第第#頁(yè)(共15頁(yè))m(EE)0另外顯然fnx在E En上點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x)所以fnx在E上a.e.收斂于f(x).注:葉果洛夫定理中條件mE不可少.1x(0,n]例fn(x) 在R上處處收斂于f(x)=1,但fnx不幾乎一致收斂于n0x(n,)nf(x)于R.幾乎一致收斂:去掉某個(gè)小(任意小)測(cè)度集，在留下的集合上一致收斂0,可測(cè)子集0,可測(cè)子集eE,me0,N0,nN,xEe,|fn(x)f(x)|不幾乎一致收斂：去掉任意小(適當(dāng)小)測(cè)度集，在留下的集合上任不一致收斂0,任意可測(cè)子集eE,me0,N0,nN,xEe,|fn(x)f(x)|1,0,任意可測(cè)子集eE,me0,N0,nN,xEe,|fn(x)f(x)|1,任意可測(cè)子集2eR,me1,N0,nN2N,(Re)(n,n1),使得|fn(x)f(x)|1注：葉果洛夫定理中的結(jié)論me不能加強(qiáng)到me0.設(shè)f設(shè)fnxxn,x0,1,則fnx處處收斂于f(x)=0，但fnx不一致收斂于f(x)，e仍然以1為聚點(diǎn)從而可找到Ee即使去掉任意一零測(cè)度集，在留下的集合上 fne仍然以1為聚點(diǎn)從而可找到Ee說(shuō)明：去掉任意一個(gè)零測(cè)度集e，留下的集合0,1中一點(diǎn)列x中一點(diǎn)列xn,使得(xn)n收斂到1，故：1,N0,nNN,xnEe,有2n|fn(xn)f(x)|(xn)n從而Ee上fnx不一致收斂于f(x).作業(yè)：P9971葉果洛夫定理的條件“mE練習(xí)題1葉果洛夫定理的條件“mE練習(xí)題是否可以取消？2葉果洛夫定理的結(jié)論能否改為eE,me0，使fnx在Ee上一致收斂于f(x)”？3葉果洛夫定理的逆定理是否成立？§3可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造教學(xué)目的本節(jié)將考察歐氏空間上的可測(cè)函數(shù)和連續(xù)函數(shù)關(guān)系.本節(jié)將證明重要的Lusin定理,它表明Lebesgue可測(cè)函數(shù)可以用性質(zhì)較好連續(xù)函數(shù)逼近 .這個(gè)結(jié)果在有些情況下是很有用的.本節(jié)要點(diǎn)一方面,L可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)是可測(cè)的,另一方面,Lusin定理表明，Lebesgue可測(cè)函數(shù)可以用連續(xù)函數(shù)逼近.Lusin定理有兩個(gè)等價(jià)形式.另外,作為準(zhǔn)備定理Tietze擴(kuò)張定理本身也是一個(gè)很有用的結(jié)果.本節(jié)難點(diǎn)Lusin定理的證明.授課時(shí)數(shù)3學(xué)時(shí)可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測(cè)函數(shù)，但可測(cè)函數(shù)不一定連續(xù).本節(jié)討論可測(cè)函數(shù)和連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，從而揭示可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu).我們已經(jīng)知道可測(cè)函數(shù)Dirichlit函數(shù)在[0,1]上處處間斷，這是否意味著這樣的函數(shù)與連續(xù)不沾邊呢？否！事實(shí)上，它是在充分接近于定義域的范圍內(nèi)相對(duì)連續(xù)的。這就是著名的魯津(луз)и定н理魯津(луз)и定н理：設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則0,閉集FE使得mEF0,閉集FE使得mEF且f下的集合上成為連續(xù)函數(shù))即：可測(cè)函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù).證明：由于mE|f|0，故不妨令(1)當(dāng)f(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，令nf(x) ciEi(x)(其中Ei1x在F上連續(xù).(去掉一小測(cè)度集，在留f(x)為有限函數(shù)nEi,Ei可測(cè)且兩兩不交)0,對(duì)每個(gè)Ei，作Ei中的閉子集Fi，使m(EiFi) (i1,2,L,n)n當(dāng)xEi時(shí)，f(x)ci，所以f(x)在0,對(duì)每個(gè)Ei，作Ei中的閉子集Fi，使m(EiFi) (i1,2,L,n)n當(dāng)xEi時(shí)，f(x)ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，n而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在F Fi上連續(xù)i1顯然F為閉集，且有nnm(EF) m(EiFi)i1i1n(2)當(dāng)f(x)為有界可測(cè)函數(shù)時(shí)，存在簡(jiǎn)單函數(shù)列 n(x)在E上一致收斂于f(x)，利用(1)的結(jié)果知0,及每個(gè)n(x)，存在閉集FnE，使m(EFn)2n且n(x)在Fn上連續(xù).令F Fn，則FE且n1m(EF)m(E1Fn)n12n由n(x)在F連續(xù)及一致收斂于f，易知fx在閉集F上連續(xù).(3)當(dāng)f(x)為一般可測(cè)函數(shù)時(shí)，作變換g(x)f(x)1|f(x)|(f(x)g(x))1|g(x)|)則g(x)為有界可測(cè)函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果.注：對(duì)f(x)在F連續(xù)的說(shuō)明：若f(x)在Fi上連續(xù)，而證明：任取xFFi若f(x)在Fi上連續(xù)，而證明：任取xFi1nFi則存在i0，使得xFi0，f(x)ci0，i1

又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集(Fi)c中ii0所以存在 0,使得O(x,)(iiFi)cii0從而nO(x,)FO(x,)(i1Fi)O(x,)Fi0故對(duì)任意xO(x,)IF，有|f(x')f(x)|0，故f連續(xù)條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：D(x)1xQD(x)1xQ0xRQR上處處不連續(xù)R上處處不連續(xù)說(shuō)明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，從而可取xFi足夠小的鄰域不含其他Fi中的點(diǎn).注魯津定理推論：若f(x)為ER上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則0,閉集FE，及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)使得在F上g(x)f(x)且m(EF) (對(duì)n維空間也成立)(在某個(gè)小測(cè)度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù))魯津定理(限制定義域)(即：去掉某個(gè)小測(cè)度集，在留下的集合上連續(xù))魯津定理的第二形式：若f(x)在E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì) 0，存在閉集FE及整個(gè)直線上的連續(xù)函數(shù)g(x)(F及g(x)依賴于)使在F上g(x)f(x)，且m(EF)證明略其實(shí)，以上兩定理結(jié)果也是可測(cè)函數(shù)的本質(zhì)特征，即具有上述結(jié)果的函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)，證明留作習(xí)題?？蓽y(cè)函數(shù)在一個(gè)充分接近定義域的閉集上連續(xù)這一本質(zhì)特征明示我們：盡管可測(cè)函數(shù)的范圍比連續(xù)函數(shù)的范圍廣得多，但通過(guò)牛頓——萊布尼茲公式計(jì)算積分仍為主渠道。作業(yè)：P998練習(xí)題

1魯津定理結(jié)論中的能否取為1魯津定理結(jié)論中的能否取為0，即結(jié)論是否能表述為閉集FE，使m(EF)0，且f在F上連續(xù).”？2當(dāng)mE時(shí)魯津定理是否依然成立？3魯津定理的逆定理是否成立？魯津定理能否改為：“f為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則 0，存在閉集FE，使m(EF)，且f在F上可表為多項(xiàng)式”？4試作E[0,1]上的可測(cè)函數(shù)f(x)，使對(duì)任何連續(xù)函數(shù)g(x)都有mE[fg]0，此結(jié)果與魯津定理有無(wú)矛盾？§4依測(cè)度收斂教學(xué)目的可測(cè)函數(shù)列可以定義各種收斂性.本節(jié)討論幾乎處處收斂,依測(cè)度收斂和幾乎一致收斂.幾種收斂性之間存在一些蘊(yùn)涵關(guān)系.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),可以使學(xué)生對(duì)可測(cè)函數(shù)列的幾種收斂性和相互關(guān)系有一個(gè)較全面的了解.教學(xué)要點(diǎn)本節(jié)引進(jìn)的幾種收斂是伴隨測(cè)度的建立而產(chǎn)生的新的收斂性.特別是依測(cè)度收斂是一種全新的收斂,與熟知的處處收斂有很大的差異.Egorov定理和Riesz定理等揭示了這幾種收斂之間的關(guān)系.Riesz定理在幾乎處處收斂和較難處理的依測(cè)度收斂之間架起了一座橋梁.本節(jié)難點(diǎn)依測(cè)度收斂的概念及各種收斂之間的關(guān)系.授課時(shí)數(shù)4學(xué)時(shí)改造積分定義的目的一是為了擴(kuò)展可積范圍，二是為了使得操作更方便。對(duì) (R)積分而言，積分與極限交換順序需要驗(yàn)證一個(gè)較為苛刻的條件：“ fn(x)在E上一致收斂于f(x)”，將“一致收斂”削弱為“處處收斂”甚至“幾乎處處收斂”是一種思路，在此介紹另一種削弱“一致收斂”條件的方法。從集合論的角度講：“fn(x)在E上一致收斂于f(x)”是指 0，N00，當(dāng)nN0時(shí)，E|fn(x)f(x)|，之所以我們認(rèn)為“一致收斂”條件苛刻，就在于它要求E|fn(x)f(x)|從某項(xiàng)以后永遠(yuǎn)為空集。能否改成允許不空，甚至允許為正測(cè)度集，但必須滿足mE|fn(x)f(x)|0(n)呢？這就導(dǎo)致了一個(gè)新的收斂概念的產(chǎn)生.一、依測(cè)度收斂

1定義：{fn(x)}是ERq上的一列a.e.有限的可測(cè)函數(shù).若有E上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)f(x)滿足下列關(guān)系：對(duì) 0,有l(wèi)immE[|fnf|]0，則稱函數(shù)列{fn(x)}依測(cè)度收斂于f(x).度量收斂到f(x)，記為：fnf.(N)語(yǔ)言：,0,N(,)0,當(dāng)nN(,)時(shí)，mE[|fnf|].2．測(cè)度收斂的性質(zhì)(唯一性和四則運(yùn)算)定理1令mE ，fn f于E，gn g于E，則(1)若又有fnh于E,則f(x)h(x)a.e.于E.(2)fngn fg于E(3)fngn fg于E(4)|fn||f|于E對(duì)(3)來(lái)說(shuō)不可少注：(1),(2),(4)當(dāng)mE 時(shí),對(duì)(3)來(lái)說(shuō)不可少3．依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系依測(cè)度收斂與處處收斂或幾乎處處收斂的概念是有很大區(qū)別的例1依測(cè)度收斂，但處處不收斂的函數(shù)列.fn(x)f2ki(x)ii1(x)處處不收斂2i (2k,2k]但子列fnk(x)f2k1(x) 1(x)處處收斂于f(x)0,k21 (0,2k]例2不依測(cè)度測(cè)度收斂但收斂的函數(shù)列：fn(x)1x(0,n]0x(n,)n1,2,3L盡管兩種收斂區(qū)別很大，密切聯(lián)系的.一種收斂不能包含另一種收斂，但下面定理反映出他們還是有定理2(Riesz)若fnfn(x)1x(0,n]0x(n,)n1,2,3L盡管兩種收斂區(qū)別很大，密切聯(lián)系的.一種收斂不能包含另一種收斂，但下面定理反映出他們還是有定理2(Riesz)若fnf于E,則必有{fn}的子列{fnk}，使得fnkfa.e.于E證明：由fnf于E,可知k,Nk0,nNk,mE[|fnf|21k]12k1從而可取得n1n2LL，使得mE[|fnkf|121k] 2k1(k1,2,3,L)故對(duì)0，當(dāng)21N從而可取得n1n2LL，使得mE[|fnkf|121k] 2k1(k1,2,3,L)故對(duì)0，當(dāng)21N時(shí),有從而故fnkm(kNE[|fnkf|])m(EkN[|fnkf|1])2k] km(E[|fnkf|21k])11k1NN2k1 2Nfa.e.于E注：其實(shí)從證明中的定理3(Lebesgue)Nlimm(kNE[|fnkf|])(*)式我們可看出nk(*)fa.u.于E.mEf在E上幾乎處處有限且可測(cè)，若fa.e.于E，則fnf于E二、函數(shù)列幾種收斂之間的關(guān)系先歸納一下幾種收斂的定義.1．函數(shù)列的幾種收斂定義⑴點(diǎn)點(diǎn)收斂:記作fn f于ExE,0,Nx0,nNx,有|fn(x)f(x)|⑵一致收斂:0,N0,nN,xE,有|fn(x)f(x)|注：近似地說(shuō)一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個(gè)控制.近似地說(shuō)一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個(gè)控制例：函數(shù)列fn(x)xn,n1,2,L在(0,1)上處處收斂到f(x)0,但不一致收斂，但去掉一小測(cè)度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂⑶幾乎處處收斂:記作fnfa.e.于E(almosteverywhere)即：去掉某個(gè)零測(cè)度集，在留下的集合上處處收斂⑷幾乎一致收斂:記作fn fa.u.于E(almostuniformly)即：去掉某個(gè)小(任意小)測(cè)度集，在留下的集合上一致收斂.0,存在可測(cè)子集eE,me,使得fn在E Ee上一致收斂于f0,存在可測(cè)子集e