考研數(shù)學(xué)假期作業(yè)數(shù)一專場多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用與傅里葉級數(shù)（必做15題，附詳解）1.求曲線在點處的切線及法平面方程.2.求曲線在點處的切線及法平面方程.3.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程.4.求曲面與平面平行的切平面方程.5.求函數(shù)在點沿從點到點的方向的方向?qū)?shù).6.求函數(shù)在點處沿指向點方向的方向?qū)?shù).7.求.8.設(shè)，在處函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)最大，并求此最大值.9.設(shè)則其以為周期的傅立葉級數(shù)在點處收斂于。10.設(shè)，其中，則等于（C）（A）（B）(C)(D)11.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).12.將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)13.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為f(x)x將f(x)展開成傅里葉級數(shù)14.將函數(shù)f(x)x1(0x)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)15.設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)它在[22)上的表達式為(常數(shù)k0)將f(x)展開成傅里葉級數(shù)考研數(shù)學(xué)假期作業(yè)數(shù)一專場多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用與傅里葉級數(shù)（必做15題，附詳解）1.求曲線在點處的切線及法平面方程.分析先求切點處對應(yīng)的參數(shù)，從而求出切向量，再寫出切線及法平面方程解因為而點(111)所對應(yīng)的參數(shù)所以于是切線方程為法平面方程為即2.求曲線在點處的切線及法平面方程.分析求切向量，從而寫出切線及法平面方程解將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得解方程組得.在點(1-21)處從而T=(10-1).所求切線方程為法平面方程為(x-1)+0(y+2)-(z-1)=0即x-z=0.3.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程.分析寫出的表達式，求出法向量，從而寫出切平面及法線方程解，n==所以在點處的切平面方程為即法線方程為.4.求曲面與平面平行的切平面方程.分析利用切平面的法向量與已知平面的法向量平行及曲面方程得到切點及法向量，從而得到切平面方程解曲面的切平面的法向量為，平面的法向量為，切平面的法向量與已知平面的法向量平行即所以切點為所求切平面方程為5.求函數(shù)在點沿從點到點的方向的方向?qū)?shù).分析求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦代入方向?qū)?shù)公式解這里方向l即向量的方向與l同向的單位向量為.因為函數(shù)可微分且所以所求方向?qū)?shù)為.6.求函數(shù)在點處沿指向點方向的方向?qū)?shù).分析求出偏導(dǎo)數(shù)及方向余弦代入方向?qū)?shù)公式解方向l即向量，，7.求.分析求出兩個偏導(dǎo)數(shù)代入梯度公式即得所求梯度解這里.因為所以.8.設(shè)，在處函數(shù)沿什么方向的方向?qū)?shù)最大，并求此最大值.分析梯度的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向梯度的模就等于方向?qū)?shù)的最大值解，函數(shù)沿方向的方向?qū)?shù)最大，最大值為9.設(shè)則其以為周期的傅立葉級數(shù)在點處收斂于。分析：由狄利克雷定理知，函數(shù)在區(qū)間上的傅立葉級數(shù)，在處，其和函數(shù)的值。所以10.設(shè)，其中，則等于（C）（A）（B）(C)(D)解：，其中是函數(shù)在半?yún)^(qū)間上的余弦級數(shù)展開式，展開式的周期為2，且和函數(shù)（）為偶函數(shù)，故。又點是函數(shù)的間斷點，由狄利克雷定理知。故11.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù).分析利用將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的方法直接展開解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點處不連續(xù)因此f(x)的傅里葉級數(shù)在x(2k1)處收斂于在連續(xù)點x(x(2k1))處級數(shù)收斂于f(x)傅里葉系數(shù)計算如下(n12)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(xx3)12.將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)12.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為f(x)x將f(x)展開成傅里葉級數(shù)分析直接展開解首先所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點x(2k1)(k012)不連續(xù)因此f(x)的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點x(2k1)收斂于f(x)在點x(2k1)(k012)收斂于其次若不計x(2k1)(k012)則f(x)是周期為2的奇函數(shù)于是an0(n012)而(n123)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(xx3)13.將函數(shù)f(x)x1(0x)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)分析分別進行奇偶延拓再展開解先求正弦級數(shù)為此對函數(shù)f(x)進行奇延拓函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為(0x)在端點x0及x處級數(shù)的和顯然為零它不代表原來函數(shù)f(x)的值再求余弦級數(shù)為此對f(x)進