第八章立體幾何專題訓練（四）—直線與平面所成的角一．單選題1．直三棱柱的棱長都是2，則與平面所成角的正弦值A． B． C． D．2．如圖，在正三棱柱中，，，點是側棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．3．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結論中錯誤的是A． B．平面平面 C．和與平面所成的角相等 D．異面直線與所成的角和異面直線與所成的角相等4．在正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側面所成角的大小為A． B． C． D．5．已知正方體的體積為，點在面上，且，到的距離分別為2，，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．6．在菱形中，，為的中點，將沿折起，使到達的位置，且，則與平面所成角的正切值為A． B． C． D．7．平面四邊形中，，，且，現(xiàn)將沿對角線翻折成△，則在△折起至轉到平面的過程中，直線與平面所成最大角的正切值為A．2 B． C． D．8．已知菱形中，，與相交于點，將沿折起，使頂點至點，在折起的過程中，下列結論正確的是①；②存在一個位置，使為等邊三角形；③與不可能垂直；④直線與平面所成的角的最大值為．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．多選題9．已知正方體中，為線段上的一個動點可以與端點、重合），則下列結論中正確的是A． B．平面 C．與平面所成角的最小值為，則 D．三棱錐的體積為定值10．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點，在線段上，則下面說法中正確的有A．平面 B．若是上的中點，則 C．直線與平面所成角的正弦值為 D．直線與直線所成角最小時，線段長為11．如圖，在三棱柱中，底面，，，，是的中點，、分別為、△所在平面上的點，且，則下列結論正確的是A． B．直線與底面所成的角為 C．異面直線與所成角的最大值為 D．三棱錐的外接球的體積為12．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②．則下列結論正確的是A．經(jīng)過三個頂點，，的球的截面圓的面積為 B．異面直線與所成的角的余弦值為 C．直線與平面所成的角為 D．球離球托底面的最小距離為三．填空題13．在正方體中，為棱的中點，則與底面所成角的正弦值為．14．在正三棱錐中，側棱長為3，底面邊長為2，則點到平面的距離為；與面所成角的余弦值為．15．日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球（球心記為，地球上一點的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點處的水平面是指過點且與垂直的平面．在點處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點處的緯度為北緯，則晷針與點處的水平面所成角的大小為．16．已知三棱錐的各棱長均相等，點在棱上，且，動點在棱上，設直線與平面所成角為，則的最大值是．四．解答題17．已知梯形如圖1所示，其中，，，四邊形是邊長為1的正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖2所示的幾何體．（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離；（3）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度．18．已知在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，，，為棱上一點，且．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19．如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，，，，平面平面．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求直線與平面成角的正弦值．20．在直角梯形中，，，，，為線段中點．將沿折起，使平面平面，得到幾何體．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

第八章立體幾何專題訓練（四）—直線與平面所成的角答案1．解：取的中點，連接，，由題意知，△為等邊三角形，，由直三棱柱的性質知，平面平面，又平面平面，平面，為與平面所成角，在△中，，，．故選：．2．解：平面，與平面所成角為，，，，而平面平面，設直線與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為：．故選：．3．解：四棱錐的底面為正方形，底面，對于，由題意得，，，、平面，平面，平面，，故正確；對于，由題意知，，，，平面，平面，平面，平面平面，故正確；對于，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設，，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，設平面的法向量，，，則，取，得，，，設和與平面所成的角分別為，，則，，和與平面所成的角相等，故正確；對于，由得，1，，，1，，，，，，0，，，，異面直線與所成的角和異面直線與所成的角不相等，故錯誤．故選：．4．解：取的中點，連接，，正三棱柱中，面，就是與側面所成的角，，，，．與側面所成角的大小為．故選：．5．解：設正方體的棱長為，則，故，即，，連接，，，則點在上且為中點，連接與交于，連接，可知平面，則為直線與平面所成角，在直角三角形中，．故選：．6．解：不妨設，連結，，因為，，為的中點，所以，，又，，平面，所以平面，因為，所以且，所以△為等邊三角形，設的中點為，連結，，則，因為平面，平面，所以，又，，平面，則平面，所以即為直線與平面所成的角，因為，，所以，則．故選：．7．解：取的中點，連結，，如圖所示，由題意可知，，因為，所以，，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因此點在平面內的射影在直線上，即為直線與平面所成的角，因為，，且，所以，，由正弦定理可得，，故的最大值為，所以直線與平面所成最大角的正切值為．故選：．8．解：取的中點，連結．，如圖所示，對于，因為，，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故選項正確；對于，由題意可知，，故三棱錐是正四面體時，為等邊三角形，故選項正確；對于，三棱錐是正四面體時，與垂直，故選項錯誤；對于，在平面與底面垂直時，直線與平面所成角的最大值為，故選項正確．故選：．9．解：由正方體的性質可知平面，平面，，故正確；因平面平面，平面，所以平面，故正確：設正方體的校長為，則到平面的距離為，最長為，所以最小值滿足，所以錯誤；因，平面，所以到平面的距離不變，這樣三棱錐的體積不變，所以正確．故選：．10．解：以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，由題意可得，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，1，，設，，，故，直三棱柱中，，所以為平面的一個法向量，是平面的一個法向量，對于，，所以，即，又平面，所以，故選項正確；對于，若是上的中點，則，所以，所以與不垂直，故選項錯誤；對于，因為是平面的一個法向量，，設直線與平面所成的角為，則，故選項正確；對于，設，故，所以，所以，故當，即時，取得最大值，即直線與直線所成的角最小，此時，所以，故選項正確．故選：．11．對于選項，作底面，為垂足，則是的中點，，在中，，，，由勾股定理知，，即選項正確；對于選項，考慮到，設為底面上的一點，且使，則在以為圓心，為半徑的圓上運動，當在上，且位于和之間時，由及，可得，，，與底面所成的角為，即選項正確；對于選項，當在上，且位于和之間時，最大，且為，與所成角的最大值為，即選項錯誤；對于選項，，三棱錐外接球的球心為，半徑為，體積，即選項正確．故選：．12．解：設球的半徑為，因為球的體積為，所以，解得，對于，經(jīng)過三個頂點，，的球的截面圓，即是與△全等的三角形的外接圓，其半徑為，則其面積為，所以錯；對于，作輔助線如圖②，，，所以為與成角，，、分別為、邊中點，所以，所以，所以對；對于，如圖②，平面，所以為在平面內射影，于是即為直線與平面所成的角，大小為，所以對；對于，如圖③，，，，所以球離球托底面的最小距離為，所以對．故選：．13．解：如圖，取的中點，連接，，可知底面，所以與底面所成角為，設，則，，所以．故答案為：．14．解：在正三棱錐中，設頂點在底面上的射影為，則平面，且為底面的中心，連結并延長，與交于點，則為的中點，因為底面邊長為2，所以，故，又側棱長，所以，故點到平面的距離為；以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設平面的法向量為，則有，令，則，故，則，所以與面所成角的正弦值為，故與面所成角的余弦值為．故答案為：；．15．解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線．是點處的水平面的截線，由題意可得，是晷針所在直線．是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故答案為：．16．解：設棱長為，，由余弦定理得．則正四面體的高，設到平面的距離為，則，，，時，的最大值為．故答案為：．17．（1）證明：平面平面，平面，平面平面，，平面，平面，，四邊形是正方形，，、平面，，平面平面，平面平面（3分）（2）解：過點作于點，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，所以線段的長即為點到平面的距離，在中，，由等積變換，得，即點到平面的距離為．（說明本題也可以用等體積變換求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如圖，設平面的法向量，，0，，，0，，，1，，，，令，則，則，設，，，，則解得或（舍（10分）故，（12分）18．（1）證明：在矩形中，，，，，即，平面，平面，，又，、平面，平面，平面，平面平面．（2）解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，，，，，，，，設，，，則，0，，，0，，，，，，，，設平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，，，直線與平面所成的角為，，即，化簡得，解得，，，，．19．解：（Ⅰ）證明：設點，分別是，的中點，連接，，，則，且，，且，四邊形是平行四邊形，，，是中點，，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）得平面，四邊形是邊長為2的等邊三角形，，，以為坐標原點，向量，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，0，，，，，，，，，0，，設，0，，，則，，設，，是平面的一個法向量，則，取，得，，設