課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(二十二)直線的方向向量與平面的法向量1．若直線l⊥平面α，且l的方向向量為(m,2,4)，平面α的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，則m為________．2．設(shè)A是空間任意一點(diǎn)，n為空間任一非零向量，則適合條件·n＝0的點(diǎn)M的軌跡是________．3．設(shè)直線l1的方向向量為a＝(2，－1,2)，直線l2的方向向量為b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，則m＝________.4．在空間中，已知平面α過點(diǎn)A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)C(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________.5．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則x＝________，y＝________.6．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)，(1)寫出直線BC的一個方向向量；(2)設(shè)平面α經(jīng)過點(diǎn)A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，試寫出x、y、z滿足的關(guān)系式．7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一個法向量；(2)求平面A1BC1的一個法向量；(3)若M為CD的中點(diǎn)，求平面AMD1的一個法向量．8.如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是長方體，建立的空間直角坐標(biāo)系如圖所示．AB＝3，BC＝4，AA1＝2.(1)求平面B1CD1的一個法向量；(2)設(shè)M(x，y，z)是平面B1CD1內(nèi)的任意一點(diǎn)，求x，y，z滿足的關(guān)系式．答案1．解析：∵l的方向向量與平面α的法向量平行．∴eq\f(m,\f(1,2))＝eq\f(2,1)＝eq\f(4,2).∴m＝1.答案：12．解析：·n＝0稱為一個平面的向量表示式，這里考查的是基本概念．答案：過點(diǎn)A且與向量n垂直的平面3．解析：∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0.∴m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．解析：平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，設(shè)平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))則3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,4)，1))，故cos〈n，u〉＝eq\f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq\f(\r(2),2).又∵a>0，∴a＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)5．解析：由l1∥l2，得eq\f(1,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(3,y)，解得x＝12，y＝9.答案：1296．解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)為直線BC的一個方向向量．(2)由題意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM?α，∴⊥.∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化簡得x－y＋z－2＝0.7.解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為a.(1)∵平面ABCD即為坐標(biāo)平面xOy，∴n1＝(0,0,1)為其一個法向量．(2)∵B1D⊥平面A1BC1，又∵＝(0，a,0)－(a,0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝eq\f(1,a)＝(－1,1，－1)為平面A1BC1的一個法向量．(3)設(shè)n＝(x0，y0，z0)為平面AMD1的一個法向量，∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0))，＝(0，a，a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝x0，y0，z0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0))＝\f(a,2)x0＋ay0＝0，,n·＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0.))令x0＝2，則y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)為平面AMD1的一個法向量．8．解：(1)在如題圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz中，各點(diǎn)坐標(biāo)為B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)；設(shè)平面B1CD1的一個法向量為a＝(x，y，z)，則a⊥，a⊥，從而a·＝0，a·＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－z＝0，,3x－2z＝0，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(z,2)，,x＝\f(2z,3).))不妨取z＝6，則y＝3，x＝4.所以a＝(4,3,6)就是平面B1C1D的一個法向量．(2)由