空間向量與立體幾何

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò):

二.考綱要求:

(1)空間向量及其運(yùn)算

①經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程；

②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表

示；

③掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

(2)空間向量的應(yīng)用

①理解直線的方向向量與平面的法向量；

②能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；

③能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；

④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。

三、命題走向

本章內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本章是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本

章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。

預(yù)測(cè)10年高考對(duì)本章內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用

空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和

距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)忖應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。

第一課時(shí)空間向量及其運(yùn)算

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘；2.了解空間向量的基本

定理；3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；理解空間向量的夾角的概念：掌握空間向量的數(shù)量積

的概念、性質(zhì)和運(yùn)算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

二、重難點(diǎn)：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運(yùn)算方法

三、教學(xué)方法：探析類比歸納，講練結(jié)合

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、談最新考綱要求及新課標(biāo)高考命題考查情況，促使積極參與。

學(xué)生閱讀復(fù)資P128頁(yè)，教師點(diǎn)評(píng)，增強(qiáng)目標(biāo)和參與意識(shí)。

（二）、知識(shí)梳理，方法定位。（學(xué)生完成復(fù)資P128頁(yè)填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)）。

1.空間向量的概念

向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量。

說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且

等長(zhǎng)的有向線段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。

2.向量運(yùn)算和運(yùn)算率

OB-OA+AB=)+3

~BA=~OA-OB=a-b

麗=耘R)

加法交換率：a+h=h+a.

力口法結(jié)合率：①+B)+I=〃+(B+5).

數(shù)乘分配率:A(a+b)=AS+Ab.

說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和：②向量加法的平

行四邊形法則在空間仍成立。

3.平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫

做共線向量或平行向量。5平行于加記作石〃

注意：當(dāng)我們說(shuō)3、B共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們

說(shuō)五、坂平行時(shí)，也具有同樣的意義。

共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量5（5#6）、b,石〃3的充要條件是存在實(shí)數(shù)4使B=2石

（1）對(duì)于確定的％和萬(wàn)，坂=41表示空間與萬(wàn)平行或共線，長(zhǎng)度為Aa\,當(dāng)4>0時(shí)與之同向，當(dāng)力

<0時(shí)與石反向的所有向量。

（3）若直線/〃石，A&l,P為1上任一點(diǎn),。為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)方的表達(dá)

式。

推論：如果/為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)1月今亍于已知非零向量石的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)0,點(diǎn)〃在直線/上的

充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP^OA+ta①

其中向量石叫做直線/的方向向量。

在/上取力3=石，則①式可化為OP=（l-t）OA+tOB.@

當(dāng)r=g時(shí)，點(diǎn)尸是線段49的中點(diǎn)，貝ijOP=^OA+OB）.③

①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段4笈的中點(diǎn)公式。

注意：⑴表示式（*）、（**）既是表示式①，②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推

論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。

4.向量與平面平行：如果表示向量5的有向線段所在直線與平面a平行或萬(wàn)在a平面內(nèi)，我們就說(shuō)

向量方平行于平面a,記作3〃a。注意：向量萬(wàn)〃a與直線a〃a的聯(lián)系與區(qū)別。

共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果兩個(gè)向量G、I不共線，則向量力與向量3、B共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、

y,使萬(wàn)=xl+yb.①

注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。

推論：空間一點(diǎn)一位于平面物8內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y,使

MP=xMA+yMB,④

或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有OP=OM+xMA+yMB.⑤

在平面以6內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）是唯一的。①式叫做平面也6的向量表示式。

又?.?忘=科—萬(wàn)/.蕨=麗—西.代入⑤，整理得

OP=（l-x-y）OM+xOA+yOB.⑥

由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)R只要滿足等式④、⑤、⑥之?（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)尸就

在平面始6內(nèi)；對(duì)左面場(chǎng)8內(nèi)的任意一點(diǎn)R都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共

線的兩個(gè)向量而、MB（或不共線三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四

點(diǎn)共面的充要條件。

5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量五、b.萬(wàn)不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序

實(shí)數(shù)組x,y,z,使萬(wàn)=xl+y*+zc.

說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量5、3、，不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是

\p\p=xa+yb+zc,x>y、ze/?},這個(gè)集合可看作由向量石、b3生成的，所以我們把{5,h,c）

叫做空間的一個(gè)基底，a,b,己都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)

基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念;

⑷由于0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都

不是限

推論：設(shè)0、4、B、。是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一-點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使

OP=xOA+yOB+zOC.

6.數(shù)量積

（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量萬(wàn)、b,在空間任取一點(diǎn)。，作ST=a,OB=b,則角/力仍叫做

向量石與B的夾角，記作〈心b）

說(shuō)明：⑴規(guī)定0W0因而〈揖b}={b,3〉；A

⑵如果①，3〉=5,則稱5與3互相垂直，記作

⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)n-------二

重合，注意圖（1）、（2/呵緲個(gè)向量的夾角不同，>（1）

圖（1）中陟〈方,麗〉，

圖（2）中/加廬萬(wàn)一〈75,無(wú)〉，------a

___r__________________R

從而有〈一5,無(wú)〉=〈功,-無(wú)〉=%-〈口,歷〉.（2）

（2）向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。

（3）向量的數(shù)量積：砸卜OS〈扇小叫做向量5、不的數(shù)量積，記作了

即5?B=|司'cos（扇b）,、------------------、

向量布在巨方向上的正射影：\_/^\\

A'

A'

a-e=1AB\cos(a,e)=A'B'

(4)性質(zhì)與運(yùn)算率

(l)5-e=cos(a,e)。(1)(Aa)?b=2(5-6)

(2)516=ab=O(^ab=ba

⑶|)『=方?方.⑶d.@+e)=a石+)6

(三).典例解析

題型1：空間向量的概念及性質(zhì)

例1、有以下命題：①如果向量工［與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么￡1的關(guān)系是不共線；

②0,4,8,C為空間四點(diǎn)，且向量近,西發(fā)不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)0,4,8,C一定共面；③已

知向量工區(qū))是空間的一個(gè)基底，則向量￡+及￡-3,工，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是()。(A)

①②(8)①③(C)②③(。)①②③

解析：對(duì)于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線”；所以

①錯(cuò)誤。②③正確。

題型2：空間向量的基本運(yùn)算

例2、如圖：在平行六面體48CD-481GA中，M為4G與與R的

交點(diǎn)。若方=Z,AD=b,AA^c,則下列向量中與前相等的

向量是()

11-11-11-

⑷--a+-b+c(B)-a+-b+c(C)--a--b+c

11,

(D)—a----b+c

V722

■■■1.?.1—.17*_

a++C:

解析：顯然=BB[+B、M=-(AD-AB)+AA]=~~^2答案為3

點(diǎn)評(píng)：類比平而向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間

關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。

例3＞已知：)=3比一2行一4萬(wàn)。0,6=(x+1)揚(yáng)+8萬(wàn)+2yp,且歷，落萬(wàn)不共面.若5〃很，求xj的值.

解：:方〃5,,且5W0,?,?方二Aa,即(x+l)w+8萬(wàn)+2yp=34比-2An-4Ap.

___一x4-182y

又???,p不共面，二———=——=——,x——13,y—8.

點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。

例4、底面為正三角形的斜棱柱ABC—ABG中，D為AC的中點(diǎn)，求證：ABi〃平面GBD.

證明：記標(biāo)工,元=1,旃二，貝IJ布■+展五=方_石~DQ=~DC+CC\=^b+c/.而+語(yǔ)=:+1=布，，

布,麗,~DC\共面.

???B修平面GBD,AB】//平面GBD.

(四)強(qiáng)化鞏固導(dǎo)練

1、已知正方體ABCD—ABCD中，點(diǎn)F是側(cè)面CDDC的中心，若萬(wàn)二石+x北+y熱，求x-y的值.

解：易求得x=句==0

2在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若麗=a,而可，A^A=c,則下列向量中

與心相等的向量是（A）。尸同了

A.-;a+；b+cB.；a+；b+c/J'/]

C--b+°:b+

2222R

3、（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱/8C—44G的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，則

異面直線Z片和8M所成的角的大是。解析：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2,選擇基向量｛就，西，就｝，則

AB[=BB[-BA,BM=BC-^BB[

（西-拓）?（康+；西）_02+2+0

cos<>==0,故填寫90"。

2V2-V5141-45

（五）、小結(jié)：1.立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明.對(duì)于垂直，一般是利

用a_L60a?6=0進(jìn)行證明.對(duì)于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明.2.運(yùn)用向量求

解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對(duì)向量，然后計(jì)算這個(gè)向量對(duì)應(yīng)的模.而計(jì)算過(guò)程

中只要運(yùn)用好加法法則，就總能利用?個(gè)一個(gè)的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出

來(lái)，從而求得結(jié)果.3.利用向量求夾角（線線夾角、線面夾角、面面夾角）有時(shí)也很方便.其一般方法是

線間的距離的向量求法：已知異蟹:線人12,AB為其公垂線段，C、D分別為小A上的任意一點(diǎn)，[為

與酢共線的向量，則I初I=嗎」.5.設(shè)平面a的一個(gè)法向量為;;，點(diǎn)P是平面a外一點(diǎn)，且*ea,

則點(diǎn)P到平面a的距離是d=留衛(wèi)

1?1

（六）、作業(yè)布置：課本P32頁(yè)A組中2、3、4B組中3

課外練習(xí)：課本P39頁(yè)A組中8；B組中3；復(fù)資P130頁(yè)變式訓(xùn)練中1、2、3、5、

五、教學(xué)反思:

第二課時(shí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、理解空間向量坐標(biāo)的概念：2、掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3.掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空

間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式.

二、重難點(diǎn)：掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間的

距離公式.

三：教學(xué)方法：探析類比歸納，講練結(jié)合

（一）、基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)（學(xué)生完成下列填空題）

1、空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1,這個(gè)基底叫單位正交基底，

用｛ij,k］表示；（2）在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底｛i,j,k｝,以q

點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以工的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、V軸、

Z軸，它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。-盯Z,點(diǎn)0

叫原點(diǎn)，向量7J,無(wú)都叫坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,kj/

分別稱為平面,平面，Z0X平面；々°九飛

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系。-中z中，對(duì)空間任G

一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使。4=xi+yj+zk,有

序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量力在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中的坐標(biāo),記作/（xj,z）,x叫橫坐標(biāo),ynt|

縱坐標(biāo),z叫豎坐標(biāo).

3、設(shè)。=（。|,。2，。3），6=（許也也）

（1）a+b=o（2）Xa—.（3）a?b=.

（4）a"b=；a_Lbo.

（5）模長(zhǎng)公式：若。=（勾,。2,43），則|a|=Jia=Ja；+“+L2?

（6）夾角公式：/岫+吟+岫

（7）兩點(diǎn)間的距離公式：若Z（X［,%Z］）,明，必,馬），貝IJI幽=^^=—X1）2+色一*）2+（馬一4）2

（8）設(shè)/=（匹,必,2］）,8=（工2/2,22）

則酢=，聲=.

AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

4、直線的方向向量的定義為。如何求直線的方向向量？

5、平面的法向量的定義為。如何求平面的法向量?

（-）典型題型探析

題型1：空間向量的坐標(biāo)

例1、（1）已知兩個(gè)非零向量1=（a“a2,a3）,b=（b?b2,b3）,它們平行的充要條件是（

A.a：\a\-b：|~b|B.ai?bi=a2?bs=a3,b：i

C.a1b】+a2b2+3^3=。D.存在非零實(shí)數(shù)k,使)二kZ

(2)已知向量Q=(2,4,x),g=(2,y,2),若I4|=6,Q_LZ,貝ijx+y的值是()

A.—3或1B.3或一1C.-3D.1

（3）下列各組向量共面的是（）

A.a=(l,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)

B.3=(1,0,0),^=(0,1,0),c=(0,0,1)

C.)=(1,1,0),6=(1,0,1),c=(0,1,1)

D.a=(l.1,1),1=(1,1,0),c=(l,0,1)

解析：(1)D；點(diǎn)撥：由共線向量定線易知;

4+16+x2=36fx=4,

4+4y+2x=0=>[y=-3

(2)A點(diǎn)撥：由題知

(3)A點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。

點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考查共線、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。

例2、已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(一3,0,4)。設(shè)￡=48,%=AC,(1)求)和1

的夾角外(2)若向量B與k)-23互相垂直，求k的值.

思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.

解：VA(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a^AB,b=AC,

：.)=(1,1,0),b=(-1,0,2).

---i+o+oVwVw

(i)cose=WL=^x石=一丁，.?.)和區(qū)的夾角為一而。

⑷Ml

(2)Vka+6=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),

ka—2h-(k+2,k,-4),且(ka+Z)_L(kt7—2h),

:.(k—1,k,2)?(k+2,k,—4)=(k—1)(k+2)+k2—8=2k2+k—10=0。

5_

則k二一2或k=2o

點(diǎn)撥:第(2)問在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。(Z+B)(kl—ZB)*”-k"?1-2廬=21?+k—10=0,

_5

解得k二一2,或k=2o

題型2：數(shù)量積

例3、(1)(2008上海文，理2)已知向量Q和Z的夾角為120°,且！々|=2,g|=5,則(2Q一加)-1二

7t

的夾角都等于。

(2)設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量"Ex”y?0),6=(x2,y2,0)與向量屋(1,1,1)a

⑴求xi+yi和xiv的值;(2)求<J,%>的大小(其中0V<",b><n)o

解析：(1)答案：13；解析：*.*(2Q—Z)?a-2a—1)?a=2\a\2—\abI-cosl20°=2-4

|-一2222

—2?5(——)=13。(2)解：(1):|4|=|61=1,Ax1+yj=1,Ax2=y2=1.

2

7T7TV2______屈

又???)與"的夾角為a,.c=aCOS4=TVl2+12+12=T

V6

又‘：a?c=xi+yi,/.xi+yi=?。

A/6j__1.

22

2(2)2—1=2..?.xiyi=4。

另外x1+y*=(xi+yi)-2xiyi=l,/.2xiyr

_；V61

(2)COS〈Q,b〉=__=xiX2+yiy2,由(1)知,xi+y尸2,xiyp4.

Axi,yi是方程x?一2x+4=0的解.

A/6+V2V6-V2A/6+V2V6—V2

X1

4X1=-^

V6—V2Vb+V2V6—V2V6+V2

乃乃=-I—

4或同理可得或14

V6+V2V6-V2

X]=乃=陽(yáng)=為=

44

V6-V2V6+V2

工2=乃=12=乃=

■:a,44

V6+\/6—V2y/b—y/l.111

4

.,.COS<(7,b>=?4+4?4=4+4=2

乃

vo<<LB"兀，?,?<￡,3>=3。評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。

題型3：空間向量的應(yīng)用

例4、(1)已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=l,求證：&3。+1+J136+1+J13c+10拒。

(2)已知F尸i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若F“F2,F3共同作用于同一物體上,使物體從點(diǎn)此

(1,-2,1)移到點(diǎn)Mz(3,1,2),求物體合力做的功。

解析：(1)設(shè).=(J13a+l,J136+1,J—+1),)=(1,1,1),

則|前|=4,\n\=^.

m,z7Im?nI,

...R.[J13a+1+J136+1+J13/+1w|R.I|=4^.

]]]I

當(dāng)J13〃+l=J13—+1=J13c+1時(shí),即a=b=c二§時(shí)，取“二”號(hào)。

(2)解：於/?斫(B+F2+F3)?=14o

點(diǎn)評(píng)：若加二(x,y,z),〃=(a,b,c),貝lj由加?In，得(ax+by+cz)W(a'F+c?)(x'y'z?).

此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查I--\b\^a1的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量1,

b,然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問題。

(三)、強(qiáng)化鞏固訓(xùn)練

1、(07天津理，4)設(shè)Z、Lc是任意的非零平面向量,且相互不共線，則

①(a?3)c—(c?a)3=。②|a|一—3③(3?c)a—(c?<7)b不與c垂

直④(3)+2g)(3)—29)=93「一4"2中，是真命題的有()

A.①②B.②③C.③④D.②④

解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；答案：D

②由向量的減法運(yùn)算可知|)|、|1|、I1一Z恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”,

故②真；

③因?yàn)閇”?￡1)a—(c?a)3]?c=(Z?c)a,c—(c?a)b,c=0,所以垂直.故③假；

④（31+2辦）（3a-2d）=9?a?a-4b?6=9|a|2-4|b「成立.故④真.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。

2、已知。為原點(diǎn)，向量a=(3,0,1),礪=(—1,1,2),3_10彳,元〃方，求％.

解：設(shè)OC=(x,y,z),8c=(x+l,y-l,z-2),

?：OCrOA,BC//OA,：.OCOA=0,BC^AO4(AeR),

3x+z=0,

3x+z=0,x+1=3/1,

[(x+l,y-l,z-2)=/l(3,0,l)y-1=0,

z—2=九

7211

解此方程組，得彳=一歷，歹=l,z==歷。

（四）、小結(jié)：（1）共線與共面問題；（2）平行與垂直問題：（3）夾角問題；（4）距離問題；運(yùn)用向量來(lái)解

決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì).用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個(gè)合適的基底表示，本節(jié)

主要是用單位正交基底表示，就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，然后進(jìn)行向量與向

量的坐標(biāo)運(yùn)算，最后通過(guò)向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問題得到解決.在尋求

向量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，?個(gè)基本的思路是列方程，解方程.

（五）、作業(yè)布置：課本P56頁(yè)A組中6、11、12、19

課外練習(xí)：限時(shí)訓(xùn)練53中2、4、7、9、10、12、14

第三課時(shí)空間向量及其運(yùn)算強(qiáng)化訓(xùn)練

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及

其坐標(biāo)表示；2、掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能

運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直：4、通過(guò)本課強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步熟練理解和掌握上述概念

和運(yùn)算方法，提高學(xué)生的靈活和綜合運(yùn)用能力。

二、重難點(diǎn)：空間向量及其運(yùn)算的綜合運(yùn)用。

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、基礎(chǔ)自測(cè)（分組訓(xùn)練、共同交流）

1.有4個(gè)命題：

①若p=xa+yb,則p與a、b共面；②若p與a、b共面，則p=xa+yb；

③若廟=x^+y贏，貝!]P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，貝I]訴=x^+y贏.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（B）?A.1B.2C.3D.4

2.下列命題中是真命題的是（D）o

A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量

B.若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

c.若向量而滿足I凝|>|而1，且方與EB同向，則凝〉而

D.若兩個(gè)非零向量方與而滿足方+而=0,則酢〃而

3.若a=（2x,l,3）,b=（l,-2y,9）^a〃b,貝I]（C）。

A.x=l,y=lBD.x=1-,y=--1

D.x~——，y~一

62

4.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)原-麗取最小值時(shí)，點(diǎn)Q

的坐標(biāo)是.答案《

5.在四面體O-ABC中，，而=b,5?=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則無(wú)=(用a,b,c表示).答案

la+lb+lc

244

(二)、典例探析

例1、如圖所示,在平行六面體ABCD-ABCD中,設(shè)羽=a,

AB=b,AD=C,M,N,P分別是AAl,BC,CD的中點(diǎn),

)c

/N

試用a,b,c表示以下各向量:

HP;(2)A、N;(3)MP+NC{.

I,ft,I>....I.I.

(1),.?p是GDl的中點(diǎn)，??.4P+45=a+4。Dxcx=a+c+yAB=a+c+yb.

(2);N是BC的中點(diǎn)，「?4N=44+48+8N=一a+b+g8C=一a+b+；4。=一a+b+gc.

(3)是AAi的中點(diǎn)，/.MP-MAAP--AA+^P=_—a+(a+c+-b)=—a+—b+c?

2]12222

又而二近+西二g正+直=g石+戴=1c+a,A^+7VC\=(ya+yb+c)+(a+^-c)=|a+yb+|c.

例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M、N

分別是AB、CD的中點(diǎn).從

(1)求證：MN±AB,MN±CD；(2)求MN的長(zhǎng)；4/飛

(3)求異面直線AN與CM夾角的余弦值.

(1)證明設(shè)下二p,AC=q,AD=r.

由題意可知：lp|二|q|二|r尸a,且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.c

MN=AN-AM=-CAC+AD)--AB=-(q+r-p),

222

/.~MN?~AB~^(q+r-p)?p=g(q?p+r?p-pJ)二:(a2?cos60°+a2?cos60°-a2)=0.

AMN±AB,同理可證MN_LCD.

(2)解由(1)可知^^二!(q+r-p)|~MN\2=MN2=—(q+r-p)'

24

222

=—[qJ+rJ+p2+2(q?r-p?q-r,p)]=—[a2+aJ+aJ+2(-----)]

44222

=-X2l=Q.|MN|=^a,AMN的長(zhǎng)為正a.

(3)解設(shè)向量石與疏的夾角為8.

???右」(就+石)」(q+r),=JC-AA?=q--p,

222

:.AN?MC=-(q+r)?(q--p)=-(q'--q?p+r?q--r,p)

22222

2222

=—(a2-—a?cos60°+a，!,cos60°--a2?cos60°)=—(a2-—+---)

22224242

又|京H證|=—tz,

2

/.JJV?JWC=|~AN|?|I?cosO=—a,—67?cos6二".?'cos6=2，

2223

???向量而與血的夾角的余弦值為2,從而異面直線AN與CM夾角的余弦值為二

33

例3、(1)求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a?x=-18的向量x的坐標(biāo)；

(2)已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求點(diǎn)P的坐標(biāo)使得前二工

2

(AB-AC);

(3)已知a二(3,5,-4),b=(2,1,8),求：①a?b；②a與b夾角的余弦值；

③確定2,〃的值使得4a+4b與z軸垂直，且(4a+〃b)?(a+b)=53.

解(1)Tx與a共線，故可設(shè)x二ka,

由a?x=T8得a?ka二k|a『二k(74+1+4)2=9k,9k=-18,故k=-2.

/.x=~2a=(-4,2,-4).

(2)設(shè)P(x,y,z),則成二(x-2,y+1,z-2),

(2,6,-3),AC=(-4,3,1),V=-(AB-7C).

2

(x-2,y+1,z-2)=1[(2,6,-3)-(-4,3,1)]/(6,3,-4)=(3,-2)

222

x-2=3x=5

y+l=3,解得y=，；.P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1,0).

222

z-2=-2z=0

(3)①a?b=(3,5,-4)?(2,1,8)=3X2+5X1-4X8=-21.

②：|a|=「+52+(_4)2=5五,|bH5/22+l2+82=V69,

???C0S⑸b〉=箭=春~嚼.后與b夾角的余弦值為一嚼.

③取z軸上的單位向量n=（0,0,1),a+b=(5,6,4).

(/la+x/b)-a=0f(3A+2〃,5/l+〃，-44+8〃)?(0,0,1)=0

依地思(加+〃b)?(a+b)=53即[(3A+2/5/1+—4/1+8〃)?(5,6,4)=53

2=1

B：葭3解得

故1-

A=2

（三）、強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖所示，正四面體V—ABC的高VD的中點(diǎn)為0,VC的中點(diǎn)為M.

(1)求證：AO、BO、CO兩兩垂直;

(2)求〈前，刀〉.

⑴證明設(shè)/二a,西二b,記二c,正四面體的棱長(zhǎng)為1,

則為'(a+b+c),~AO--(b+c-5a),

36

^O=-(a+c-5b),CO--(a+b-5c)

66

/.~AO?^O-—(b+c-5a)*(a+c-5b)=—(18a*b-9|aJ)

3636

=—(18X1X1?cos60°-9)=0.：.AO±BO,AA0±B0,同理AtUCO,BO±CO,

36

；.A0、BO、CO兩兩垂直.

1

(2)解。M=匕必二一上(a+b+c)+—c33—(_2a_2b+c).DM=-，

3262

IAO|=J\(b+c-5a)二￥,DM?AO--(-2a-2b+c)?-(b+c-5a)=-,

664

1

Acos〈奇，茄〉二二^二店，???〈而,To)6(0,4)，；.<DM,JO)=45°.

1也2

2~

(四)、小結(jié)：本節(jié)主要有空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的

關(guān)系以及中點(diǎn)公式，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類

似，具有類似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算

規(guī)律結(jié)論沒變。不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)

式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為入，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。

(五)、作業(yè)布置：復(fù)資P129頁(yè)中4、5、8、9

補(bǔ)充：1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則族?春

的值為(C)A.a/B.-a2C.-a2D.且"

244

2、已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點(diǎn)，且江=L則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(C)

AB3

A-0-袋)B.(—,—3,2)c-(冬-0D-4

3、如圖所示，平行六面體ABCD—ABCD中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1,且兩

兩夾角為60。.(1)求A3的長(zhǎng);(2)求BDi與AC夾角的余弦值.

解i己彳8=a,AD=b,AA{=c,

則la|二b|=lc|=l?(a,b)=(b,c>=<c,a)=60°,

.*.a?b=b?c=c?a=—.

2

(1)|JCiIJ(a+b+c)'=a'+b'+c」+2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2X(—+—+—)=6,

222

**?14Gl=n,即AG的長(zhǎng)為n.

(2)~BD\=b+c-a,AC=a+b,A||=>/2,'AC|=V3,

*/~

BDi?=(b+c-a)?(a+b)=b2-a+a?c+b?c=l..'.cos〈BD,7c*〉二媽4c也

}甌國(guó)6

AC與B?夾角的余弦值為g.

6

立體幾何中的向量方法

-------空間夾角和距離

考綱要求：

1.能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；

2.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。

二.命題走向：

空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本節(jié)的考查主要有以卜情況：（1）空間的夾角；

（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。

預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)

系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答

題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。

題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查。

第一課時(shí)空間夾角和距離

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：1.能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2.能用向量方法解決線線、線

面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。

二、重難點(diǎn)：向量法在立體幾何中求空間的夾角和距離應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納

四、教學(xué)過(guò)程

（一）、談最新考綱要求及新課程高考命題考查情況，促使積極參與。

學(xué)生閱讀復(fù)資132頁(yè)，教師講解，增強(qiáng)目標(biāo)與參與意識(shí)。

（二）、知識(shí)梳理，方法定位（學(xué)生完成復(fù)資P132頁(yè)填空題，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)）

1.空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。

（1）異面直線所成的角的范圍是（0,71T］。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)

直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來(lái)解決。

具體步驟如下：

①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊

的位置上；

②證明作出的角即為所求的角；

③利用三角形來(lái)求角。

（2）直線與平面所成的角的范圍是［0,5］。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。

具體步驟如下:

①找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；

③把該角置于三角形中計(jì)算。

注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角

中的最小角，即若。為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角,

則有ewa；

（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：

①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；

②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分

線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上;

③兩個(gè)平面相互垂直，個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上;

④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：

a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b.如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角

形的內(nèi)心（或旁心）；

c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指（0,%],解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作

二面角的平面角常有三種方法

①棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，

就是二面角的平面角；

②面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)

（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；

③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是

二面角的平面角。

斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S'=S-cos6（S為原斜面面機(jī)S'為射影面積，。為斜面與射影所

成二面角的平面角）這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形，任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平

面角有困難時(shí)，如果能找得斜面面積的射影面積，可直接應(yīng)用公式，求出二面角的大小。

2.空間的距離

（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)