高二數(shù)學(xué)必修二第四章圓與圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第四章圓與方程?1、圓的定義:平面設(shè)M(x,y)為?A上任意一點(diǎn)，則圓的集合可以寫(xiě)作:P={M||MA|=r}?2、圓的方程(1點(diǎn)M(x0,y0)與圓的位置關(guān)系:當(dāng)，點(diǎn)在圓外;當(dāng)，點(diǎn)在圓上當(dāng))<r，點(diǎn)在圓(x+D/2)+(y+E/2)=(D+E-4F)/4()，半徑為當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。(3)求圓的方程的方法:待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn);直接法:直接根據(jù)已知條件求出圓心坐標(biāo)以及半徑長(zhǎng)度。2222另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)圓心，以此來(lái)確定圓心的位置。?3、直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓的位置關(guān)系有三種情況:(1)設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為與C相離;與C相切;與C相交(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線k，?若求得兩個(gè)相同的解，帶入切線方程，得到一條切線;接下來(lái)驗(yàn)證過(guò)該點(diǎn)的斜率不存在的直線(此時(shí)，該直線一定為另一條切線):圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為第1頁(yè)共6頁(yè)?4、圓與圓的位置關(guān)系:通過(guò)兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和(差的絕對(duì)值)，與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。(即幾何法)注意:已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上;已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線?5、.圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0聯(lián)立圓C1的方程與圓C2的方程得到一個(gè)二元一次方程?若兩圓相交，則該二元一次方程表示:圓C1與圓C2公共弦所在的直線方程;?若兩圓相切，則該二元一次方程表示:圓C1與圓C2的公切線的方程;?若兩圓外離，則該二元一次方程表示的直線具有一個(gè)性質(zhì):從直線上任意一點(diǎn)向兩個(gè)圓引切線，得到的切線長(zhǎng)相等(反之，亦成立)?6、已知一直線與圓相交，求弦的長(zhǎng)度?代數(shù)法:聯(lián)立圓與直線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)?幾何法:半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形(勾股定理)?代數(shù)法:直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程;利用弦長(zhǎng)公式:|,,|,,1-,2|(或者|,,|,-y2|)求解k?7、已知兩圓相交，求公共弦的長(zhǎng)度?代數(shù)法:聯(lián)立兩圓的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo);利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)?代數(shù)法:聯(lián)立兩圓的方程求出公共弦所在直線的方程(設(shè)公共弦的端點(diǎn)分別為A、B);公共弦直線方程與任一圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程;利用弦長(zhǎng)公式:|,,|,,1-,2|(或者|,,|,-y2|)求解k?幾何法:半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形(勾股定理)?幾何法:根據(jù)圖像求解(兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)未知數(shù)，解二元一次方程組)?8、圓系與圓系方程(1)圓系:具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。(2)圓系方程:(一).圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ?-1)--(?)?若圓C1與圓C2交于P1、P2點(diǎn)，那么，方程(?)代表過(guò)P1、P2兩點(diǎn)的圓的方程。?若圓C1與圓C2交于,點(diǎn)(一個(gè)點(diǎn))，則方程(?)代表與圓,1、圓,2相切于,點(diǎn)的圓的方程。0與圓,:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切(二).直線,:,,+,,+,,則過(guò)它們的交點(diǎn)的圓系方程為:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(,,+,,+,),0?9、直線與圓的方程的應(yīng)用用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”:第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第二步:通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題;第三步:將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論第2頁(yè)共6頁(yè)軸對(duì)稱例1、已知點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，在直線L:y=3x-1上找一點(diǎn)P，求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)。解:如圖，，，設(shè)點(diǎn)C(x,y)是點(diǎn)B關(guān)于直線L對(duì)稱點(diǎn)，則由1得:1方程為:，將其與直線y=3x-1聯(lián)立，3?直線BC的解得:其中D為BC中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得C(3,3)。顯然:|PA|-|PB|,|PA|-|PC|?|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|-|PB|最大。可求得:直線AC方程為:，與L方程聯(lián)立解得P的坐標(biāo)為(2,5)。例2、光線由點(diǎn)C(3，3)出發(fā)射到直線L:y=3x-1上，已知其被直線L反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1)，求反射光線方程。解:設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)，則由光線反射的知識(shí)易知:點(diǎn)B在反射光線上，故所求的反射光線的方程即為直線AB所在的直線方程。3由例1知點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為B(0,4)，故直線AB的方程易求得為:。4它即為反射光線方程。直線和圓1(自點(diǎn)(,3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程(解:已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x,2)2，(y,2)2,1，它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x,2)2，(y，2)2,1。設(shè)光線L所在直線方程是:y,3,k(x，3)。由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C′(2，,2)到這條直線的距離等于1，即(第3頁(yè)共6頁(yè)34整理得解得或(故所求的直線方程是43，或，即3x，4y,3,0，或4x，3y，3,0(43，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截2(已知圓C:得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線L的方程，若不存在說(shuō)明理由((14分)解:圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為的坐標(biāo)為(a，b)假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M由于CM?L，?,1?，即a+b+1=0，得b=,a,1?直線L的方程為y,b=x,,，即x,y+b,a=0??以AB為直徑的圓M過(guò)原點(diǎn)，?，??把?代入?得，?或當(dāng)時(shí)此時(shí)直線L的方程為:x,y,4=0;當(dāng)時(shí)此時(shí)直線L的方程22為:x,y+1=0故這樣的直線L是存在的，方程為x,y,4=0或x,y+1=0(4(已知圓及直線(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒相交;(2)求直線l與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線l的方程(解:(1)直線方程可以改寫(xiě)為所以直線必經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn).由方程組解得即兩直線的交點(diǎn)為A(3,1)又因?yàn)辄c(diǎn)與圓心的距離所以該點(diǎn)在C得的最短弦長(zhǎng).此時(shí)即最短弦長(zhǎng)為45.第4頁(yè)共6頁(yè)又直線AC的斜率2,所以直線BD的斜率為2.此時(shí)直線方程為即5(12分)已知圓x2+y2+x,6y+m=0和直線x+2y,3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值(解:由又OP?OQ，?x1x2+y1y2=0,而x1x2=9,?解得m=3556.已知圓C:(x+4)2+y2=4和點(diǎn)A(-23，0)，圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y軸交于點(diǎn)M、N.?MAN是否為定值,若為定值，求出?MAN的弧度數(shù);若不為定值，說(shuō)明理由.【解】設(shè)圓D的方程為那么因?yàn)閳AD與圓C外切,所以又直線MA,NA的斜率分別為2.為定值夾角問(wèn)題例5(06全國(guó)卷一文)從圓外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為()第5頁(yè)共6頁(yè)(A)313(B)(C