4.4.2對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

［目標］1.會利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個對數(shù)的大小或解對數(shù)

不等式；2.會求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的最大（?。┲祷蛑涤?；3.能綜合

應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題.

［重點］對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.

［難點］對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

知識點一對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

［填一填］

1.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：當。>1時，y=log〃%為增函數(shù),當0<。<1

時，為減函數(shù).

2.對于y=loga%,若?！?,當%>1時，y>0,當0<%<1時，y<0；

若0<Q<1,當0a<1時,y>0,當x>l時,y<0.

［答一答］

1.若?！?,且m>n>0,則log即與logan的大小關(guān)系是log/z〉log?〃.

若且m>n>0,則log/i與logflz2的大小關(guān)系是lo.znvlog/.

2.若a>l,且logam>logan,則機與〃的大小關(guān)系是m>n；

若0<。<1,且logam>logan,則m與n的大小關(guān)系是m<n.

知識點二復合函數(shù)的單調(diào)性

［填一填］

復合函數(shù)y=log猶%）,的單調(diào)性：設(shè)集合AfCD,若a〉l,且

〃=*%）在％上單調(diào)遞增（減），則集合M對應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)尸log次工）

的增（減）區(qū)間；若且〃=/（%）在上單調(diào)遞增（減），則集合

M對應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)y=log/；%）的減（增）區(qū)間.

［答一答］

3.危）=log3（X+5）的單調(diào)區(qū)間是否只有一個？是否就是y=x+5

的單調(diào)區(qū)間？

提示：是只有1個，但不是y=%+5的單調(diào)增區(qū)間（-8,十8）,

而是（一5,+°°）.

知識點三反函數(shù)

［填一填］

函數(shù)y=loga%（a〉0,且aWl）與y=a*（a〉O,且aWl）互為反函數(shù)，

其圖象關(guān)于直線y=x對稱.

［答一答］

4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)有哪些主要的相同點？兩種函數(shù)之間有哪

些關(guān)系？

提示：（1）底數(shù)的范圍相同；（2）a>l時同為增函數(shù)，時同為

減函數(shù)；（3）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=%對稱；（4）指數(shù)函數(shù)的定義

域是對數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域是對數(shù)函數(shù)的定義域.

類型一比較大小

［例1］比較下列各組值的大小.

34

（l）log5Z與log5§;（2）logl2與logl2；

（3）log23與log54.

34

［解］⑴法一：對數(shù)函數(shù)y=log5%在（0,+8）上是增函數(shù)，而不可，

34

.,.Iog54<log53-

_3434

法二：二log5Z<0,log5g>0,log5a<log5§.

(2)作y=log］_x與y=log］_X的圖象，如圖，再作直線x=2與兩圖

'3'5

象分別交于A,B兩點、,則4(2,logl2),B(2,logl2),5點在A點上

35

方，.'.log!2<logX2.

35

(3)取中間值1,

Vlog23>log22=1=log55>log54,

/.log23>log54.

對數(shù)式比較大小的三種類型和求解方法

(1)底數(shù)相同時，利用單調(diào)性比較大小.

(2)底數(shù)與真數(shù)均不相同時，借助于?；?比較大小.

(3)真數(shù)相同時，可利用換底公式換成同底，再比較大小，但要注

意對數(shù)值的正負.

［變式訓練1］設(shè)。=log36,z?=log510,C=log714,則(D)

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

解析：由對數(shù)運算法則得Q=log36=l+log32,Z?=l+log52,C=1

+log72,由對數(shù)函數(shù)圖象得Iog32>log52>log72,所以a泌〉c,故選D.

類型二解對數(shù)不等式

2

［例2］⑴若log虧<l(a>0,且"1),求實數(shù)。的取值范圍.

(2)已知logo,7(2x)<logo,7(x—1),求％的取值范圍.

［分析］對于變?yōu)閘ogaa討論單調(diào)性；對于(2)直接根據(jù)單調(diào)

性列不等式組求解.

22

［解］⑴logag<1,即log虧<log〃a.

當a>l時，函數(shù)y=loga］在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

2,.

所以loga^<logfla總成立；

當O<G<1時，函數(shù)y=loga%在定義域內(nèi)是減函數(shù)，

222

由10g〃5<10g“Q,得。<亍即0<。<亍

所以實數(shù)。的取值范圍為|o,1］u（l,+°°）.

（2）,.,函數(shù)y=logo.7%在（0,+8）上為減函數(shù)，

由logo,7（2x）<logo,7（X—1）,

‘2%>0,

得解得x〉l.

、2x〉人—1,

...%的取值范圍為（1,+°°）.

解對數(shù)不等式時，要防止定義域擴大，應(yīng)在解的過程中加上限制

條件，使定義域保持不變，即進行同解變形.若非同解變形，最后一定

要檢驗.

3

［變式訓練2］若一l<log〃a<l（a〉0，且aWl）,求實數(shù)。的取值范

圍.

3

解：,.?一l<log也<1,

13

.*.logfl-<logfl4<log?a.

134

當a>l時，~<7<a,貝Ia〉］；

a43

133

當0<。<1時，一〉彳〉。，則0<a<7.

a44

故實數(shù)a的取值范圍是（0,T］U及，+8）.

類型三對數(shù)復合型函數(shù)的值域

［例3］求下列函數(shù)的值域:

（l）y=logj_（―x2+2x+3）；

2

(2)y=log3及)-2,［—3,—1］.

［分析］先求出真數(shù)的范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求原函數(shù)的

值域.

［解］(1)設(shè)u=——(%—1)2+4<4,

,.,y=logj_〃在(0,+8)上是減函數(shù)，

2

(―x2+2x+3)^logl4=—2.

22

函數(shù)的值域為［—2,+°°).

(2)設(shè)"=及｝-2,3,-1］.

...3W［|)W27,即1WMW25.

?函數(shù)y=log3"在(0,+8)上是增函數(shù)，

.,.0<log3及｝-2<log325.

...原函數(shù)的值域為［0,log325］.

1.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的值域：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函

數(shù)的值域，一方面，要抓住對數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間

變量的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求其值域(多采用換元法).

2.對于形如y=log/%)僅>。，且aWl)的復合函數(shù)的值域的求解的

步驟：①分解成y=log〃"，"=八%)兩個函數(shù)；②求_/(%)的定義域；③求

〃的取值范圍；④利用y=log/的單調(diào)性求解.

［變式訓練3］設(shè)函數(shù)九%)=log2(4x>log2(2%),.若?=log2x

(1)求力的取值范圍.

(2)求八%)的值域.

解：(1)因為彳=log2%,

所以log2；WWlog24,即一2W/W2.

(2)函數(shù)fix)=log2(4x)-log2(2x),

即X%)=(log2%)2+31og2%+2,又r=log2x,

則y=r2+3r+2=^+|j2—^(―2<f<2).

33

當t=-5時，即log2%=—2?

3

—5L1

X=2時，X^)min=-4；

當，=2時，即10g2%=2,%=4時，犬%)max=12.

1

-

12

綜上可得，函數(shù)八%)的值域為4?

類型四對數(shù)復合型函數(shù)的單調(diào)性

［例4］已知人x)=logj_(%2—“%—a)在1―8,一；)上是增函數(shù)，求

a的取值范圍.

［解］令u(x)=j^—ax—a,

=10gl”(%)在(一8,—J］上是增函數(shù)，M(%)在

1—8,一自上是減函數(shù)，且M(%)>0在1―8,一自上恒成立.

QN—1,

即1.a

［十］一a三0.

.K<1

J滿足條件的。的取值范圍是a—IWQW；］.

與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)y=logag(x)的單調(diào)性的求解步驟：

(1)確定定義域，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在函數(shù)的定義域上進

行.(很多同學忽略了定義域，即不滿足g(%)>0導致錯誤)

(2)弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，將復合函數(shù)分解

成基本初等函數(shù)：外層函數(shù)y=log/，內(nèi)層函數(shù)〃=g(%).

(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則y=log〃g(%)為增函數(shù)；若一增一

減，則y=log“ga)為減函數(shù)，即“同增異減”.

［變式訓練4］已知危)=log〃(8—3G)在［-1,2］上是減函數(shù)，則實

數(shù)。的取值范圍是(B)

A.(0,1)B(l,胃

C.4b(1,+8)

解析：由題意，知8—3。%>0,%￡［—1,2］,8+3。〉0,8—6。>0,

844

二.一又易知a>0,且QTM,/.0<a<l或l<a<^,此時可知函數(shù)

g(%)=8—3OY是減函數(shù).若<工)在［―1,2］上是減函數(shù)，則必有?！?.所以

實數(shù)Q的取值范圍為［1,3.故選B.

1.若0a勺<1,則下列關(guān)系式正確的一組是(D)

A.Iog3%>log3yB.logj_%<logj_y

22

C.log.v3<logy3D.log4X<log4y

解析：y=log3%是增函數(shù)，

當時，log3%<log3y.

Vy=logj_x是減函數(shù)，

2

當x<y時，loglx>logj_y.

22

log3x<log3y<0,

'log3ylog〉3<logx3.

Vy=log4X是增函數(shù)，且0<x<y<l知log4X<log4y.

2.函數(shù)>=2工的反函數(shù)是(C)

A.y=log2xB.y-logX%

」2

C.y=log2%(x〉0)D.y=logl%(%>0)

2

解析：函數(shù)y=2*的值域是(0,+°°).

又其反函數(shù)為y=log2%.故選C.

3.函數(shù)y=loglC?—6%+i7)的值域是(一8,—3].

2

解析：由/—6%+17=(%—3)2+8〉。恒成立，知X￡R.

設(shè)“=?—6x+17.*/0<2<1,

/.函數(shù)y=loglu是減函數(shù).

2

又'."x2—6x+17=(%—3)2+8^8,

.,.log]_(%2—6x+17)<logj_8=logj_23=logj_2]-3=—3.

2222V7

故函數(shù)y=logj_(x2—6%+17)的值域為(-8,—3],

2

4.函數(shù)兀0=ln(3+2x一爐)的單調(diào)遞增區(qū)間是dJJ,單調(diào)遞減區(qū)

間是(1,3).

角星析：3+2%—%2>o,;.%2—2X—3<0.

—l<x<3.

令“=3+2%—%2=一(/―2%—3)=—(%—1)2+4,

/.當工￡(—1,1)時，u是X的增函數(shù)，y是Inw的增函數(shù)，故函數(shù)兀0

=ln(3+2%—f)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,1).

同理，函數(shù)<%)=111(3+2%—2的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

5.已知危)=log”⑷一1)(?！?,且aWl).

(1)求危)的定義域；

(2)討論函數(shù)危)的單調(diào)性.

解：⑴使於)=log。⑷-1)有意義,則爐一1〉0,即爐>1.當a>l時，

x>0;當0<a<l時，X<0,...當a>l時，函數(shù)的定義域為{%|%>0};當0<a<l

時，函數(shù)的定