波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程

波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程

主要內(nèi)容：1.波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋2.薛定諤方程3.定態(tài)波薛定諤方程4.一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子*5.一維有限勢(shì)壘——隧道效應(yīng)*6.一維諧振子波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋微觀粒子具有波動(dòng)性用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子狀態(tài)1925年薛定諤例如自由粒子沿

x

軸正方向運(yùn)動(dòng)，由于其能量（E）、動(dòng)量(p

)為常量，所以v、

不隨時(shí)間變化，其物質(zhì)波是單色平面波，因而用類(lèi)比的方法可確定其波函數(shù).類(lèi)比亦可寫(xiě)成（實(shí)部）自由粒子的物質(zhì)波波函數(shù)為

物質(zhì)波波函數(shù)的物理意義x電子束——t

時(shí)刻，粒子在空間

r

處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度.

時(shí)刻

t,粒子在空間

r

處

dV體積內(nèi)出現(xiàn)的概率.

歸一化條件

(粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1).

波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)（標(biāo)準(zhǔn)條件）.概率密度在任一處都是唯一、有限的,并在整個(gè)空間內(nèi)連續(xù).單個(gè)粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣薛定諤方程

(1926年)描述低速情況下，微觀粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微分方程.該方程是質(zhì)量為m

,勢(shì)能為V(r,t)的粒子的薛定諤方程.

說(shuō)明薛定諤方程是量子力學(xué)的基本定律，它不可能由更基本的原理經(jīng)過(guò)邏輯推理得到。下面通過(guò)對(duì)自由粒子物質(zhì)波波函數(shù)微分得到相應(yīng)的自由粒子應(yīng)滿足的薛定諤方程.沿x

軸正方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子沿方向自由運(yùn)動(dòng)的粒子，其中E是自由粒子的能量，即自由粒子滿足的薛定諤方程

算符

如則:若則:算符:代表某種數(shù)學(xué)運(yùn)算.算符運(yùn)算：（1）相等（2）和與差（3）乘積例則:則:在量子力學(xué)中,每一個(gè)力學(xué)量都有對(duì)應(yīng)的算符.能量算符動(dòng)量算符（拉普拉斯算符）哈密頓算符用算符表示薛定諤方程，有粒子在穩(wěn)定力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)V(

r

)

、能量E不隨時(shí)間變化，粒子處于定態(tài)，對(duì)應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)可寫(xiě)為定態(tài)薛定諤方程代入薛定諤方程，有粒子的能量（定態(tài)波函數(shù)）定態(tài)薛定諤方程通過(guò)定態(tài)薛定諤方程求解粒子能量E和定態(tài)波函數(shù)

(r)

。

說(shuō)明

定態(tài)時(shí)，概率密度在空間上的分布穩(wěn)定

一維定態(tài)薛定諤方程（粒子在一維空間運(yùn)動(dòng))波函數(shù)在x=0

處連續(xù)，有解為x0