1第五章多自由度系統(tǒng)的振動

力學模型簡化——工程中很多實際問題需要簡化成多自由度系統(tǒng)。數(shù)學模型建立——用影響系數(shù)法建立剛度矩陣、柔度矩陣；以作用力方程、位移方程描述系統(tǒng)的運動。剛度系數(shù)影響：代表一個力，它相當于——

使質(zhì)點沿第個坐標方向唯一產(chǎn)生單位位移，需在第個坐標方向施加的力。柔度系數(shù)影響：代表一個位移，它相當于——

在質(zhì)點沿第個坐標方向作用一單位力，而在第個坐標方向產(chǎn)生的位移。2作用力方程展開式——振動方程求解——多自由度求解與兩自由度沒有本質(zhì)上的差別，但在求解方程組時帶來很多實際困難，要有效處理相互耦合的問題。一般采用矩陣方法，把大量的微分方程表示成簡明的格式，便于計算機計算。3耦合的實質(zhì)——實際上系統(tǒng)方程的耦合與否，不是系統(tǒng)的本身特性，完全取決于坐標的選擇。

解耦目標——現(xiàn)在我們的問題是能否找到一個變換陣，使得彈性矩陣，慣性矩陣，同時解耦。坐標選擇——選用主坐標，用主振型向量構成矩陣——模態(tài)矩陣，解耦變換——用模態(tài)矩陣進行坐標變換，可以使振動系統(tǒng)的彈性，慣性矩陣同時解耦。[待證]模態(tài)分析的方法（振型疊加法）——

用主坐標[或正則坐標]代替原來的物理坐標，使原耦合微分方程變成一組相互獨立的微分方程，這樣不但使振動問題求解方便，又可以加深對系統(tǒng)振動性質(zhì)的了解。

4

一、特征值和特征矢量,模態(tài)矩陣設：無阻尼的n個自由度系統(tǒng),在初條件激勵下作自由振動,

其運動微分方程如下:[聯(lián)系兩自由度所學內(nèi)容]在特定的條件下,系統(tǒng)可按一階固有頻率作主振動,

……

也可按某階[如N階]固有頻率作主振動。

現(xiàn)在我們來尋求——N個自由度系統(tǒng)的N組特解，

N組特解的線性組合就是系統(tǒng)的通解。其中2N個任意常數(shù)由初始條件來確定。5設：系統(tǒng)各質(zhì)點在自由振動中，均作簡諧振動，[某階主振動、同步特解]

即：將(8)代入(7)得:[省略了振型上標i]式中：用矩陣的形式表示為：6(9）、（10）是一組的N元線性齊次代數(shù)方程組,它的非零解的條件是系數(shù)行列式等于零,即:其中特征矩陣為——一般形式：7對于正定系統(tǒng)[即系統(tǒng)動能總是大于零的（各點速度全部為零除外）]，期望[可以]得到的n個大于零的實根，

——稱為特征值。一般地：特征值——（11）式又稱為多自由度系統(tǒng)的特征方程。展開后得的n次代數(shù)方程：8求得各階固有頻率后，將方程組（9）a.劃去某一個不獨立的方程式；（如：第個方程）b.將剩下的n-1個方程式中某一項（如：）移至等式右邊；c.把某一頻率（如：）代入，得下述代數(shù)方程組：特征矢量——9求解此方程：可得，顯然求得的值都與此值成正比。（假定方程組（14）的左邊系數(shù)行列式不為零，否則應另選其它項，移至右邊）

任意設定

，可求出對應固有頻率的n個振幅值[均用表達]，振幅比——

間的比例關系，稱為振幅比。

說明當系統(tǒng)按第j階固有頻率作同步簡諧振動時，各振幅值間具有確定的比例關系，或者說系統(tǒng)有一定的振動形態(tài)(主振型、固有振型）10特征矢量——數(shù)學上把[對應于每一特征值的]

系統(tǒng)各點特有的振動形態(tài)

稱為——特征矢量，特征矢量的各分量即為各幅值###11用左乘（17）式，欲求解特征矢量,未必一定求代數(shù)方程組（14）把代入特征矩陣，則（9）式用矩陣式表示如下： 特征矩陣的逆陣——特征矢量求解：12即為：對比（18）（16），結(jié)論：特征矢量與伴隨矩陣的任何非零列成比例，伴隨矩陣的任一列就是特征矢（向）量。對應某一頻率，有唯一的特征矢量和它對應——

唯一性指兩元素之間的比值，而元素本身是任意的，因為方程（16）是齊次的。

所以如果是方程的一個解，那么也是一個解，為任意常數(shù)，因此——13如果中的任一元素給定，其余N-1個元素也就唯一確定了?？梢?guī)定主振型中最大的一個坐標幅值為1，進而確定其它各坐標幅值——歸一化，歸一化了的特征向量稱為振型向量。振型向量——14

將各及代回（8）式，我們得n組特解，將以n組特解相加，可得系統(tǒng)自由振動的一般特解，即：

模態(tài)矩陣——

如果把n個特征矢量排列成一矩陣用[A]表示，即：15例如，當t=0，各坐標給定后,

則2n個常數(shù)便唯一地確定了。此通解中有2n個待定常數(shù)，

則（19）式改寫為：

16例1系統(tǒng)如圖，設：求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解:用影響系數(shù)法寫質(zhì)量矩陣[M]、剛度矩陣[K]，17作用力方程[自由振動微分方程]為：令：代入(a)式得：特征矩陣： 18解代數(shù)方程(d)得特征值：特征方程為：寫出特征矩陣(c)的伴隨矩陣：19分別把代入伴隨矩陣(e)式的任意一列（例如第一列)。(如果該列元素全是零，可換一列）并對第一個元素歸一化，得：三個主振型為：即得：20固有頻率主振型成對地相對應，是系統(tǒng)的固有特性，它們只取決于系統(tǒng)的[M][K]?！B(tài)矩陣[振型矩陣]各主振型所構成的矩陣：作振型圖——……21作振型圖——……22耦合的實質(zhì)——實際上系統(tǒng)方程的耦合與否，不是系統(tǒng)的本身特性，完全取決于坐標的選擇。

解耦目標——現(xiàn)在我們的問題是能否找到一個變換陣，使得彈性矩陣，慣性矩陣，同時解耦。坐標選擇——選用主坐標，用主振型向量構成矩陣——模態(tài)矩陣，解耦變換——用模態(tài)矩陣進行坐標變換，可以使振動系統(tǒng)的彈性，慣性矩陣同時解耦。[待證]模態(tài)分析的方法（振型疊加法）——

用主坐標[或正則坐標]代替原來的物理坐標，使原耦合微分方程變成一組相互獨立的微分方程，這樣不但使振動問題求解方便，又可以加深對系統(tǒng)振動性質(zhì)的了解。

23二、特征矢量的正交性，展開定理

（一）主振型的正交性上節(jié)指出：n個自由度系統(tǒng)具有n個固有頻率和n組主振型現(xiàn)在我們來研究任兩組主振型之間的關系——

已知對應于固有頻率的主振型分別滿足下述兩方程式：將（3-21）式前乘列陣的轉(zhuǎn)置矩陣，（3-22）式前乘列陣的轉(zhuǎn)置矩陣，得：24由于所研究的[K]，[M]都是對稱矩陣，即：將（23）、（25）式兩邊相減，得：轉(zhuǎn)置（24）式的兩端，得：在的條件下，必存在：則：25正交條件

——

（27）（28）式表明：

對應于不相等固有頻率的兩個主振型之間，存在著對質(zhì)量矩陣[M]、和剛度矩陣[K]的正交性，統(tǒng)稱為主振型的正交性。式（27）（28）就是主振型的正交條件。（27）代回（23）式，得：正交性的物理意義

——對于每一階主振動，它的動能、勢能之和是常數(shù)，可相互轉(zhuǎn)化，就像一個獨立的單自由度系統(tǒng)振動時的情況一樣；但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此從能量的觀點出發(fā)——各階主振動之間相互是獨立的。

這些0將處在變換后的主剛度陣、主質(zhì)量陣的非主對角線的各元素位置上（因為：）?！?/p>

非主對角線位置上的各元素均為零。26正交條件的數(shù)學意義——

（27）（28）式表明：

27因質(zhì)量矩陣是正定的，令：總是一個正實數(shù)，稱之為第階主質(zhì)量，對正定系統(tǒng)來說，剛度矩陣也是正定的，令：也是一個正實數(shù)，稱之為第階主剛度。對于（21）兩邊前乘，得：行向量*矩陣*列向量=數(shù)主對角線元素計算：主剛度陣、主質(zhì)量陣這些正實數(shù)將處在變換后的主剛度陣、主質(zhì)量陣的主對角線的各元素位置上（因為：）?！?/p>

主對角線位置上的各元素均為正實數(shù)。2829由（29）（30）（31）三式得到：即：第階固有頻率平方等于第階主剛度與第階主質(zhì)量的比值。將n個特征矢量排列成模態(tài)矩陣，則（27）和（30）（28）和（31）可合并成矩陣形式如下：30由上面的推證可見：如果以模態(tài)矩陣[A]為變換矩陣，一定會使慣性矩陣，剛度矩陣同時解耦!!!31在實際系統(tǒng)中，頻率方程有重根的情形是存在的，（即某些頻率相等）總可以找到對應于重根情況下的特征矢量族。即——如有R個重根，可在特征矢量族中挑出R個特征矢量，保證彼此正交（雖然它們不是唯一的）。以模態(tài)矩陣為變換矩陣——還必須證明特征矢量組的線性無關。由前推證可知：n個特征矢量滿足正交性條件（27）、（28）。32（二）特征矢量組 線性無關反證法——假設特征矢量組線性相關，則應滿足：

設：為一組不全是零的常數(shù)。令（35）式前乘 ，由特征矢量組的正交性可知：除第r項外，其余各項均為零；而第r項為：依次令 ，可得出推論：只有在全部都等于零時，（35）式才成立——與所設不符。即：特征矢量不滿足線性相關式（35）——特征矢量組線性無關。33推論——

n維空間里，任意n個線性無關的矢量都可以作為這個n維空間的基,

既然特征矢量組是線性無關的,當然也可以以它們?yōu)榛?

于是系統(tǒng)任一(可實現(xiàn)的)位置,

均可用特征矢量組的線性組合來表示,即：想像——

n維笛卡爾坐標(空間)，各坐標軸單位矢量為(即為n維空間的基),

振動系統(tǒng)的任一位置用坐標 表示,

可用n維空間的矢量表示,即：(三)展開定理:34式中系數(shù)是第r階振型對貢獻多少的度量,

稱為以 為基的坐標,用矩陣式表示為

說明——系統(tǒng)的物理坐標 經(jīng)模態(tài)矩陣[A]的變換,

變成以特征矢量組為基的新坐標[主坐標]，可等價描述系統(tǒng)在物理坐標下的真實振動。35由正交性條件可知：等式右端的各項，其值均等于零；僅剩余一項，即：由物理坐標——求主坐標:稱(36)、(37)式為展開定理——[數(shù)學描述],

可得:對式(36a),前乘36

是以特征矢量組為基的新坐標,

——稱主坐標,用表示?！罢归_定理”的物理解釋——每個分運動保持它對應的主振型。分解為n個主坐標表示的分運動；###圖示把系統(tǒng)在物理坐標下的運動，當系統(tǒng)運動時，這種變換相當于——物理坐標主坐標（帶有下標）37總結(jié)：用模態(tài)矩陣作為變換矩陣——

可使剛度矩陣和慣性矩陣同時解耦，也就是說——以主坐標表示的運動方程組是互相獨立的，每個主運動可以獨立的被激勵而與其它階無關，這樣求系統(tǒng)的響應就容易多了。利用展開定理求系統(tǒng)響應的方法——模態(tài)分析法。

38即：如果是對應頻率的特征矢量，那么也是對應的特征矢量。注意：按不同的方式規(guī)一化，并用求得的模態(tài)矩陣進行坐標變換，計算出來的主質(zhì)量,主剛度數(shù)值不相等。說明：如選為特征矢量,某階主質(zhì)量為：如選為特征矢量，某階主質(zhì)量為：顯然：按需要歸一化：如令，[假設第一個元素不為零]

其它元素則唯一地確定；

[也可令中其它元素等于1來規(guī)一化]。

振型是唯一的，但幅值是任意的。三、正則方程前述內(nèi)容曾講過：對應某階固有頻率，39再將回帶至（51），即可確定正則振型。將（51）代入（50）式，即可確定主振型正則化——為方便計算，試將方程組中質(zhì)量項歸一，對每階主振動，定義一組特定的主振型——正則振型，使它滿足條件:

——即正則振型所對應的主質(zhì)量[正則質(zhì)量]等于1。正則振型求解——可以由任意的主振型求出:

令：[正則質(zhì)量][物理質(zhì)量]正則化因子[模態(tài)質(zhì)量]40由于正則振型是主振型中特定的一組，因此，主振型所滿足的正交性條件，正則振型當然也滿足，由于各階經(jīng)正則變換的主質(zhì)量[正則質(zhì)量]均有 ，所以：對各階主振型依次進行上述計算，我們就可求得對應N階主振動的N個正則振型 。