20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)專題12指數(shù)№考向解讀專題12指數(shù)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)專題12指數(shù)→?考點(diǎn)精析←1整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)①整數(shù)指數(shù)冪的概念②運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．2根式的概念和運(yùn)算法則①次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．②兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）③要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；④計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：4有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算①有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．②知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換．如；（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．5指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)算．6無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．7實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．→?題型突破←【題型】由根式的意義求范圍1.若有意義，則的取值范圍是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：D.2.若，，則下列四個(gè)式子中有意義的是()A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項(xiàng)中，為偶數(shù)，則恒成立，A中式子有意義；B選項(xiàng)中，，無意義；C選項(xiàng)中，為恒大于或等于0的數(shù)，有意義；D選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，式子無意義．故選：AC．3.若要使有意義，則取值范圍是_______.【答案】【解析】∵，要使有意義，則，即，∴.故答案為：.【題型二】利用根式的性質(zhì)化簡或求值3.若，則的值為（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C4．(2021·上海高一專題練習(xí))求下列各式的值.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)2；(2)；(3)π3；(4).【解析】(1)=2；(2)；(3)=|3π|=π3；(4)原式=，當(dāng)x≥y時(shí)，原式=xy+yx=0；當(dāng)x<y時(shí)，原式=yx+yx=2(yx).所以原式=【題型三】有限制條件的根式的化簡5.求使等式成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】，要使|成立，需解得a∈[3，3]．【題組四】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化6.已知，為正數(shù)，化簡_______．【答案】【解析】原式．故答案為：．7.(2021·上海高一專題練習(xí))將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：(1)(a>0)；(2)(x>0)；(3)(b>0).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式====.(2)原式======.(3)原式===.【題型五】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值8.（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】故選：C9．(2021·全國)計(jì)算__________；若，則_________．【答案】【解析】由由

故答案為：；．10．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))化簡下列各式：(1)；(2)；(3)＋＋－×.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原式.【題型六】整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪11．（2022·廣東中山·高一階段練習(xí)）已知，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即所以，故答案為?2．（2023·江蘇·高一單元測試）（1）已知，化簡.（2）設(shè)，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，則，，，.∴.→?專題精練←1．（2022·四川·成都市郫都區(qū)川科外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．273．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))下列式子中，錯(cuò)誤的是()A．B．C．D．4．（2022·全國·高一期中）（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則化為（

）A． B． C．m D．16．（2022·江蘇·高一單元測試）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）下列等式中，不正確的是（

）A． B．C． D．8．(2020·江蘇南京·)設(shè)是非零實(shí)數(shù)，已知，則()A． B． C．2 D．39．(2021·全國)計(jì)算結(jié)果正確的是()A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷(﹣2x3y2)=﹣32x2y5D．10．（2022·江蘇·高一單元測試）下列運(yùn)算（化簡）中正確的有（

）．A．B．C．D．11．(多選)(2020·江蘇金沙中學(xué)高一月考)下列運(yùn)算(化簡)中正確的有()．A．B．C．D．12.（2022·全國·高一專題練習(xí)）計(jì)算：___________________．13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡：________．14．(2021·上海高一專題練習(xí))用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0，b>0).(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).15．(2021·全國)計(jì)算化簡(1)(2)．(3)；(4)(5)(6)．(7)已知=3，求的值．(8)()(3)(2)(9)2(3)÷(6)(10)(11)；(12)若，求的值．16．(2021·全國)計(jì)算：.17.(2021·全國)已知，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求解下列問題：(1)求值：；(2)已知，，求的值.(3)已知，求.19．（