2020-2021學(xué)年喀什地區(qū)喀什二中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知tan>0,貝！Jsina?cosa的值()

A.恒為正數(shù)B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為零D.可能為零

2.多項(xiàng)式/一2?-3)，2分解因式的結(jié)果是

A.-(x+y)(x+3力B.(x+y)(x-3y)

C.-(x—y)(x—3y)D.(x+y)(x-3y)

3.在△ABC中，若四出=萼，貝以48。為()

y-zrnD'

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

4./(x)=_%的定義域是()

A.(-oo/O)B.(-oo,-l)C.(-8,1)D.(-oo,l]

5.若叵|,岡，網(wǎng)，貝I]

A.回B.0C.□D.0

6,函數(shù)/'(%)=2一x+2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

7.定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:對于任意實(shí)數(shù)均、%2。1**2)，有>3(%+不)成立,

函數(shù)g(x)=/(2%)+收匚I—Q2/+y)，則以下說法中正確的是()

A.函數(shù)y=/(尤)在[1,+8)上可能單調(diào)遞減

B.函數(shù)y=/(x)在(-8,-1]上不可能單調(diào)遞增

C.對于任意修，x2￡[1,+8)且豐久2,有膽上皿<—3(尤1+久2)成立

%1—％2

D.對于任意%1，%2E[1,+8)且久1H%2，有久2)>一3(%1+%2)成立

8.在ABC中，角4B,C的對邊分別是a,b,c,若cos2B+3cosQ4+C)+2=0且a,b,c成等

比數(shù)列，則cos4-cosB=()

i12

B.更c(diǎn).D.

4423

9.在AaBC中，角a,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若爐+C2—a2=國兒，貝!]sin(B+C)=()

A.-HB.國C.-HD.回

3

10.若a=En0.4,b=0.2,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

11.在△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)M在邊BC上，且滿足BC=-CM,若tan/BAM=則sin/MAC=()

38

A,更或也D.在

513C44

12.已知/(%)是奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，/(%)=2x(1-%),則/(—2)=()

A.4B.2C.—4D.—2

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

sin7rx,xE[0,2]

八U0_L現(xiàn)有下列結(jié)論：

{-/(X-2),x￡(2,+oo)

①任取%i，X2G[2,+oo),都有-/■(久2)I<1；

②函數(shù)y=/(%)在[4,5]上先增后減；

③函數(shù)y=f(%)-ln(x-1)有3個(gè)零點(diǎn)；

④若關(guān)于式的方程/(x)=m(m<0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根石,X2,則+*2=3.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)為.(寫出所有正確命題的序號(hào))

14.已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式b下列五個(gè)關(guān)系式:

@0<b<a；(2)a<b<0；@0<a<b；@b<a<0；(5)a=b.

其中所有不可能成立的關(guān)系式為.(填序號(hào))

15.對于函數(shù)/(尤)，g(x)和區(qū)間D,如果存在XoeD,使得|/(%o)-g(%o)lW1,則稱x()是函數(shù)f(%)與

g(x)在區(qū)間D上的“互相接近點(diǎn)”,現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)：①/(嗎=/+2,g(x)=2x；②f(x)=等,

g(x)=2；(3)/(%)=e~x+1,g(x)=(4)f(x)=Inx,g(x)=力廁在區(qū)間(0,+8)上存在

唯一“互相接近點(diǎn)”的是.

r5_2,1￡

3，2,

16.已知函數(shù)/(%)=?3函數(shù)g(x)=as譏?%)-2a+2(a>0),若存在%1，x2e

——%+-,%￡[0,-16”

\36L①

[0,1],使得/(%。=g(%2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(1)設(shè)a。攵兀+](左￡Z),直接用任意角的三角比定義證明：sec2a-tan2a=1.

(2)給出兩個(gè)公式：(i)tana=黑②cos?-a)=sina.

請僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明：tan(^-?)=^.

18.如圖，矩形4BCD是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)4在坐標(biāo)原點(diǎn)。處，

B,。分別在無軸，y軸上，AD=3百米，AB=a百米(3<a<4)觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是

一個(gè)人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數(shù)y=：(lWxW2)的圖象的一段.為了便于游客觀光,

擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直路(寬度不計(jì))，要求其與人工湖左下方邊緣曲線段倔相

切(切點(diǎn)記為P),并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線，左下部分建設(shè)為花圃.設(shè)點(diǎn)P到的40距離

為3f(t)表示花圃的面積.

(1)求花圃面積/?)的表達(dá)式;

(2)求/(t)的最小值.

l-r8+這堿雙>.

19.(本題滿分8分)已知奇函數(shù)“鍬磁=討@i0；=頸

E硫堿甯喧噂

(1)求實(shí)數(shù)爪的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出歲=/($)的圖象;

(2)若函數(shù)￥飛礴:在區(qū)間［-1,：硼-2］上單調(diào)遞增，試確定潮的取值范圍.

20.已知向量五=(2s譏2/1),=(1,-1),xeR.

(1)當(dāng)％=〈時(shí),求下列Z+石的坐標(biāo);

(2)若函數(shù)/(%)=五不+3，問：久為何值時(shí)，/(%)取得最大值？最大值是多少？

21.已知向量磔=卷霞遍,有g(shù)?ll磁額=解網(wǎng)跖5EW喊:，函數(shù)，燃=嬴耳’

(I)求函數(shù)頻域:在j-卷/?上的值域；

(n)當(dāng)您史斛梅時(shí)，若彳與后共線，求密的值.

22.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/Q)=舟是奇函數(shù).

(1)求a的值;

(2)用定義證明f(x)在(-8,+8)上為減函數(shù).

(3)若對于任意teR,不等式/'(/一2t)+f(k-2/)>0恒成立，求k的范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：?.，tan>0,

???sina>cosa同號(hào)，

???sina?cosa>0.

故選：A.

由tan>0,可得sina、cosa同號(hào)，即可得出結(jié)論.

本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

2.答案：D

解析：解：由題意得：

X?_2XV_3y2=X2—2XV_2y2_y2—工？__2+V)

二(x+歹)(x-y)_2y(x+y)=(x+y)(x-3y)

故選。.

3.答案:C

解析：解：在△ABC中，若蟲=萼，

tanBsmzB

sin/.

可坦cosA_sin'

J付史史-sijB，

cosB

可得：sinBcosB=sinAcosA,

即sin2A=sin2B.

可得24=2B,或24+2B=7T,

即A=B或4+B=p

故選：C.

利用切化弦以及二倍角公式化簡求解即可.

本題考查三角形的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

4.答案:D

解析：

本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)偶次根式的性質(zhì)，從而列出不等關(guān)系1-久NO,解不等式后，即得答案.

解：根據(jù)偶次根式的性質(zhì)，從而列出不等關(guān)系1-x20,

即x<1,

故函數(shù)/(%)=VFV的定義域是

故選：D.

5.答案：C

解析：試題分析：□□□

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

6.答案：B

解析：解：函數(shù)/'(無)=2一%+2是連續(xù)減函數(shù)，

?."(3)=:3+2<0,

/(2)=^-2+2>0,

由零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)的零點(diǎn)在(2,3).

故選：B.

判斷函數(shù)的單調(diào)性，由零點(diǎn)判定定理判斷求解即可.

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：A：當(dāng)看,小€[1,+8)時(shí)，則”:)二但)>3(/+冷)>0,???函數(shù)/(%)在[1,+8)單調(diào)遞

xl-x2

增，錯(cuò)誤.

B：當(dāng)X],%26(-8,-1]時(shí)，X1,+x2<0,若y=/(x)在(一8,-1]上單調(diào)遞增，則”:)>0>

xl—x2

3(%1+%2)成立，

即y=/(%)在(-8,—1]上可能單調(diào)遞增，.出錯(cuò)誤.

-1-12x

C,D-.當(dāng)/，*26[1,+8)時(shí)，g(X1)-5(X2)=[f(2x0+(l+V^l)]-|/(2^2)+

Vx2-1_(12好+V%2)]

X

=[7(2久1)一/(2%2)]-12(%1+%2)(%1-X2)+(7^1-1-72-1)一(圾)一+伍)，

.g(%i)-g，2)_f(2%i)-f(2%2)_⑵1+久)+1_i

，

Xr-X2%1-%2112)y/x1-l+y/x2-lV^l+V^2

"2y2)“2：)T)%2),

???>3(X]+%2),...磐>3(2%1+2刈)，即>12a+

g(xi)-g，2)_i_-1

+3(x+x)>+3(/+犯)，

1

Xi"X2'"后五+四五低+限'1

______________________11

當(dāng)X〉久2e[1,+8)時(shí)，,久1-1<圾，,尤2_1<國,?,-7^1+#^>鳳+阮'

g(X1)flfe)

~+3(%1+x2)>0,;.C錯(cuò)誤，D正確.

%]一%2

故選：D.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及利用作差法證明不等式對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，從而得到答案.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及利用作差法證明不等式，考查計(jì)算能力，屬于難題.

8.答案：A

解析：解：由cos2B+3cos(4+C)+2=2cos2B—3cosB+1=0,

???cosB=]或cosB=1(舍).

??.B=-.

3

由a,b,c成等比數(shù)列，得爐=ac,

ia2+c2-b2

???cosB=-=a+c-ac,得(a—c)2=0,即。=一

22acOZ-I/-、/

，a=B=c屋

11]

則cos/?cosB=

224

故選：A.

由已知等式求得B,結(jié)合余弦定理可得△ABC為等邊三角形，則答案可求.

本題考查三角形的余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，以及化簡整理的運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

9.答案:B

解析：b2+c2-a2=區(qū)be=>cosA=區(qū)=回，sin(B+C)=sinA=區(qū).

10.答案：D

解析：解:a=InOA<Ini=0,

b=0.23=0.008,

c=log23>log22=1,

故選：D.

分別確定三個(gè)數(shù)的取值范圍或取值，從而比較大小.

本題考查了對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：A

解析：

設(shè)=乙CAM=0,BC=4BM=4x,AC=h,運(yùn)用兩角和差的正切公式，求得％,x的關(guān)

系，再由解直角三角形的正弦函數(shù)可得所求值.

本題考查了三角形中的幾何運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

解：■：BC=-CM=BM+MC,除

3P\\

3BM=CM,h\\

設(shè)NBA"=a,^CAM=夕，BC=4BM=4x,AC=h,\\x

1

tanZ-BAM=

8

又。tan/?=Xtan(a+0)=*,

4X3XX

???tana=tan(a+￡—￡)=\Ax=—=g,整理解得：h=2汽或九=6%,

1+VTi+置8

.n〃A—CM3x3x3，13-P-3xV5

???sin乙MAC=一=f、、==——或一^=—.

AMA/9%2+九2Vi3x133V5x5

故選：A.

12.答案:A

解析：解：設(shè)％VO,則一%>0.

,?,當(dāng)%>0時(shí),/(x)=2x(1—x),

???/(—%)=—2x(1+%).

???y=/(%)是奇函數(shù)，

???f(x)=_/(-%)=2x(1+%).

故/(-2)=4,

故選：A.

利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出.

本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：①②③④

sinnx,xE[0,2]

j/(x-2),xe(2,oo)-

{+

當(dāng)xe[2,+oo)時(shí)，函數(shù)/O)的最大值為點(diǎn)最小值為一5

所以任取%1，%26[2,+8),都有-/(%2)|41恒成立，①正確；

當(dāng)％E[4,5],x-4E[0,1],故/(%)="(%-4)=1s譏7Kx-4)=^sinnx,函數(shù)先增后減，②正確；

sinnx,xE[0,2]

{-simix,xe(2,4],

-simix,xG(4,6]

:|A/

畫出函數(shù)圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故J\_Z_A__一—

|y

③正確；

/■(X)=zn(m<0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根%,x2,根據(jù)圖象知-1<zn<根據(jù)對稱性知/+

%2=3,故④正確；

故答案為：①②③④.

利用已知條件結(jié)合分段函數(shù)，求解函數(shù)的最值然后判斷①的正誤；判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷②的正誤;

利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷③的正誤；利用函數(shù)的零點(diǎn)以及對稱性判斷④的正誤；

本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合，是中檔題.

14.答案：③④

解析：條件中的等式。2a=3匕0alg2=〃g3,若a力0,則一,^(°」),

:瀛J1吸

(1)當(dāng)a>0時(shí)，有a>b>0,即關(guān)系式①成立，而③不可能成立；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，則b<0,b>a,即關(guān)系式②成立，而④不可能成立；

若a=0,貝肪=0,故關(guān)系式⑤可能成立.

15.答案：①④

解析：解：對于①：由/(x)-g(x)=%2-2x+2=(x-I)2+1,顯然，當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值1,

符合題意，顯然只有x=l符合”相互接近點(diǎn)”定義，所以①符合題意；

對于②：由令%(%)=-/(%)+g(%)=-子+2,則"(%)=:，當(dāng)〃(%)>0,則%>e,令八'(%)<0,

0<%<e得所以函數(shù)%(%)在(0,e)上遞減，在(e,+8)遞增，所以％=e時(shí)，h(x)min=/i(e)=2-

故1/(殉)一9。0)122-十，故在(0,+8)不存在“相互接近點(diǎn)”，所以②不符合題意；

對于③：因?yàn)楫?dāng)％>0時(shí)，e~x>0,貝1加一％+1>1,而此時(shí)—：<0,故f(%)-g(%)>1當(dāng)％>0時(shí)

恒成立，故在(0,+8)不存在“相互接近點(diǎn)”，所以③不符合題意；

對于④：令九(%)=x—Inx,則//(%)=1—p令//(%)>0,則％>1,令"(%)<0,得0V為V1,

所以函數(shù)％(X)在(0,1)上遞減，在(1,+8)遞增，所以久=1時(shí)，h(x)min=h(l)=1,故當(dāng)%>0時(shí)，

存在唯一的“相互接近點(diǎn)”，故④符合題意，

故答案為：①④.

由“互相接近點(diǎn)”的概念可知，只要是能找到一個(gè)久0,使得1/(a)-g(x0)lW1即可，因此只需構(gòu)造

函數(shù)％。)=f(x)-g(x),利用單調(diào)性求其最大值或最小值和1比較，則問題即可解決

本題主要考查對新定義的理解與運(yùn)用，考查函數(shù)最值的判斷，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生分

析問題的能力.

16.答案：

解析：解：當(dāng)xe[0為時(shí)，/(%)=-i%+ie[0,i]

N366

當(dāng)久eG，l]時(shí)，/(x)=|x-|e(i,l]

故當(dāng)%1G[0,1],/(%i)6[0,1],

又???函數(shù)g(%)=asin(^x)-2a+2(a>0)在[0,1]上為增函數(shù)，

??.g(x)=asin(^x)—2a+2G[g(O),g(l)]=[—2a+2,—|a+2],

若存在%i，x2w[0,1]，使得f(%i)=g(%2)成立，

則[—2a+2,--a+2]A[0,1]W0,

即0W—3a+2W1f或0W—2a+2W1,

解得：a6[|,|]U[|,1]=E，§，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：E，§,

故答案為：百芻

求出兩個(gè)函數(shù)的值域4B,右存在%i，久2e[0,1],使得/'Qi)=g(%2)成立，則表示anB不是空集,

進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是方程的根,存在性問題,集合關(guān)系的判斷,其中將已知轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域4

B的有公共元素，是解答的關(guān)鍵.

17.答案:解：(1)證明:設(shè)aHk7T+](k6Z),在a的中邊上任意取一點(diǎn)PQ,y),r=|0P|=Jx2+y2,

sec2a-tan2a=[一[="了"—[=馬=i,即sec2a-tan2a=1.

(2)證明：???(l)tana=^@cos(^一a)=sina.

???：tan(--a)=‘皿二")==cota=,即tan(巴一a)=

2cos(--a)sinatana2tana

解析：(1)直接利用任意角的三角函數(shù)的定義證得sec?。-tan2a=1.

(2)由已知條件利用誘導(dǎo)公式，證明tan?—a)=熹.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：(1)由題意可知P(t,|),y'=-^

故過點(diǎn)P的切線方程為y-|=-^(%-t),

即y=一如+?(i<t<2).

切線/與％軸的交點(diǎn)為(2t,0),與y軸交點(diǎn)為(0,》.

4a

當(dāng)

時(shí)

①即<t<

----

32

2

切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯侨切危?/p>

14

.?./(t)=1x2tx^=4；

2t>a

7<3,即1<tW2時(shí),

(1<t<2

切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪危?/p>

2

???〃?/)、=51G/4+,4=t-2)a\a=4kat-a；

(2t<a

③當(dāng)，>3,即lWtV泄,

11<t<2

切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?

+2t),3=6t—t?.

94

t21<t<

6t----

4，3

4a

%<t<

----

綜上，f(t)=32

(2)當(dāng)1Wt<［時(shí),/(t)=6t-92H產(chǎn)+%

由二次函數(shù)性質(zhì)可知〃t)min=/(l)=￡<4;

當(dāng)￡<W2時(shí)，f(t)=若紇f(t)=2H；2t)<0,

???4)在或2］上單調(diào)遞減,

/(t)min=f(2)=2a_9=_］(a_4)2+4s4：

下面比較2a-貯與學(xué)的大小，

44

當(dāng)3<a<4時(shí)，2a—1>印則/⑷機(jī)標(biāo)=g

444

當(dāng)a=3時(shí)，2a—?=則/(力)租譏=丁.

444

15

"f(t)mbi=丁.

解析：本題是應(yīng)用題，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，得到的數(shù)學(xué)模型是分段函數(shù)，考查了分類討論的思想，

研究函數(shù)最小值用到配方法、導(dǎo)數(shù)法，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.

(1)由導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率，通過切線的方程研究切線與%軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)位置確定

圖形的形態(tài)，得到所求的函數(shù)解析式；

(2)對(1)所求得的分段函數(shù)進(jìn)行分段研究，分別用配方法和求導(dǎo)法求出各段上的最小值，再比較它

們的大小，從而得到函數(shù)的最小值.

19.答案:(1)2,圖像見解析；(2)1*：翻七整。

解析：試題分析：(1)當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,/(%)=-(%)2+2(-%)=-%2-2%,

又/(%)為奇函數(shù)，"%)=-/(-x)=x2+2x,

所以?n=2.......3分

的圖象略….…5分

:解演喙

(2)由⑴知￥燧=?!%,=嚼，由圖象可知，/(感在［—1,1］上單調(diào)遞增，要使.久感

標(biāo)“：順

在［-1,堿-2］上單調(diào)遞增,只需豐特《解之得］L*：醐■工整8分

Vi:魏一aw1

考點(diǎn)：本題考查分段函數(shù)；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖像；函數(shù)解析式的求法。

點(diǎn)評：本題求舒《：80寸翼:蹴的解析式是關(guān)鍵。利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，一般情況下，求

誰設(shè)誰，然后再根據(jù)儂與，“的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

20.答案:解：(1)由題知：b—(1,-1)>

當(dāng)?shù)?沏，五=(2si/31)=1),

--a+b=(i,1)+(1,-1)=(1+1,1-1)=(|,0).

故五+b的坐標(biāo)為(|,0);

(2)a.-b=1x2sin2x+1x(-1)=2sin2x—1,

那么：/(x)=a-b+3

=2sin2x—1+3

/(%)=3—cos2x,

由余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可知：

當(dāng)2%=2而+兀時(shí)，/Q)取得最大值，即/(x)max=3+1=4,此時(shí)x=+CZ)時(shí)，

故函數(shù)/(X)有最大值為4,此時(shí)x=/OT+^(keZ).

解析：(1)當(dāng)x