本章主要內(nèi)容影響線的概念，用靜力法和機動法作靜定梁的影響線，多跨靜定梁的影響線，利用影響線求量值，連續(xù)梁影響線形狀的確定和最不利活荷載位置的確定。目的要求1.掌握影響線的概念2.熟練掌握用靜力法和機動法繪制靜定梁的影響線。3.掌握用影響線求量值和最不利荷載位置的確定。4.掌握連續(xù)梁影響線形狀的確定和最不利活荷載位置的確定。第4章影響線1§4-1移動荷載和影響線的概念1．移動荷載固定荷載：方向、大小、作用位置不會變化的荷載。移動荷載：方向、大小不變，但作用位置隨時間不斷變化的荷載。如：

FP2FP1FP3思考1：當FP1、FP2、FP3作用位置不斷變化時，支座反力，任意截面的內(nèi)力有無變化，怎樣變化？答案：隨著移動荷載作用位置不斷變化時，結(jié)構(gòu)某量值在不斷變化。

2在豎向單位移動荷載FP=1作用下，描述結(jié)構(gòu)某一量值（支座反力、內(nèi)力等）隨的作用位置x變化而變化規(guī)律的幾何圖形，稱為該量值的影響線。影響線的作法：靜力法和機動法?！?-1移動荷載和影響線的概念思考2：量值隨移動荷載的不斷變化而發(fā)生不斷變化，那么，在這個變化過程中，我們最關心什么？答案：移動荷載作用于什么位置時，結(jié)構(gòu)量值達到最值，及最值是多少。

2．影響線（IL）的概念3繪制影響線有兩種方法，即靜力法和機動法。靜力法是以移動荷載的作用位置x為變量，然后根據(jù)平衡條件求出所求量值與荷載位置x之間的函數(shù)關系式，即影響線方程。再由方程作出圖形即為影響線。1．簡支梁的影響線

（1）支座反力影響線要繪制簡支梁反力FRA的影響線，可設A為坐標原點，荷載FP=1距A支座的距離為x，并假設反力方向以向上為正，由平衡方程ΣMB=0，得§4-2靜力法作簡支梁的影響線4上式稱為反力FA的影響線方程，它是x的一次式，即FA的影響線是一段直線。為此，可定出以下兩點：當x=0時，F(xiàn)A=1當x=l時，F(xiàn)A=0即可繪出反力FA的影響線，如圖(b)所示。繪影響線圖形時，通常規(guī)定縱距為正時畫在基線的上方，反之畫在下方。并要求在圖中注明正、負號。根據(jù)影響線的定義，F(xiàn)A影響線中的5中的任一縱距yk即代表當荷載F=1移動至梁上K處時反力FA的大小。

繪制FB的影響線時，利用平衡方程ΣMA=0，可得

它也是x的一次式，故FB的影響線也是一條直線，如圖(c)所示。由上可知反力影響線的特點：跨度之間為一直線，最大縱距在該支座之下，其值為1；最小縱距在另一支座之下，其值為0。6作影響線時，由于單位荷載F=1為量綱是一的量，因此，反力影響線的縱距亦是量綱是一的量。以后利用影響線研究實際荷載對某一量值的影響線時，應乘上荷載的相應單位。（2）彎矩影響線設要繪制任一截面C(如圖4(a)所示)的彎矩影響線。仍以A點為坐標原點，荷載F=1距A點的距離為x。當F=1在截面C以左的梁段AC上移動時(0≤x≤a)，為計算簡便起見，可取CB段為隔離體，并規(guī)定使梁的下側(cè)纖維受拉的彎矩為正，由平衡方程

ΣMC=0，得7可知MC影響線在AC之間為一直線。并且當x=0時，MC=0當x=a時，MC=ab/l

據(jù)此，可繪出F=1在AC之間移動時MC的影響線，如圖4(b)所示。當荷載F=1在截面C以右移動時，為計算簡便，取AC段為隔離體，由ΣMC=0，得8上式表明，MC的影響線在截面C以右部分也是一直線。當x=a時，MC=ab/l當x=l時，MC=0即可繪出當F=1在截面C以右移動時MC的影響線。MC影響線如圖4(b)所示。MC的影響線由兩段直線組成，呈一三角形，兩直線的交點即三角形的頂點就在截面C的下方，其縱距為ab/l。通常稱截面C以左的直線為左直線，截面C以右的直線為右直線。由上述彎矩影響線方程可知，左直線可由反力FB的影響線乘以常數(shù)b所取AC段而得到；而右直線可由反力FA的影響線乘以常數(shù)a并取CB段而得到。這種利用已知量值的影響線來作其他未知量值影響線的方法，常會帶來很大的方便，以后常用到。彎矩影響線的縱距的量綱是長度的量綱。9（3）剪力影響線

設要繪制截面C(如圖4-4(a)所示)的剪力影響線。當F=1在AC段移動時(0≤x＜a)，可取CB部分為隔離體，由ΣFy=0，得FSC+FB=0FSC=-FB由此可知，在AC段內(nèi)，F(xiàn)SC的影響線與反力FB的影響線相同，但正負號相反。因此，可先把FB影響線畫在基線下面，再取其中的AC部分。C點的縱距由比例關系可知為。該段稱為FSC影響線的左直線，如圖4-4(c)所示。當F=1在CB段移動時(a<x≤l)，可取AC段為隔離體，由ΣFy=0，得10FA-FSC=0FSC=FA此式即為FSC影響線的右直線方程，它與FA影響線完全相同。畫圖時可先作出FA影響線，而后取其CB段，如圖4-4(c)所示。C點的縱距由比例關系知為b/l。顯然，F(xiàn)SC影響線由兩段互相平行的直線組成，其縱距在C處有突變(由-a/l變?yōu)閎/l)，突變值為1。當F=1恰好作用在C點時，F(xiàn)SC的值是不確定的。剪力影響線的縱距為量綱一的量。

2．伸臂梁的影響線（1）支座反力影響線圖4-5(a)所示伸臂梁，取A支座為坐標原點，11當F=1在A點以左時，x為負值，故以上兩方程在全梁范圍內(nèi)均適用。由于方程與相應簡支梁的反力影響線方程完全相同，故只需將簡支梁反力影響線向兩伸臂部分延長，即可得到伸臂梁的反力影響線，如圖4-5(b)、(c)所示。圖4-512（2）跨內(nèi)截面內(nèi)力影響線

為求兩支座間任一截面C的彎矩和剪力影響線，首先應寫出影響線方程。當F=1在截面C以左移動時，取截面C以右部分為隔離體，由平衡條件得MC=FB·b，F(xiàn)SC=-FB當F=1在截面C以右部分移動時，取截面C以左部分為隔離體，由平衡條件得MC=FA·a，F(xiàn)SC=FA由此可知，MC和FSC的影響線方程和簡支梁相應截面的相同。因而與作反力影響線一樣，只需將相應簡支梁截面C的彎矩和剪力影響線的左、右兩直線向兩伸臂部分延長，即可13得到伸臂梁的MC和FSC影響線，如圖4-5(d)、(e)所示。（3）伸臂截面的內(nèi)力影響線為了求伸臂部分任一截面K(如圖4-6(a)所示)的內(nèi)力影響線，為計算方便，可取K點為坐標原點，x仍以向右為正。當F=1在K點以左移動時，取截面K的右邊為隔離體，由平衡方程得MK=0FSK=0當F=1在K點右邊移動時，仍取截面K的右邊為隔離體，得MK=-x(0≤x≤d)FSK=+1

14由此可作出MK和FSK的影響線，如圖4-6(b)、(c)所示。

圖4-615

繪支座兩側(cè)截面的剪力影響線時，應分清是屬于跨內(nèi)截面還是伸臂部分截面。例如，支座B的左側(cè)截面剪力FQBL的影響線，可由跨內(nèi)截面C的FQC影響線(見圖4-5(e)所示)使截面C趨近于支座B的左側(cè)而得到，如圖4-6(e)所示。而支座B右側(cè)截面的剪力FQBR的影響線可由FQK的影響線使截面F趨近于B支座右側(cè)而得到，如圖4-6(d)所示。最后需要指出，對于靜定結(jié)構(gòu)，由于其反力和內(nèi)力影響線方程均為x的一次式，故影響線都是由直線所組成的。3．影響線與內(nèi)力圖的比較影響線與內(nèi)力圖是截然不同的，初學者容易將兩者混淆。盡管兩者均表示某種函數(shù)關系的圖形，但各自的自變量和因變量是不同的?，F(xiàn)以簡支梁彎矩影響線和彎矩圖為例作比較如下：16圖4-717圖4-7(a)表示簡支梁的彎矩MC影響線，圖4-7(b)表示荷載F作用在C點時的彎矩圖。兩圖形狀相似，但各縱距代表的含義卻截然不同。例如D點的縱距，在MC影響線中yD代表F=1移動至D點時引起的截面C的彎矩的大小。而彎矩圖中yD代表固定荷載F作用在C點時產(chǎn)生的截面D的彎矩值MD。其他內(nèi)力圖與內(nèi)力影響線的區(qū)別也與上相同?！?-3結(jié)點荷載作用下的影響線1．結(jié)點荷載在橋梁及房屋建筑中的某些主梁計算時，常假定縱梁簡支在橫梁上，橫梁再簡支在主梁上，荷載直接作用在縱梁上，通過橫梁傳給主梁，如圖4-8(a)所示。主梁只在放橫梁處(結(jié)點處)受到集中力作用。主梁而言這種荷載稱為結(jié)點荷載(或稱間接荷載)18

2．縱橫梁系中主梁內(nèi)力的影響線下面討論在間接荷載作用下，主梁各種量值影響線的作法?，F(xiàn)以主梁上截面C的彎矩影響線為例說明如下：首先，當荷載F=1移動到各結(jié)點處，如A、D、E、F、B處時，則與荷載直接作用在主梁上的情況完全相同。因此，荷載直接作用在主梁上時MC影響線(如圖4-8(b)所示)中各結(jié)點處的縱距yA、yD、yE、yF、yB也是主梁在間接荷載作用下各結(jié)點處MC影響線的縱距。其次，當荷載F=1在任意兩相鄰結(jié)點D、E之間的縱梁上移動時，主梁將只在D、E兩點處分別受到結(jié)點荷載19(d-x)/d及x/d的作用，如圖4-8(c)所示。由影響線的定義及疊加原理可知，在上述兩結(jié)點荷載共同作用下MC值應為

圖4-8這便是F=1在縱梁DE段時，主梁DE段的影響線方程。上式是x的一次式，表明在DE段內(nèi)MC的影響線是一直線。且由當x=0時，y=yD;當x=d時，y=yE

可知此直線是聯(lián)結(jié)縱距yD及yE的直線

，如圖4-8(b)所示。20同理，當F=1在其他各縱梁上移動時，主梁對應的各段的影響線也應是各段兩結(jié)點處影響線縱距的聯(lián)線。綜上所述，可得出如下結(jié)論：

(1)主梁上結(jié)點處影響線量值等于直接荷載作用下的量值。(2)兩結(jié)點之間影響線呈直線變化。由此，可總結(jié)出繪制間接荷載下主梁某量值影響線的方法：

(1)首先作出直接荷載作用下所求量值的影響線，確定各結(jié)點處的縱距。(2)在每一根梁段范圍內(nèi)，將各結(jié)點處縱距聯(lián)成直線，即為該量值的影響線。按上述方法，不難繪出主梁截面C的剪力影響線，如圖4-8(d)所示。圖4-9所示為間接荷載作用下主梁影響線的另一例子。21圖4-922機動法作影響線是以虛位移原理為依據(jù)的，它把求內(nèi)力或支座反力影響線的靜力問題轉(zhuǎn)化為作位移圖的幾何問題。下面先以繪制圖4-10(a)所示簡支梁的反力FA影響線為例，說明用機動法作影響線的概念和步驟。為求反力FA，應將與其相應的聯(lián)系去掉，代之以正向的反力FA，如圖4-10(b)所示。圖4-10§4-4機動法作影響線23此時原結(jié)構(gòu)變成為具有一個自由度的幾何可變體系。然后給體系沿FA正向以微小虛位移，即AB梁繞B支座作微小轉(zhuǎn)動，并以δA和δP分別表示在FA和F的作用點沿其作用方向上的虛位移。梁在FA、F、FB共同作用下處于平衡狀態(tài)。根據(jù)虛位移原理，它們所作的虛功總和應等于零。虛功方程為：FA·δA+F·δP=0作影響線時，因F=1，故得：FA=-δP/δA式中δA為反力FA的作用點沿其方向上的位移，在給定的虛位移下它是常數(shù)；δP則為在荷載F=1作用點沿其方向上的位移，由于F=1是在梁上移動的，因而δP就是沿著荷載移動的各點的豎向虛位移圖。可見，F(xiàn)A的影響線與位移圖δP成正比，將位移圖24δP的縱距除以δA并反號，就得到FA的影響線。為方便起見，可令δA=1，則上式成為FA=-δP，亦即此時的虛位移圖即代表FA的影響線，只是符號相反。但是虛位移δP應是與力F=1方向一致為正，即以向下為正。因而可知，當δP向下時，F(xiàn)A為負；當δP向上時，F(xiàn)A為正，這與影響線的縱距正值者畫在基線上方恰好一致，從而可得FA的影響線如圖11-10(c)所示。由A支座反力FA影響線的繪制過程，可總結(jié)出機動法作影響線的步驟如下：

(1)欲作某一量值S的影響線，應撤去與S相應的聯(lián)系，代之以正向的未知約束力S。(2)使體系沿S的正方向發(fā)生單位虛位移(δ=1)，從而可25得出荷載作用點的豎向位移圖(δP圖)，此位移圖即是S的影響線。(3)注明影響線的正負號：在橫坐標以上的圖形為正，反之為負。機動法的優(yōu)點是不需經(jīng)過計算即可繪出影響線的輪廓。在工程中，當僅需要知道影響線的輪廓，用以確定最不利荷載位置時，用機動法特別方便。此外，還可用機動法來校核用靜力法作出的影響線?，F(xiàn)按上述步驟，用機動法作圖4-11(a)所示簡支梁截面C的彎矩和剪力影響線。26圖4-1127彎矩影響線首先撤去與MC相應的聯(lián)系，即將截面C改為鉸結(jié)，沿MC的正方向加一對等值反向的力偶MC代替原有聯(lián)系的作用，。由圖可以看出與MC相應的位移是鉸C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角(α+β)。由于(α+β)是微小的，可知AA1=a(α+β)，由比例關系知CC1=ab/l(α+β)。若令(α+β)=1，即可求出影響線頂點處的縱距為ab/l。從而可繪出MC影響線。2．剪力影響線

撤去與FSC相應的聯(lián)系，即將截面C處改為用兩根水平鏈桿相聯(lián)(這樣，該截面不能抵抗剪力但仍能承受彎矩和軸力)，同時加上一對正向剪力FSC代替原有聯(lián)系的作用。再令該體系沿FSC正方向發(fā)生虛位移。由虛功原理有，28得此時(CC1+CC2)為C左右兩截面的相對豎向位移，令(CC1+CC2)=1，則所得的虛位移圖即為FSC影響線。由于截面C處只能發(fā)生相對豎向位移，不能發(fā)生相對轉(zhuǎn)動和水平移動，故在虛位移圖中AC1和C2B兩直線為平行線，即FSC影響線的左、右兩直線是相互平行的。29與作單跨靜定梁影響線一樣，作多跨靜定梁的影響線也有靜力法和機動法。

1．靜力法作多跨靜定梁的影響線用靜力法作多跨靜定梁的影響線，首先要分清基本部分和附屬部分以及各部分之間的傳力關系。再將多跨靜定梁的每個梁段看作是一個單跨梁，然后利用單跨靜定梁的已知影響線，則可繪出多跨靜定梁的影響線。例如圖4-12(a)所示多跨靜定梁，圖(b)為其層疊圖?，F(xiàn)要作彎矩MK的影響線。當F=1在AC段上移動時，CE段為附屬部分而不受力，故MK的影響線在AC段內(nèi)的縱距恒為零；當F=1在CE段多跨靜定梁的影響線30上移動時，此時MK的影響線與CE段單獨作為伸臂梁時相同；當F=1在EG段上移動時，CE梁則承受一個作用位置不變、而大小變化的力FEy的作用。若以E點為坐標原點，寫出FEy的影響線方程為，可見，F(xiàn)Ey是x的一次式。由這個反力所引起的CE梁內(nèi)指定截面的內(nèi)力也是x的一次式，如：。這說明MK的影響線在

EG段內(nèi)是一直線。畫出直線只需定出兩點，當x=0時，；當x=l時，MK=0。MK影響線在全梁的變化圖形如圖(d)所示。31圖4-1232由上述分析可知，多跨靜定梁反力及內(nèi)力影響線的一般作法如下：

(1)當F=1在所求量值所在的梁段上移動時，該量值的影響線與相應單跨靜定梁影響線相同。(2)當F=1在對于該量值所在的梁段來說是附屬部分的梁段上移動時，量值的影響線是一直線，可根據(jù)支座處縱距為零，鉸處的縱距為已知的兩點繪出。(3)當F=1在對于該量值所在的梁段來說是基本部分的梁段上移動時，該量值影響線的縱距為零。

按上述方法，即可作出FSBL、FSBR和FF的影響線，如圖4-12(e)、(f)、(g)所示。

332．機動法作多跨靜定梁的影響線

用機動法作多跨靜定梁影響線的步驟與單跨梁完全相同。與靜力法相比較顯得更方便。首先去掉與所求量值S相應的聯(lián)系，代之以未知力S，然后使該體系沿S的正方向發(fā)生單位位移，此時根據(jù)每一段梁的位移圖應為一直線，以及在支座處豎向位移為零，便可很方便地繪出各部分的位移圖?，F(xiàn)用機動法校核圖4-10(a)所示多跨靜定梁MK、FSBL、FSBR和FF影

響線，繪于圖4-13中。34

圖4-1335對于單跨靜定梁式桁架，其支座反力的計算與相應的單跨靜定梁相同，故其反力影響線也與單跨靜定梁支座反力影響線完全一樣。下面只討論桁架桿件內(nèi)力的影響線。在桁架中，荷載一般是通過縱橫梁系以結(jié)點荷載的形式而作用在桁架結(jié)點上，故前面討論的關于間接荷載作用下影響線的性質(zhì)，對桁架都是適用的。即桁架中任一桿件軸力影響線在相鄰兩結(jié)點之間應為一直線。用靜力法作桁架內(nèi)力影響線時，與計算內(nèi)力一樣，采用結(jié)點法和截面法?，F(xiàn)以圖4-14(a)所示下弦承受單位荷載F=1的平行弦桁架為例，說明桁架桿件內(nèi)力影響線的繪制方法?！?-4桁架的影響線36FB·4d+FN89·h=0FN89=-4d/h·FB

作截面Ⅰ-Ⅰ，當F=1在A、2段移動時，取截面右部分為隔離體，由ΣM2=0，得(a)1.上弦桿軸力FN89的影響線由(a)式可知，將反力FB的影響線乘以4d/h，并畫在基線的下方，取其對應于A、2之間的一段，即可得到FN89在該部分的影響線，稱為左直線。當F=1在3、B之間移動時，取截面Ⅰ-Ⅰ的左部分為隔離體，由ΣM2=0，得FA·2d+FN89·h=0FN89=-2d/h·FA(b)37可知，將反力FA的影響線乘以2d/h，并畫在基線下方，取其對應于3、B之間的一段，即可得FN89影響線的右直線。當F=1在2、3之間移動時，由間接荷載下影響線的性質(zhì)可知，應為一直線。即將結(jié)點2、3處的縱距相聯(lián)，可得FN89的影響線，如圖4-14(b)所示。由幾何關系知，左、右兩直線的交點恰好在矩心2的下面，其縱距為4d/3h。利用這一特點可對FN89的影響線進行校核。2.下弦桿軸力FN23的影響線與上弦桿內(nèi)力影響線作法完全相同。仍用截面Ⅰ-Ⅰ，取結(jié)點9為矩心。影響線的頂點也在矩心9下面，縱距為3d/2h，如圖4-14(c)所示。383.斜桿軸力FN72的影響線作截面Ⅱ-Ⅱ，用投影法求影響線方程。當F=1在A、1之間移動時，取截面Ⅱ-Ⅱ右部分為隔離體，由ΣFy=0，得當F=1在2、B之間移動時，取截面Ⅱ-Ⅱ左部分為隔離體，由ΣFy=0，得

當F=1在1、2之間移動時，F(xiàn)N72的影響線為一直線。FN72影響線如圖4-14(d)所示。，，394.豎桿軸力N17的影響線取結(jié)點1為隔離體，用平衡方程ΣFy=0，分別按F=1在該結(jié)點及不在該結(jié)點兩種情況建立：(1)當F=1移動至結(jié)點1時，F(xiàn)N17=1；(2)當F=1作用在其他各結(jié)點時，F(xiàn)N17=0。然后根據(jù)影響線在各節(jié)間應為直線的性質(zhì)，即可繪出FN17的影響線，如圖4-14(e)所示。圖4-14(a)所示桁架，當F=1在上弦移動時，欲求FN17影響線，仍取結(jié)點1為隔離體，由ΣFY=0，可知不論荷載作用在上弦哪個結(jié)點上，F(xiàn)N17恒為零。FN17的影響線則與基線重合，如圖4-14(f)所示。40圖4-1441綜上所述，作桁架影響線時，應特別注意桁架是下弦承載(縱橫梁系安置在桁架下面，簡稱下承)還是上弦承載(上承)。因為在兩種情況下某些桿件的內(nèi)力影響線是不同的?！?-6影響線的應用一、利用影響線求量值1.集中荷載作用如圖4-15所示，設某量值S的影響線已繪出，現(xiàn)有一組集中荷載F1、F2、…、Fn作用在結(jié)構(gòu)的已知位置上，其對應于S影響線上的縱距分別為y1、y2、…、yn。現(xiàn)要求利用量值S的影響線，求荷載作用下產(chǎn)生量值S的大小。由影響線的定義知，y1表示荷載F=1作用于該處時量值S的大小，若荷載不是單位荷載而是42F1，則引起量值S的大小為F1y1?，F(xiàn)有n個荷載同時作用，根據(jù)疊加原理，所產(chǎn)生的量值S為S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=ΣFiyi(4-1)當影響線某一直線段范圍內(nèi)有一組集中荷載作用時(圖4-16)，為簡化計算，也可以用合力F來代替它們的作用。若將該段直線延長使之與基線交于o點，則有S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tanα=tanαΣFixi由于ΣFixi為各分力對o點力矩之和，根據(jù)合力矩定理，得

43ΣFixi=FR則S=FRtanα=FR(4-2)其中為合力FR所對應的影響線的縱距。圖4-15圖4-16442.分布荷載作用設有分布荷載作用于結(jié)構(gòu)的已知位置上若將分布荷載沿其長度方向劃分為許多無窮小的微段dx，可將每一微段上的荷載q(x)dx看成集中荷載(圖4-17)，則在ab段內(nèi)分布荷載產(chǎn)生的量值S為(4-3)圖4-17圖4-1845若q(x)是均布荷載q時(圖4-18)，則上式為(4-4)式中Aω表示均布荷載長度范圍內(nèi)影響線圖形的面積。若在該范圍內(nèi)影響線有正有負，則Aω應為正負面積的代數(shù)和。

例4-1試利用影響線求圖4-19(a)所示簡支梁在荷載作用下截面C的剪力。解：首先作出FSC影響線，并求有關縱距值，如圖4-19(b)所示。其次由疊加原理，可得46

FSC=FyD+q·Aω

=60×0.4+20×1/2×(0.2+0.6)×2.41/2×(0.2+0.4)×1.2〕=36kN

4-1947在移動荷載作用下，結(jié)構(gòu)上某一量值S是隨著荷載位置的變化而變化的。在結(jié)構(gòu)設計中，需要求出量值S的最大正值Smax和最大負值Smin(也稱最小值)作為設計的依據(jù)。為此，必須首先確定產(chǎn)生某一量值最大值(或最小值)時的荷載位置，亦即該量值的最不利荷載位置。最不利荷載位置確定后，即可按本節(jié)前述方法計算出該量值的最大值(或最小值)。影響線最主要的應用就在于用它來確定最不利荷載位置。下面討論在不同的荷載作用下，最不利荷載位置的確定方法。二、最不利荷載位置481．單個集中荷載此時，可憑直觀得出：Smax=Fymax,Smin=Fymin(圖4-22)。圖4-22圖4-23492．可任意分割的均布荷載(如人群、貨物)

由式(4-4)可知S=q·Aω，顯然，將荷載布滿影響線所有正面積的部分，則產(chǎn)生Smax；反之，將荷載布滿對應影響線所有負面積的部分，則產(chǎn)生Smin(圖4-23)

3．行列荷載行列荷載是指一系列間距不變的移動集中荷載(也包括均布荷載)。如中—活載、汽車車隊等，其最不利荷載位置難以由直觀得出，只能通過尋求S的的極值條件來解決求Smax的問題。一般分兩步進行：501)求出使量值S達到極值的荷載位置。該荷載位置叫做荷載的臨界位置。2)從荷載的臨界位置中找出荷載的最不利位置，亦即從S的極大值中找最大值，從極小值中找最小值。

（1）臨界位置的判定設某量值S的影響線如圖4-24(a)所示為一折線形，各段直線的傾角分別為α1、α2、…αn。取坐標軸x向右為正，y軸向上為正，傾角α以逆時針轉(zhuǎn)動為正?，F(xiàn)有行列荷載作用于圖4-24(b)所示位置，此時產(chǎn)生的量值S1為S1=FR1y1+FR2y2+…+FRnyn=ΣFRiyi

51圖4-24這里y1、y2、…yn分別為各段直線范圍內(nèi)荷載合力FR1、FR2、…FRn對應的影響線的豎標。當整個荷載組向右移動微小距離Δx(向右移動Δx為正)。則此時產(chǎn)生的量值S2為52S2=FR1(y1+Δy1)+FR2(y2+Δy2)+…+FRn(yn+Δyn)量值S的增量為

ΔS=S2-S1=FR1Δy1+FR2Δy2+…+FRnΔyn

=FR1Δxtanα1+FR2Δxtanα2+…+FRnΔxtanαn=ΔxΣFRitanαi亦即ΔS/Δx=ΣFRitanαi由數(shù)學可知，函數(shù)的一階導數(shù)為零或變號處函數(shù)可能存在極值，如圖4-25所示。其中圖4-25(a)是分布荷載的極值條件，后一種則用于集中荷載，此時，極值兩邊的導數(shù)必定符號相反。53可知，使S成為極大值的條件是：荷載自該位置向左或向右移動時，量值S均應減小或保持不變，即ΔS<0。由于荷載向左移動時Δx＜0，而向右移動時Δx＞0，故使S成為極大值的條件為圖4-2554

荷載稍向左移：ΣFRitanαi>0荷載稍向右移：ΣFRitanαi<0(4-5)同理，使S成為極小值的條件應為荷載稍向左移：ΣFRitanαi<0荷載稍向右移：ΣFRitanαi>0(4-5’)若只討論ΣFRitanαi≠0的情況，可得如下結(jié)論：當荷載組向左或向右移動微小距離時，ΣFRitanαi必須變號，S才產(chǎn)生極值。

下面討論在什么情況下ΣFRitanαi才有可能變號。由于tanαi是影響線中各段直線的斜率，是常數(shù)，并不隨荷載位置而改變，55因此，要使ΣFRitanαi改變符號，只有各段內(nèi)的合力FRi改變數(shù)值才有可能。而要使FRi改變數(shù)值，只有當某一個集中荷載正好作用在影響線的某一頂點

(轉(zhuǎn)折點)處時，才有可能。當然，并不是每個集中荷載位于影響線頂點時都能使ΣFRitanαi變號。我們把能使ΣFRitanαi變號的荷載，亦即使S產(chǎn)生極值的荷載叫臨界荷載。此時相應的荷載位置稱為臨界位置。這樣，式(4-5)及式(4-6)稱為臨界位置的判別式。

一般情況下，臨界位置可能不止一個，因此S的極值也不止一個，這時需要將各個S的極值分別求出，再從中找出最大(或最小)的S值。至于哪一個荷載是臨界荷載，則需要試算看將該56荷載置于影響線某一頂點處是否能滿足判別式。為了減少試算次數(shù)，可從以下兩點估計最不利荷載位置：

(1)將行列荷載中數(shù)值較大，且較密集的部分置于影響線的最大縱距附近。(2)位于同符號影響線范圍內(nèi)的荷載應盡可能的多。（2）確定最不利荷載位置的步驟由以上分析可知，確定最不利荷載位置的一般步驟如下：1)從荷載中選定一個集中力FRi，使它位于影響線的一個頂點上。572)令荷載分別向左、右移動(即當FRi在該頂點稍左或稍右)時，分別求ΣFRitanαi的

看其是否變號(或由零變?yōu)榉橇?，由非零變?yōu)榱?。若變號，則此荷載位置為臨界位置。3)對每一個臨界位置求出S的一個極值，再找出最大值即為Smax，找出最小值即為Smin。與產(chǎn)生該最大值及最小值所對應的荷載位置，即為最不利荷載位置。58例4-2試求圖4-26(a)所示簡支梁在中—活載作用下截面C的最大彎矩。圖4-2659解：首先作出MC影響線如圖4-26(b)所示。由圖求得各段斜率為tanα1=5/8,tanα2=1/8,tanα3=-3/8其次，由式(4-5)通過試算確定臨界位置。1.先考慮列車從右向左開行時的情況。(1)將輪4置于影響線頂點E處試算，如圖4-26(c)所示。由判別式(4-5)，有荷載稍左移：ΣFRitanαi=220×5/8+(3×220)×1/6-(220+92×5)×3/8＜0荷載稍右移：ΣFRitanαi=220×5/8+(2×220)×1/6-(2×220+92×5)×3/8＜060ΣFRitanαi未變號，說明輪4位于E點不是臨界位置。應將荷載向左移到下一位置試算。(2)將輪2置于D點試算，如圖4-26(d)所示。有圖4-26

荷載左移：ΣFRitanαi=(440)×5/8+(440)×1/6-(220+92×6)×3/8＞0荷載右移：ΣFRitanαi=(220)×5/8+(660)×1/6-(220+92×6)×3/8＜0ΣFRitanαi變號，可知輪2在D點為一臨界位置。在算出各荷載對應的影響線縱距后(同一段直線上的荷載可用合力F代替)，則此位置產(chǎn)生的MC值為MC(1)=ΣFiyi+q·Aω61=220×1.5625+660×2.6875+220×2.8125+92×1/2×6×2.25)=3357.3kN·m(3)經(jīng)過繼續(xù)試算可知，列車由右向左開行時只有上述一個臨界位置。2.再考慮列車從左向右開行時的情況。(1)先將輪4置于影響線頂點E處試算，如圖4-26(e)所示，有荷載左移：ΣFRitanαi=(92×4)×5/8+(92×1+440)×1/6-(660)×3/8＞0荷載右移：ΣFRitanαi=(92×4)×5/8+(92×1+220)×1/6-(880)×3/8＜0故知這也是一個臨界位置。相應的MC值為MC(2)=ΣFiyi+q·Aω62=92×(1/2×4×2.5)+92×〔1/2×(2.625+2.5)×1〕+220×2.8125+220×3+660×1.875=3212kN·m(2)經(jīng)繼續(xù)試算表明，列車從左向右開行也只有上述一個臨界位置。3.比較上面求得的MC的兩個極值可知，圖4-26(d)所示荷載位置為最不利荷載位置。截面C的最大彎矩為MC(max)=MC(1)=3357.3kN·m（3）三角形影響線時臨界位置的判定對于常遇到的三角形影響線，臨界位置的判別式可用下面更簡單的形式表示。

63如圖4-27所示，設S影響線為一三角形。并設Fcr為臨界荷載，分別用FRa、FRb表示圖

4-27圖4-2864Fcr左方、右方的荷載的合力，則式(4-5)可寫為荷載左移：(FRa+Pcr)tanα-FRbtanβ>0荷載右移：FRatanα-(Pcr+FRb)tanβ<0由圖4-27可知，tanα=h/a，tanβ=h/b，代入上式，得（FRa+Pcr)/a>FRb/bFRa/a<Pcr+FRb)/b(4-6)

上式表明，臨界位置的特點是把臨界荷載Pcr算入哪一邊，則哪一邊的荷載平均集度就大。還應指出，有時臨界位置也可能在均布荷載跨過三角形影響線頂點時發(fā)生，如圖4-28所示。此時，判別極值的條件應為ΔS/Δx=ΣFRitanαi=0，即65FRa·h/a+FRb·(-h/b)=0可得FRa/a=FRb/b(4-7)上式表明：在臨界位置時，影響線頂點左、右兩邊的荷載“平均集度”應相等。對于直角三角形影響線，上述判別式均不適用。此時的最不利荷載位置，當荷載較簡單時，一般可由直觀判定。當荷載較復雜時，可按前述估計最不利荷載位置的原則，布置幾種荷載位置，直接算出相應的S值，而選取其中最大者，最大S值對應的荷載位置就是使量值S為最大值的最不利荷載位置。66例4-3圖4-29(a)所示跨度為40m的簡支梁，求在汽車-15級荷載作用下截面C的最大彎矩。解：首先作出MC的影響線如圖4-29(b)所示。