4x+12x+l

(A)-r-\(B)--1(C)——;(D)

XXX廠

x+3,x<-1,

4.已知/(尤)=<<x<2,若%)=3,則X的值是()

3x,x>2

(C)±V3(D)V3

二、填空題

5.給定映射/：(x,y)f(x+2y,x—2y),在映射/下(0,1)的象是:(3,1)的原象是

6.函數(shù)/*)=J3旨-x學(xué)的定義域是.

7.已知函數(shù)犬此，g(x)分別由下表給出

則.例(1)］的值為:滿足的x的值是.

8.已知函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)=2'的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，則/(x)的解析式為

三、解答題

x~(XN0)

9.已知Ax)=2*+x—1,g(x)=〈一求g(—D，g［/U)］的值.

x-l(x<0),

10.在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，一運(yùn)動物體經(jīng)過點(diǎn)A(0,9),其軌跡方程為y=af+c(4<

0),D=(6,7)為x軸上的給定區(qū)間.為使物體落在區(qū)間。內(nèi)，求”的取值范圍.

%

9

II.如圖，直角邊長為2cm的等腰RtZVlBC,以2cm/s的速度沿直線/向右運(yùn)動，求該三

角形與矩形CCEF重合部分面積)，(cn/)與時間t的函數(shù)關(guān)系(設(shè)0W/W3),麻出y的最

大值.

B2cmCD

§2-2函數(shù)的性質(zhì)

【知識要點(diǎn)】

函數(shù)的性質(zhì)包括函數(shù)的定義域、值域及值的某些特征、單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱

性等等.本章著重研究后四個方面的性質(zhì).

本節(jié)的重點(diǎn)在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單

的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合是本節(jié)常用的思想方法.

1.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為。，如果對于。內(nèi)的任意一個X,都有一XG。，且A-x)

=-Ax),則這個函數(shù)叫做奇函數(shù).

設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為如果對于。內(nèi)任意一個x,都有一xe。，且g(—x)=g(x),

則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).

由奇函數(shù)定義可知，對于奇函數(shù)y=/(x),點(diǎn)尸(x,人外)與點(diǎn)P(—x,一兀0)都在其圖象

上.又點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對稱，我們可以得到：

奇函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；通過同樣的分析可以得到，偶

函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形.

2.一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A,區(qū)間如果取區(qū)間〃中的任意兩個值

X1.X2,改變量X|>。，則

當(dāng)△y=Ax2)-/UD>0時，就稱函數(shù)y=/H)在區(qū)間M上是增函數(shù)；

當(dāng)△y=/(X2)-/(Xi)V0時，就稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間M上是減函數(shù).

如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間用上具

有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.

在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.

3.?般的，對于函數(shù)式x),如果存在一個不為零的常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域中的每?

個值時，/+D=加)都成立，那么就把函數(shù)y=/(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這

個函數(shù)的周期.

4.一般的，對于函數(shù)Ax),如果存在一個不為零的常數(shù)處使得當(dāng)x取定義域中的每一

個值時，—x)都成立，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

【復(fù)習(xí)要求】

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，

會利用函數(shù)的單調(diào)性處理有關(guān)的不等式問題；

2.了解函數(shù)奇偶性的含義.能判斷簡單函數(shù)的奇偶性.

3.了解函數(shù)周期性的含義.

4.了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性和周期性之間的聯(lián)系，并能解決相關(guān)的簡單問題.

【例題分析】

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(D/U)(2)/(X)-—F1；

x

,1+x

(3)共幻=/一3x；(4)y=1g-——

l-x

2x-\

(5))'=

2X+1

Y

解：(1)解得到函數(shù)的定義域為&lx>l或xWO},定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)不

x-1

對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

(2)函數(shù)的定義域為{xIx#0},但是，由于人1)=2,人-1)=0,即人1)#大-1),且JU)

W—/(—1),所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

(3)函數(shù)的定義域為R,又大-x)=(—x)3—3(—%)=—/+3乂=一加0，

所以此函數(shù)為奇函數(shù).

]+X

(4)解一>0,得一1<X<1,

1-X

T7\11+(一X).1—X.1+X

又/(-x)=1g--=1g--=-1g--=-/(X),

1-(-x)1+X1-X

所以此函數(shù)為奇函數(shù).

2-x-11-2X

(5)函數(shù)的定義域為R,又三萬二=一/(%)，

所以此函數(shù)為奇函數(shù).

【評析】由函數(shù)奇偶性的定義，可以得到下面幾個結(jié)論：

①一個函數(shù)是奇(或偶)函數(shù)的必要不充分條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱：

②Ax)是奇函數(shù)，并且式x)在x=0時有定義，則必有人0)=0；

③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其解析式一定為穴x)=0.

判定函數(shù)奇偶性按照其定義可以分為兩個步驟：

①判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；

②考察八一x)與/(X)的關(guān)系.

由此，若以奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)可以把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函

數(shù)四類.

例2設(shè)函數(shù)Ax)在R上有定義，給出下列函數(shù)：

①y=-I；②丫=獷}2)；③y=-/(-x)；@y=f(x)-fi-x).

其中必為奇函數(shù)的有.(填寫所有正確答案的序號)

【分析】①令尸(x)=—\fix)\,則F(—x)=-\fi-x)I,由于/(x)與八一x)關(guān)系不明確,

所以此函數(shù)的奇偶性無法確定.

②令尸(x)=xj(x2),則F(—x)=一燈[(~x)2]=-xf{x}=一F(x),所以尸(x)為奇函數(shù).

③令尸(x)=-/(—x),則尸(一x)=-/1—(一為]=一段)，由于/(x)與"一無)關(guān)系不明確，所

以此函數(shù)的奇偶性無法確定.

④令F(x)=/□)—?—x),則尸(一x)=/(—x)—/I—(—x)]=;(—x)—/U)=-F(x),所以F(x)

為奇函數(shù).

所以，②④為奇函數(shù).

例3設(shè)函數(shù)Ax)在R上有定義，"0的值不恒為零，對于任意的x,yGR,恒有人x+

y)=/U)+_/O，)，則函數(shù)負(fù)x)的奇偶性為.

解：令x=y=O,則共0)=犬0)+八0),所以式0)=0,

再令y=-x,則A0)=/(幻+八一x),所以八-x)=-/(x),又Ax)的值不恒為零，

故K"是奇函數(shù)而非偶函數(shù).

【評析】關(guān)于函數(shù)方程“Rx+y)=Kr)+%)”的使用一般有以下兩個思路：令x,y為某

些特殊的值，如本題解法中，令x=y=O得到了40)=0.當(dāng)然，如果令x=y=l則可以得到

犬2)="(1),等等.

令x,y具有某種特殊的關(guān)系，如本題解法中，令丫=一元得到人2%)=">),在某些情

況下也可令y=L,y=x,等等.

x

總之，函數(shù)方程的使用比較靈活，要根據(jù)具體情況作適當(dāng)處理.在不是很熟悉的時候，

要有試-一試的勇氣.

例4已知二次函數(shù)Ax)=f+bx+c滿足式l+x)=/(l-x),求b的值，并比較八一1)與

<4)的大小.

解：因為/U+x)=/(l—x),所以x=l為二次函數(shù)圖象的對稱軸，

所以一2=1,b=-2.

2

根據(jù)對稱性，八-1)=犬3),又函數(shù)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以大3)</必)，即/(一1)<人4).

例5已知{x)為奇函數(shù)，當(dāng)x20時?，犬x)=f-2x,

(1)求人-1)的值；

(2)當(dāng)xVO時，求/W的解析式.

解：(1)因為兀0為奇函數(shù)，所以/(—1)=一式1)=一(廿一2X1)=1.

(2)方法一：當(dāng)-VO時,—x>0.所以，?r)=一八一x)=—[(一》尸一2(—x)]=一/一2x.

方法二：設(shè)(r,y)是?x)在丸<0時圖象上一點(diǎn)，則(一心一y)一定在?r)在工>0時的圖

象上.所以，一y=(-x)2—2(一1)，所以y=一—一型.

例6用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù)丫=4/+法+以。>0)在區(qū)間(—2,+8)上為增函

2a

數(shù).

b

證明：設(shè)X]、%2￡(----,4-00),且X[〈冗2

2a

22

J(x2)—f(Xi)=(ax2+bx2+c)—(axl+bxi+c)=a(X2—x1)-]-b(X2—xi)

=a(x2+x})(x2-xi)+b(x2—xi)=(x2-x])[a(<xi+x2)+b]

因為X1〈X2，所以尢2一總>0，又因為石、x7e(一~—,+co),

2a

一b

所以X]+>---M(X[+12)+》>0，所以犬彳2)—久￥])>0,

a

?h

函數(shù)了="￥+瓜+。(。>0)在區(qū)間(----,+oo)上為增函數(shù).

2a

例7已知函數(shù)y(x)是定義域為R的單調(diào)增函數(shù).

(1)比較人力+2)與/(功)的大?。?/p>

(2)若人/)>犬。+6),求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)因為。?+2—2a—(a—1)2+1>0,所以。2+2>2?,

由已知，/U)是單調(diào)增函數(shù)，所以穴/+2)>人2〃).

(2)因為Ax)是單調(diào)增函數(shù)，且_A〃2)>y3+6),所以“2>a+6,

解得a>3或a<—2.

【評析】回顧單調(diào)增函數(shù)的定義，在打，必為區(qū)間任意兩個值的前提下，有三個重要的

問題：Ax=X2-X|的符號；△y=/(X2)—/(xi)的符號；函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是增還是減.

由定義可知：對于任取的X”X2，若M>X],且於2)>/1)，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是

增函數(shù)；

不僅如此，若X2>X”且函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則八*2)>/(勺)；

若Z(X2)>y(Xi),且函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則X2>Xi；

于是，我們可以清晰地看到，函數(shù)的單調(diào)性與不等式有著天然的聯(lián)系.請結(jié)合例5例6

體會這一點(diǎn).

函數(shù)的單調(diào)性是極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其他問題的聯(lián)系、自身的應(yīng)用都很廣泛，在

復(fù)習(xí)中要予以充分注意.

例8設(shè)氏￥)是定義域為(-8,0)U(0,+8)的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(一8,0)上是減函

數(shù).

(1)試比較式-2)與一A3)的大?。?/p>

(2)若機(jī)“V0,且m+”V0,求證：機(jī))+/(")>0.

解：(1)因為人用是奇函數(shù)，所以一A3)=/(—3),

又Kr)在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)，所以3)>八—2),即一?3)>八-2).

(2)因為加〃<0,所以"?，〃異號，不妨設(shè)加>0,〃<0,

因為，"+"<0,所以一機(jī)，

因為〃，一機(jī)6(—8,0),〃<一加，?c)在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)，

所以H〃)刁(一m),

因為/U)是奇函數(shù)，所以八一〃?)=-/(>),

所以加)>—/(加)，即加)+加)>0.

例9函數(shù)/U)是周期為2的周期函數(shù)，且式x)=f,xG[-L1|.

(1)求人7.5)的值；

(2)求人制在區(qū)間[2”-1,2”+1]上的解析式.

解：(1)因為函數(shù)加0是周期為2的周期函數(shù)，所以Ax+2k)=/(x),k，

所以/(7.5)=犬―0.5+8)=/(_0.5)=

4

(2)設(shè)-1,2n+l],Oil]x-2ne[-1,1].

所以2〃)=(x—2")\xG12n_1>2n+1].

練習(xí)2-2

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，在(1,+8)上為增函數(shù)的是()

(A)y=x2-4x(B)y=|xI(C)y=-(D)y=x2+2x

X

2.下列判斷正確的是()

(A)定義在R上的函數(shù)式x),若八—1)=穴1)，且/(-2)=人2),則兀v)是偶函數(shù)

(B)定義在R上的函數(shù)兀0滿足人2)>人1),則犬x)在R上不是減函數(shù)

(C)定義在R上的函數(shù)/U)在區(qū)間(-8,0]上是減函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上也是減函數(shù)，

則J(x)在R上是減函數(shù)

(D)不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)

3.已知函數(shù)Ax)是R上的奇函數(shù)，并且是周期為3的周期函數(shù)，又知#1)=2.則人2)=()

(A)-2(B)2(C)l(D)-l

4.設(shè)次x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

(AM>加-x)是奇函數(shù)(BM>)|八一x)I是奇函數(shù)

仁加力一八一x)是偶函數(shù)(DV(x)+_A—x)是偶函數(shù)

二、填空題

5.若函數(shù)一機(jī)x+5在區(qū)間[-2,+8)是增函數(shù)，則機(jī)的取值范圍是；人1)

的取值范圍是.

6.已知函數(shù)兀0是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù).當(dāng)xd(-8,0)時，AX)=X-X4,則當(dāng)X

G(0,+8)時，/(x)=.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=++為奇函數(shù),則實數(shù)。=.

X

8.已知函數(shù)/(x)=/一COSX,對于[-二,%I上的任意X],X2,有如下條件：

22

@X1>X2；②X：>X；；(3)IX|I>x2.

其中能使/(XI)>大工2)恒成立的條件序號是

三、解答題

9.已知函數(shù)/U)是單調(diào)減函數(shù).

⑴若40,比較f(4+3)與/(3)的大小;

a

(2)若大Ia-iI)刁(3),求實數(shù)〃的取值范圍.

10.已知函數(shù)/(x)=/壬0,aeR).

x

(1)判斷函數(shù)#x)的奇偶性；

(2)當(dāng)。=1時，證明函數(shù)兒丫)在區(qū)間[2,+8)上是增函數(shù).

11.定義在(0,+8)上的函數(shù)火X)滿足①人2)=1；?J(xy)=f(x)+f(y),其中x,y為任意正實

數(shù)，③任意正實數(shù)x,y滿足x壬y時，，(x—5)伏>)—心)]>0恒成立.

⑴求川)，旭)的值；

(2)試判斷函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(3)如果/U)+/(x-3)W2,試求x的取值范圍.

§2-3基本初等函數(shù)(I)

本節(jié)復(fù)習(xí)的基本初等函數(shù)包括：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)，

三角函數(shù)在三角部分復(fù)習(xí).

函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)習(xí)函數(shù)的“捷徑”是熟知函數(shù)的圖象.熟知

函數(shù)圖象包括三個方面：作圖，讀圖，用圖.

掌握初等函數(shù)一般包括以下一些內(nèi)容:首先是函數(shù)的定義,之后是函數(shù)的圖象和性質(zhì).函

數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點(diǎn)、最值以及值

的變化特點(diǎn)等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時候應(yīng)全面考慮.

函數(shù)的定義(通常情況下是解析式)決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)的

性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).

【知識要點(diǎn)】

1.一次函數(shù)：y=kx+h(k^O)

⑴定義域為R，值域為R；

⑵圖象如圖所示，為一條直線;

(3火＞0時，函數(shù)為增函數(shù)，ZV0時，函數(shù)為減函數(shù)；

⑷當(dāng)且僅當(dāng)b=0時一次函數(shù)是奇函數(shù).一次函數(shù)不可能是偶函數(shù).

h

(5)函數(shù)》=履+/?的零點(diǎn)為----

k

2.二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a^0)

b4"—

通過配方，函數(shù)的解析式可以變形為y=a(x+—)2+—i—

la4a

(1)定義域為R：

—b~

當(dāng)〃＞0時、值域為［，+8)；

4-cic—h~

當(dāng)。＜0時，值域為(一8,

4ac-b2

).

4a

當(dāng)。＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)。＜0時，拋物線開口向下.

(3)當(dāng)。＞0時，(—co,---［是減區(qū)間，［----,+8)是增區(qū)間；

2a2a

hb

當(dāng)〃VO時，(-00,一一］是增區(qū)間，［一一,+8)是減區(qū)間.

2a2a

(4)當(dāng)且僅當(dāng)方=0時，二次函數(shù)是偶函數(shù)；二次函數(shù)不可能是奇函數(shù).

-b±y1h2-4ac

(5)當(dāng)判別式A=E—4〃c＞0時，函數(shù)有兩個變號零點(diǎn)

2a

b

當(dāng)判別式A=/—%c=0時，函數(shù)有一個不變號零點(diǎn)——；

2a

當(dāng)判別式A=%2—〃c<0時，函數(shù)沒有零點(diǎn).

3.指數(shù)函數(shù)y=/(a>0ILaWl)

⑴定義域為R；值域為(0，+8).

(2)a>l時，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)；0<。<1時，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù):

(3)函數(shù)圖象如圖所示.不具有奇偶性、周期性，也沒有零點(diǎn).

4.對數(shù)函數(shù)y=log/(a>0且°片1),

對數(shù)函數(shù)y=lo&x與指數(shù)函數(shù)y=a*互為反函數(shù).

(1)定義域為(0，+°°);值域為R.

(2)a>l時，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)：0<。<1時，對數(shù)函數(shù)為減函數(shù);

(3)函數(shù)圖象如圖所示.不具有奇偶性、周期性，

(4)函數(shù)的零點(diǎn)為1.

5.第函數(shù))，=xa(aGR)

募函數(shù)隨著a的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同

的性質(zhì)：

(1)所有的募函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)；

(2)如果a>0,則塞函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間|0,+8)上是增函數(shù)；

(3)如果a<0,則基函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向

于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限地接近y軸I,當(dāng)x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地接近

x軸.

要注意：

因為所有的基函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且當(dāng)xe(o,+8)時，.產(chǎn)>0,所以所有的

幕函數(shù)y=x&(aWR)在第一象限都有圖象.

根據(jù)篝函數(shù)的共同性質(zhì)，可以比較容易的畫出一個基函數(shù)在第一象限的圖象，再根據(jù)基

函數(shù)的定義域和奇偶性，我們可以得到這個塞函數(shù)在其他象限的圖象，這樣就能夠得到這個

幕函數(shù)的大致圖象.

6.指數(shù)與對數(shù)

(1)如果存在實數(shù)x,使得x"=a(aCR,n>\,"GN'),則x叫做a的w次方根.

負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

(Va)n=a{n>l,neN+)；

(叱)=卜當(dāng)〃為奇數(shù)時

')1laI,當(dāng)〃為偶數(shù)時

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，

I

a"=如4>0)；

m__

於=M)m=6(a>0,n,mGN*,且'為既約分?jǐn)?shù)).

n

i

a"=—(a>0,n,meN",且m一為既約分?jǐn)?shù)).

n

a"

(3)基的運(yùn)算性質(zhì)

apapaa

a?aP=a^P,^)=a,(abf=ab,a°=l(a#0).

(4)一般地，對于指數(shù)式我們把“b叫做以a為底N的對數(shù)”記為lo&N,

即b=log?N(a>0,且aWl).

(5)對數(shù)恒等式：a嗎N=N.

(6)對數(shù)的性質(zhì)：零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)(對數(shù)的真數(shù)必須大于零!)；

底的對數(shù)是1,1的對數(shù)是0.

(7)對數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式：

M

log〃(MN)=log.M+log(,N;log0—=log(,M-log?N

a

logaM=alognM；

log*=.(其中40且aWl,b>0且bWl,M>0,N>0)

loga

【復(fù)習(xí)要求】

1.掌握基本初等函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì)，能運(yùn)用這些知識解決有關(guān)的問題；其中塞

11

函數(shù)主要掌握y=x,y^x2,y=x:y=—,y=/這五個具體的幕函數(shù)的圖象與性質(zhì).

x

2.準(zhǔn)確、熟練的掌握指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算；

3.整體把握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題.

【例題分析】

例1化簡下列各式：

---I_r]()_i

(1)325x273；(2)J2-+(2—)3-27T°；

V427

(3)(0.027)(-y)2+(2.；；(4)log2[log3(log464)]；

Ig2+lg5-lg8

lg50-lg40-

?￡214

解：(1)325X273=(25)5x(33)3=22x3-=；

_1,osco,9T64331

(2)(2—)°?5+(2——)3-2TI0=(-)2+(——)3-2=-+--2=--

427427244

(3)(0.027)^-(-I)-2+(2,=(京)彳一49+=y-49+|=-44

3

(4)log2[log3(log464)|=log2[log3(log44)]=log2[log33]=log21=0.

2x55

Ig2+lg5-lg8但8=町二1

'lg50-lg40.505?

6404

【評析】指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算是兩種重要的運(yùn)算，在運(yùn)算過程中公式、法則的準(zhǔn)確、靈活使

用是關(guān)鍵.

例2已知二次函數(shù)/U)滿足人2)=-1,大-1)=-1,且Ax)的最大值為8,試確定Ax)

的解析式.

解：解法一

設(shè)7^)="2+6+<?(。―0)，依題意

4a+2b+c=-1,a=-4,

<a-b+c=-l，解之得,b=4,解之得所以所求二次函數(shù)為/(x)=-4f+4x+7.

4ac-b20c=7,

4a

解法二

/(x)=a(x—〃尸+k(a力0),

為人2)=-1,A-1)=-1＞所以拋物線的對稱軸為》=歸心=’，

22

1

又幾丫)的最大值為8,所以/(冗)=。(工一一)29+8.

11,

因為(一1,一1)點(diǎn)在拋物線上，所以一1=。(一1一一)2+8,解得”=一4.

2

所以所求二次函數(shù)為/(X)=—4(x—；)2+8=—4x2+4x+7.

例3(1)如果二次函數(shù)Ax)=f+(a+2)x+5在區(qū)間(2,+8)上是增函數(shù)，則。的取值

范圍是.

(2)二次函數(shù)y=ax2—4x+a—3的最大值恒為負(fù)，則a的取值范圍是.

(3)函數(shù)人外=/+法+。對于任意fGR均有12+。=火2—。，則41),f(2),大4)的大小關(guān)

系是.

解：(1)由于此拋物線開口向上，且在(2,+8)上是增函數(shù)，

畫簡圖可知此拋物線對稱軸X=-竺2或與直線x=2重合，或位于直線x=2的左側(cè),

2

于是有一絲2?2,解之得a2—6.

2

(2)分析二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)最大值恒為負(fù)的充耍條件是“二次項系數(shù)a＜0,

a<0,

且判別式△＜()"，即解得aG(—8,—1).

16—4a(a-3)<0

(3)因為對于任意/GR均有X2+r)=/(2—r),所以拋物線對稱軸為x=2,又拋物線開口

向上，做出函數(shù)圖象簡圖可得大2)＜人1)＜八4).

例4已知函數(shù)/v)=mf+(機(jī)-3)x+l的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè)，

求實數(shù)”的范圍.

解：當(dāng)機(jī)=0時，Ax)=-3x+l,其圖象與x軸的交點(diǎn)為(g,0),符合題意；

當(dāng)機(jī)V0時，注意到,*0)=1,又拋物線開口向下，所以拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)必在原

點(diǎn)兩側(cè).所以機(jī)＜0符合題意；

當(dāng)機(jī)＞0時，注意到人0)=1,又拋物線開口向上，所以拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)必在原

A=(m-3)2-4m>0,

點(diǎn)同側(cè)(如果存在)，所以若滿足題意，則b3—m八解得0V〃zWl.

----=----->0,

2a2m

綜