3.4.6一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題

行程問(wèn)題------環(huán)形跑道問(wèn)題隴川縣第五中學(xué)申光諾12運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是什么？1、審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系；2、設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示（例如x）；3、列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；4、解方程：求出未知數(shù)的值；5、檢驗(yàn)：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案。審設(shè)列解驗(yàn)6、答：把所求的答案答出來(lái)。答一、激發(fā)求知欲22024/5/14用一元一次方程分析和解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下:實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題已知量,未知量,等量關(guān)系一元一次方程方程的解解的合理性實(shí)際問(wèn)題答案抽象分析列出求出驗(yàn)證合理32024/5/14一、相遇問(wèn)題的基本題型1、同時(shí)出發(fā)（兩段）二、相遇問(wèn)題的等量關(guān)系2、不同時(shí)出發(fā)（三段）42024/5/14一、追及問(wèn)題的基本題型1、不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)二、追及問(wèn)題的等量關(guān)系2、同地點(diǎn)不同時(shí)出發(fā)1、追及時(shí)快者行駛的路程－慢者行駛的路程＝相距的路程2、追及時(shí)快者行駛的路程＝慢者行駛的路程或慢者所用時(shí)間=快者所用時(shí)間+多用時(shí)間52024/5/14二、展示目標(biāo)和任務(wù)62環(huán)形跑道問(wèn)題分類一、環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題二、環(huán)形跑道上的相遇問(wèn)題同向而行，雙方的速度不同（假設(shè)甲快，乙慢），甲追上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我們把這種問(wèn)題稱為環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題背向而行，在跑道的某處相遇，以相同的方式在跑道上多次與乙相遇。我們把這種問(wèn)題稱為環(huán)形跑道上的相遇問(wèn)題三、自主合作與交流72024/5/14環(huán)形跑道問(wèn)題——相遇問(wèn)題理論依據(jù)甲乙甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，背向而行（甲快，乙慢），當(dāng)甲與乙第一次相遇時(shí)，甲乙共同跑了一圈。由相遇問(wèn)題，我們有甲總路程+乙總路程=跑道周長(zhǎng)同樣，我們可以把他們相遇的地點(diǎn)作為起點(diǎn)來(lái)看，第二次相遇的時(shí)候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙總共跑了兩圈，有：甲總路程+乙總路程=跑道周長(zhǎng)*2……從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈，因此，相遇的次數(shù)就等于共同跑的圈數(shù)。甲總路程+乙總路程=跑道周長(zhǎng)*N82024/5/14環(huán)形跑道問(wèn)題——追及問(wèn)題理論依據(jù)甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行（甲快，乙慢），當(dāng)甲追上乙時(shí)，肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）甲乙這時(shí)，我們可以看做甲乙在同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行，當(dāng)甲再次追上乙時(shí)，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上時(shí)）……從而我們可以發(fā)現(xiàn)，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此，追上的次數(shù)就等于多跑的圈數(shù)。甲總路程-乙總路程=跑道周長(zhǎng)甲總路程-乙總路程=跑道周長(zhǎng)+1圈周長(zhǎng)甲總路程-乙總路程=跑道周長(zhǎng)*N92024/5/14例1、

運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道一圈長(zhǎng)400m，甲練習(xí)騎自行車，平均每分騎350m，乙練習(xí)跑步，平均每分250m．兩人從同一處同時(shí)反向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？102024/5/14分析：圓形跑道中的規(guī)律：

(第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝1圈的長(zhǎng)度(第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝2圈的長(zhǎng)度(第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝3圈的長(zhǎng)度……….

(第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝n圈的長(zhǎng)度解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘首次相遇，則依題意可得

350x+250x=400解得：x=答：經(jīng)過(guò)分鐘甲、乙相遇。112024/5/14變式1、

若兩人同時(shí)反向出發(fā)，且兩人相距100米。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩人首次相遇？1.相遇問(wèn)題——同時(shí)反向不同地.gsp變式2、

若兩人從同一處反向出發(fā)，且乙先跑1分鐘。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩人首次相遇？2.相遇問(wèn)題——同地反向慢先跑.gsp變式3、

若兩人從同一處反向出發(fā)，且甲先跑1分鐘。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩人首次相遇？3.相遇問(wèn)題——同地反向快先跑.gsp122024/5/14例2、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道一圈長(zhǎng)400m，甲練習(xí)騎自行車，平均每分騎350m，乙練習(xí)跑步，平均每分250m．兩人從同一處同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？追及問(wèn)題——同時(shí)同地同向.gsp132024/5/14分析：圓形跑道中的規(guī)律：

(第1次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝1圈的長(zhǎng)度(第2次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝2圈的長(zhǎng)度(第3次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝3圈的長(zhǎng)度……….

(第n次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝n圈的長(zhǎng)度解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘首次相遇，則依題意可得

350x-250x=400解得：x=4答：經(jīng)過(guò)4分鐘甲、乙相遇。142024/5/14變式1、

甲在后，乙在前，且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？1.追及問(wèn)題——同時(shí)同向不同地.gsp變式2、

甲在前，乙在后，且兩人相距100米。若兩人從同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？2追及問(wèn)題——同時(shí)同向不同地.gsp變式3、

兩人從同一處同向出發(fā)，若乙先跑1分鐘，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？3.追及問(wèn)題——同地反向慢先跑.gsp變式4、

兩人從同一處同向出發(fā)，若甲先跑1分鐘，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間首次相遇？4.追及問(wèn)題——同地反向快先跑.gsp152024/5/14找等量關(guān)系的方法：1.從題中的關(guān)鍵語(yǔ)句入手尋找等量關(guān)系。2.利用某些基本公式尋找等量關(guān)系。3.從變化的關(guān)系中尋找不變的量，進(jìn)而找到等量關(guān)系。4.還可以借助圖形、表格、線段圖等分析較復(fù)雜問(wèn)題中的等量關(guān)系。四、成果展示，教師點(diǎn)撥162024/5/14【例1】小王、叔叔在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？例題講解分析（1）反向相等關(guān)系：小王路程+叔叔路程=400叔叔小王172024/5/14【例1】小王、叔叔在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。（2）若兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間兩人首次相遇？例題講解分析（2）同向相等關(guān)系：小王路程+400=叔叔路程叔叔小王182024/5/141.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)形跑道的周長(zhǎng)是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。（1）他們從同一地點(diǎn)同時(shí)同向起跑，當(dāng)小明第三次追上爺爺?shù)臅r(shí)候，小明笑著對(duì)爺爺說(shuō)：爺爺，我都追上了你三次了，爺爺笑著說(shuō)：我知道我們跑了多長(zhǎng)時(shí)間了！聰明的你，知道從起跑的時(shí)候算起，到小明第三次追上爺爺后，一共用了多長(zhǎng)時(shí)間嗎？五、知識(shí)驗(yàn)證提升192024/5/14解：（1）設(shè)小明第三次追上爺爺時(shí)，總共用的時(shí)間為X分鐘300X-200X=400×3解得：X=12答：小明第三次追上爺爺，總共用的時(shí)間為12分鐘202024/5/141.小明和爺爺在學(xué)校環(huán)形跑道上晨練，環(huán)形跑道的周長(zhǎng)是400米，小明的速度是300米/分鐘,爺爺?shù)乃俣仁?00米/分鐘，有天，小明心里在想要和爺爺賽跑。（2）這次比賽后，小明疑惑的問(wèn)爺爺：爺爺，要是我們向相反的方向跑，沒(méi)有表，你能知道我們跑了多長(zhǎng)時(shí)間嗎？爺爺笑著說(shuō)：我們就按照平時(shí)跑的速度，只要我知道我們相遇的次數(shù)，我就知道我們能跑多少時(shí)間……你能幫小明解決這個(gè)疑惑么？212024/5/14（2）解：假設(shè)第三次相遇，設(shè)小明與爺爺?shù)谙嘤龅臅r(shí)間為X分鐘300X+200X=400×3解得：X=2.4答：小明和爺爺首次相遇，相遇時(shí)間為2.4分鐘當(dāng)然，我們也可以利用多次相遇公式甲總路程+乙總路程=跑道周長(zhǎng)*N來(lái)求相遇的時(shí)間。222024/5/14

2.運(yùn)動(dòng)場(chǎng)一圈為400米，張森和丁爍一同參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的長(zhǎng)跑比賽。已知丁爍然平均每分鐘跑230米，張森每分鐘跑150米。（1）若兩人從同一處同時(shí)同向起跑，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人可以首次相遇？（2）若兩人從同一處同向起跑，且張森先跑2分鐘。問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人可以首次相遇？（3）若兩人從同一處同時(shí)反向起跑，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人可以首次相遇？（4）若兩人從同一處反向起跑，且張森先跑2分鐘。問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人可以首次相遇？232024/5/142.小結(jié)：行程問(wèn)題包括相遇、追擊和飛行、航行的速度問(wèn)題其基本關(guān)系是：路程=時(shí)間×速度相遇問(wèn)題的等量關(guān)系：甲行距離+乙行距離=總路程

追擊問(wèn)題的等量關(guān)系：

1）同時(shí)不