山東省聊城市工業(yè)中學高三數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若是等差數(shù)列的前項和，且，則的值為

A.44

B.22

C.

D.88參考答案：A

故選A2.是兩個定點，點為平面內的動點，且（且），點的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為，設（且）則以下判斷正確的是（

）A．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)B．在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)D．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)參考答案：A略3.“”是“直線與直線互相垂直”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件參考答案：A【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．解析：若，則直線x+y=1和直線x﹣y=1互相垂直，是充分條件；若直線與直線互相垂直，則m取任意實數(shù)，不是必要條件；故選：A．【思路點撥】根據(jù)充分必要條件的定義結合直線垂直的性質，從而得到答案．

4.若集合，則“”是“”

（

）A．充要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C5.已知雙曲線＞0，＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于P、Q兩點，若P恰為線段F1Q的中點，且QF1⊥QF2，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A、B、C、D、參考答案：D略6.已知是雙曲線的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，與雙曲線交于點，且均在第一象限，當直線時，雙曲線的離心率為，若函數(shù)，則（）A．1

B．

C.2

D．參考答案：C7.（09年宜昌一中10月月考文）設為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（

）

A．若與所成的角相等，則

B．若則C．若

D．若參考答案：D8.已知正實數(shù)，滿足（），則下列一定成立的是（

）A． B． C． D．參考答案：D9.已知函數(shù)f（x）=x2（2x﹣2﹣x），則不等式f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（）A． B．（﹣∞，﹣1） C． D．（﹣1，+∞）參考答案：B【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）=x2（2x﹣2﹣x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）＜0可以轉化為2x+1＜﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）=x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）=（﹣x）2（2﹣x﹣2x）=﹣x2（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）=x2（2x﹣2﹣x），其導數(shù)f′（x）=x2（2x﹣2﹣x）+x2?ln2（2x+2﹣x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；不等式f（2x+1）+f（1）＜0?f（2x+1）＜﹣f（1）?f（2x+1）＜f（﹣1）?2x+1＜﹣1，解可得x＜﹣1；即f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）；故選：B．10.若設，則的展開式中的常數(shù)項是（

）A.－160 B.160 C.－20 D.20參考答案：A【解析】,所以展開式的通項為：，令，常數(shù)項是，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，則如圖中陰影部分表示的集合為________．參考答案：{2}∵A＝{1,2,3,4,5，…，10}，B＝{－3,2}，∴A∩B＝{2}．即陰影部分表示的集合為{2}．12.已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點，記直線AC、BC的斜率分別為，當最小時，雙曲線離心率為

參考答案：

【知識點】雙曲線的簡單性質．H6解析：設A（x1，y1），C（x2，y2），由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線的交點，∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵點A，C都在雙曲線上，∴﹣=1，﹣=1，兩式相減，可得：k1k2=＞0，對于=+ln|k1k2|，函數(shù)y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2時，y′＞0，0＜x＜2時，y′＜0，∴當x=2時，函數(shù)y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴當+ln（k1k2）最小時，k1k2==2，∴e==．故答案為：．【思路點撥】設A（x1，y1），C（x2，y2），由雙曲線的對稱性得B（﹣x1，﹣y1），從而得到k1k2=?=，再由構造法利用導數(shù)性質能求出雙曲線的離心率．13.若函數(shù),且,則的值為_

．參考答案：-114._____________參考答案：略15.一個圓錐與一個球的體積相等且圓錐的底面半徑是球半徑的2倍，若圓錐的高為1，則球的表面積為．參考答案：4π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】設出球的半徑，求出球的體積，利用圓錐與球的體積相等，圓錐的高為1，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：設球的半徑為：r，則球的體積為：．∵圓錐與球的體積相等，圓錐的高為1，∴=，∴r=1，∴球的表面積為：4πr2=4π．故答案為：4π．【點評】本題考查圓錐與球的表面積與體積，考查計算能力，比較基礎．16.（﹣）6的展開式中常數(shù)項為．參考答案：60【考點】二項式系數(shù)的性質．【分析】利用二項展開式的通項公式即可得出．【解答】解：（﹣）6的展開式中的通項公式：Tr+1==（﹣1）r26﹣r，令﹣6=0，解得r=4．∴（﹣）6的展開式中常數(shù)項==60．故答案為：60．【點評】本題考查了二項式定理的應用、組合數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．17.在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，則=．參考答案：﹣6【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)題意建立直角平面坐標系，得出△ABC是直角三角形，利用坐標表示向量、，求出?即可．【解答】解：如圖所示，△ABC中，A=30°，AB=3，，∴cos30°==，∴∠ABC=90°，∴BC=AC=；又，∴A（0，3），D（0，1），C（，0）；∴=（，﹣3），=（﹣，1），∴?=×（﹣）﹣3×1=﹣6．故答案為：﹣6．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分為14分)

的取值范圍.參考答案：19.

中，角所對的邊分別為，且.求；若為邊上靠近點的三等分點,求的長.參考答案：略20.已知函數(shù)f（x）=2ax+bx﹣1﹣2lnx（a∈R）．（1）當b=0時，討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）若對?α∈[1，3]，?x∈（0，+∞），f（x）≥2bx﹣3恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；（3）當x＞y＞e﹣1時，求證：exln（y+1）＞eyln（x+1）．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；3R：函數(shù)恒成立問題；6K：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）當b=0時，求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，即可求得f（x）單調區(qū)間；（2）將原不等式轉化成a+﹣≥，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，構造輔助函數(shù)，求導，求得函數(shù)的最小值，由a的取值范圍，即可求得實數(shù)b的取值范圍；（3）由題意可知：exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，構造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調性求得g（x）＞g（y），即可證明不等式成立．【解答】解：（1）當b=0時，f（x）=2ax﹣1﹣2lnx，求導f′（x）=2a﹣=，（x＞0），當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞減，當a＞0時，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，由f′（x）＞0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增，綜上可知：當a≤0時，（0，+∞）上單調遞減；當a＞0時，在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增，（2）由已知對?a∈[1，3]，f（x）≥2bx﹣3對，?x∈（0，+∞）恒成立，則2ax+bx﹣1﹣2lnx≥2bx﹣3，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，即a+﹣≥，對?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]恒成立，設g（x）=a+﹣，?x∈（0，+∞）?α∈[1，3]，求導g′（x）=﹣﹣=，則g（x）在（0，e2）單調遞減，在（e2，+∞）單調遞增，當x＞0時，g（x）min=g（e2）=a﹣，即≤a﹣，由a∈[1，3]，則≤1﹣，即a≤2﹣∴實數(shù)b的取值范圍（﹣∞，2﹣]；（3）證明：x＞y＞e﹣1，則x+1＞y+1＞e，∴l(xiāng)n（x+1）＞ln（y+1）＞1，欲證exln（y+1）＞eyln（x+1）．只需證＞，令g（x）=，x∈（e﹣1，+∞），求導g′（x）=，顯然函數(shù)h（x）=ln（x+1）﹣，在（e﹣1，+∞）上單調遞增，h（x）=1﹣＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（e﹣1，+∞）上單調遞增，∴x＞y＞e﹣1時，g（x）＞g（y），即＞，∴當x＞y＞e﹣1時，exln（y+1）＞eyln（x+1）．【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式恒成立，不等式的證明，考查分離參數(shù)的應用，屬于難題．21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在不單調，求實數(shù)的取值范圍；（3）判斷過點可作曲線多少條切線，并說明理由．參考答案：（1）∵，，∴，

∴

……1分

∵

∴∴

……2分

∴，顯然在附近符號不同，∴是函數(shù)的一個極值點

………3分∴

即為所求………4分（2）∵，，∴，

若函數(shù)在不單調，則應有二不等根

…………5分∴∴

……………7分

∴或………………8分（3）∵，∴，

∴，設切點，則縱坐標，又，

∴切線的斜率為，得……10分設，∴由0，得或，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴函數(shù)的極大值點為，極小值點為，∵∴函數(shù)有三個零點……………12分∴方程有三個實根∴過點可作曲線三條切線

……………13分

22.（13分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）試討論f（x）的單調性；（2）若b=c﹣a（實數(shù)c是與a無關的常數(shù)），當函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)零點的判定定理．【專題】綜合題；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可得出f（x）的單調性；（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的兩個極值為f（0）=b，f（﹣）=+b，則函數(shù)f（x）有三個不同的零點等價于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，進一步轉化為a＞0時，﹣a+c＞0或a＜0時，﹣a+c＜0．設g（a）=﹣a+c，利用條件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a(chǎn)=0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；a＞0時，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上單調遞增，在（﹣，0）上單調遞減；a＜0時，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上單調遞增，在（0，﹣）上單調遞減；（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的兩個極值為f（0）=b，f（﹣）=+b，則函數(shù)f（x）有三個不同的零點等價于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0時，﹣a+c＞0或a＜0時，﹣a+c＜0．設g（a）=﹣a+c，∵函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，a的取