2023-2024學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個

選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答

題卷相應(yīng)位置上）

1.（2分）已知x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一個解，則a的值

為（）

A.0B.-1C.1D.2

2.（2分）連續(xù)二次拋擲一枚硬幣，二次正面朝上的概率是（

A.1B.工C.1D.3

424

3.（2分）拋物線y=2x2+l向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的

拋物線是（）

A.y=2（x-1）2+3B.y=2（x+1）2-3

C.y=2（x-1）2-1D.y=3（x-1）2+l

4.（2分）如圖，。。中，直徑CD=10cm,弦AB，CD于點M,OM：MD=3：2,

則AB的長是（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

5.（2分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論:

①a、b同號；

②當(dāng)x=l和x=3時，函數(shù)值相等；

③4a+b=0；

④當(dāng)-l<x<5時，y<0.

其中正確的有（）

B.2個C.3個D.4個

6.（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,動點P、Q同時從點A動身，以

lcm/s的速度分別沿A-B玲C和A-D玲C的路徑向點C運動，設(shè)運動時間為x

（單位：s）,四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2）,則y與x（0WxW8）之

間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為（)

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請

把答案干脆填寫在答題卷相應(yīng)位置上）

7.（2分）已知三=?，則也=______.

y5y-x

8.（2分）已知方程x2+mx-3=0的一個根是1,則它的另一個根是.

9.（2分）晨光中學(xué)規(guī)定學(xué)生的體育成果滿分為100分，其中早操及體育課外活

動占20%,期中考試成果占30%,期末考試成果占50%,小惠的三項成果依

次是95分，90分，85分，小惠這學(xué)期的體育成果為分.

10.（2分）據(jù)有關(guān)測定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時人體感到最舒

適.因此夏天運用空調(diào)時，假如人的體溫按36.5度算，那么室內(nèi)溫度約調(diào)

到°C最適合.（結(jié)果保留到個位數(shù)字）

11.（2分）如圖，AB是。。的直徑，C、D是。。上的兩點，若NABD=62。，則

ZBCD=.

12.（2分）2023年的圣誕節(jié)初三年級的一名同學(xué)用一張半徑為24cm的扇形紙

做一個如圖所示的圓錐形的圣誕帽側(cè)面（接縫處忽視不計），假如做成的圓錐

形圣誕帽的底面半徑為10cm,那么這張扇形紙的面積是

13.（2分）拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y<0時，x的取值范圍是

,^2-4\~0~1~2-

I-1-：

-2-

14.（2分）如表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)關(guān)

系，一元二次方程ax2+bx+c=N-（a/0）的一個解x的取值范圍是.

y=ax2+bx+c

15.（2分）如圖是一座拋物形拱橋，當(dāng)水面的寬為12m時，拱頂離水面4m,

當(dāng)水面下降3m時，水面的寬為m.

16.（2分）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE，EF,EF±FC,并

且AE=3,EF=4,FC=5,則正方形ABCD的外接圓的半徑是.

三、解答題（本大題共11小題，共88分.請在答題卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答

時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（8分）解下列方程：

（1）x2-4x-1=0

（2）x（2x-3）=3-2x

18.（6分）中國經(jīng)濟的快速發(fā)展讓眾多國家感受到了威逼，隨著釣魚島事務(wù)、

南海危機、薩德入韓等一系列事務(wù)的發(fā)生，國家平安一再受到威逼，所謂“國

家興亡，匹夫有責(zé)”，某校主動開展國防學(xué)問教化，九年級甲、乙兩班分別選

5名同學(xué)參與“國防學(xué)問"競賽，其預(yù)賽成果如圖所示：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

甲班8.58.5——

乙班8.5101.6

（2）依據(jù)上表數(shù)據(jù)，分別從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的角度分析哪個班的

成果較好.

19.（8分）不透亮布袋內(nèi)裝有形態(tài)、大小、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別標(biāo)

有數(shù)字1,2,3,4.

（工）從布袋中隨機地取出一個小球，求小球上所標(biāo)的數(shù)字不為2的概率；

（H）從布袋中隨機地取出一個小球，記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為X,不將取出的

小球放回布袋，再隨機地取出一個小球，記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為y,這樣就

確定點E的一個坐標(biāo)為（x,y）,求點E落在直線y=x+l上的概率.

20.（6分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格

點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形"，圖中的AABC就是格點三角形，建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點C的坐標(biāo)為（0,-1）.

（1）在如圖的方格紙中把^ABC以點。為位似中心擴大，使放大前后的位似比

為1：2,畫出△AiBiG（△ABC與△AiBiJ在位似中心。點的兩側(cè)，A,B,C

的對應(yīng)點分別是Ai,Bi,Ci）.

（2）利用方格紙標(biāo)出△AiBiCi外接圓的圓心P,P點坐標(biāo)是,OP的半

徑=.（保留根號）

21.（6分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象經(jīng)過點A（2,-3）,B（-1,0）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上

平移個單位.

22.（8分）如圖，在等邊4ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且NAPD=60。,

BP=1,CD=2

3

(1)求證：△ABPS^PCD；

(2)求^ABC的邊長.

23.（6分）某學(xué)習(xí)小組在探討函數(shù)丫』^<3-2*的圖象與性質(zhì)時，已列表、描點

6

（2）方程LX3-2x=-2實數(shù)根的個數(shù)為

6----------

（3）視察圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì).

Z

2SO13

T卜X

—

TI一

_;_-_一7_

一

T±.—

二

__;_-1L一T_-

丁

—

3，.

T—

_T__一_-

；T1

二

—.T

一

T一T_-_T_-

;_A

一

一

_一__-L-

24.（8分）如圖，身高1.6米的小明站在距路燈底部。點10米的點A處，他的

身高（線段AB）在路燈下的影子為線段AM,已知路燈燈桿0Q垂直于路面.

（1）在0Q上畫出表示路燈燈泡位置的點P;

（2）小明沿A0方向前進到點C,請畫出此時表示小明影子的線段CN；

（3）若AM=2.5米，求路燈燈泡P到地面的距離.

?Q

「一

0-C/立—

25.（10分）某商店經(jīng)銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元，

市場調(diào)查發(fā)覺，該種健身球每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）有如下

關(guān)系：y=-2x+80（204W40）,設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多

少元？

（3）假如物價部門規(guī)定這種健身球的銷售單價不高于28元，該商店銷售這種健

身球每天要獲得150元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？

26.（10分）如圖，AB為。。的直徑，PD切。。于點C,與BA的延長線交于點

D,DELPO交PO延長線于點E,連接PB,NEDB=NEPB.

（1）求證：PB是。。的切線.

（2）若PB=3,DB=4,求DE的長.

27.（12分）如圖，已知拋物線y=-3x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點，點A

4

的橫坐標(biāo)為-1,過點C(0,3)的直線y=-&x+3與x軸交于點Q,點P是

4t

線段BC上的一個動點，PHLOB于點H.若PB=5t,且

(1)確定b,c的值；

(2)寫出點B,Q,P的坐標(biāo)(其中Q,P用含t的式子表示)；

(3)依點P的改變，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出

全部t的值；若不存在，說明理由.

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)九年級（上）期末數(shù)

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個

選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答

題卷相應(yīng)位置上）

1.（2分）已知x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一個解，則a的值

為（）

A.0B.-1C.1D.2

【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)a的值.

【解答】解：???x=2是方程的解，

.*.4-2-2a=0

a=l.

故選：C.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系

數(shù)的值.

2.（2分）連續(xù)二次拋擲一枚硬幣，二次正面朝上的概率是（）

A.1B.1C.1D.上

424

【分析】運用列舉法，把全部的可能都列舉出來，留意按依次列舉出全部可能，

即可得出答案.

【解答】解：：如圖所示，

正反

正正正正反

反反正反反

全部的可能為：正正，正反，反正，反反；

???第一次正面朝上，其次次也正面朝上的概率是：

4

故選：B.

【點評】此題主要考查了用列舉法求概率，只要按依次，依次列舉出全部可能是

解決問題的關(guān)鍵.

3.(2分)拋物線y=2x2+l向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的

拋物線是()

A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2-3

C.y=2(x-1)2-1D.y=3(x-1)2+l

【分析】依據(jù)“上加下減，左加右減"的法則進行解答即可.

【解答】解：依據(jù)“上加下減，左加右減"的法則可知，拋物線y=2x2+l向右平移

1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是y=2(x-1)2-l.

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是

解答此題的關(guān)鍵.

4.(2分)如圖，中，直徑CD=10cm,弦AB，CD于點M,OM：MD=3：2,

則AB的長是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】連接OA,由垂徑定理得出AM=BM=LAB,由已知條件得出OA=OD=5cm,

2

0M=3cm,由勾股定理求出AM,即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接OA,如圖所不：

VABXCD,

I.NOMA=90。，AM=BM」AB,

2

VCD=10cm,OM：MD=3：2,

/.OA=OD=5cm,0M=3cm,

*l,AM=7oA2-0M2=752-32=4（cm）,

/.AB=2AM=8cm.

故選：D.

【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理；嫻熟駕馭垂徑定理，由勾股定理求出

AM是解決問題的突破口.

5.（2分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①a、b同號；

②當(dāng)x=l和x=3時，函數(shù)值相等；

③4a+b=0；

④當(dāng)-l<x<5時，y<0.

其中正確的有（）

【分析】依據(jù)函數(shù)圖象可得各系數(shù)的關(guān)系：a>0,b<0,即可推斷①，依據(jù)對稱

軸為x=2,即可推斷②；由對稱軸*=-且=2,即可推斷③；求得拋物線的另

2a

一個交點即可推斷④.

【解答】解：???拋物線開口向上，

Aa>0,

???對稱軸x=2,

???-b—z.,

2a

b=-4a<0,

?a、b異號，故①錯誤;

?.?對稱軸x=2,

.,.x=1和x=3時，函數(shù)值相等，故②正確；

:對稱軸x=2,

/.--^=2，

2a

:?b=-4a,

.,.4a+b=0,故③正確;

：拋物線與x軸交于（-1,0）,對稱軸為x=2,

???拋物線與x軸的另一個交點為（5,0）,

...當(dāng)-1<x<5時，y<0,故④正確；

故正確的結(jié)論為②③④三個，

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）,

二次項系數(shù)a確定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；

當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同確定對稱軸

的位置，當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即

ab<0）,對稱軸在y軸右；常數(shù)項c確定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸

交于（0,c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△確定，442-4ac>0時，拋物線

與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；442-4ac

<0時，拋物線與x軸沒有交點.

6.（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,動點P、Q同時從點A動身，以

lcm/s的速度分別沿A玲B9C和A玲D玲C的路徑向點C運動，設(shè)運動時間為x

（單位：s）,四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2）,則y與x（04W8）之

間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為（）

Q_________1c

【分析】依據(jù)題意結(jié)合圖形，分狀況探討：

①04W4時，依據(jù)四邊形PBDQ的面積=4ABD的面積-△APQ的面積，列出函

數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；

②4WxW8時，依據(jù)四邊形PBDQ的面積=4BCD的面積-△CPQ的面積，列出函

數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個選項即可得解.

【解答】解：①0WxW4時，

???正方形的邊長為4cm,

Y=SAABD-SAAPQ，

=1X4X4-Lx?x,

22

=--x2+8,

2

②4WxW8時，

Y=SABCD-SACPQ,

=1X4X4-(8-x)?(8-x),

22

=-L(8-x)2+8,

2

所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有

B選項圖象符合.

故選：B.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，依據(jù)題意，分別求出兩個時間段的函

數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請

把答案干脆填寫在答題卷相應(yīng)位置上）

7.（2分）已知三=』，則2±￡=4.

y5y-x

【分析】依據(jù)等式的性質(zhì)，可用y表示x,依據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：x=ly.

5

也=-1-=4,

5

故答案為:4.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2分）已知方程x2+mx-3=0的一個根是1,則它的另一個根是-3.

【分析】由于該方程的一次項系數(shù)是未知數(shù)，所以求方程的另一解可以依據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系進行計算.

【解答】解：設(shè)方程的另一根為X1,

依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：xi.l=-3,

解得Xi=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方

程兩根為Xl,X2,則Xl+X=-—,X1?X2=—.

2aa

9.（2分）晨光中學(xué)規(guī)定學(xué)生的體育成果滿分為100分，其中早操及體育課外活

動占20%,期中考試成果占30%,期末考試成果占50%,小惠的三項成果依

次是95分，90分，85分，小惠這學(xué)期的體育成果為88.5分.

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的公式干脆計算.用95分，90分，85分別乘以它們的

百分比，再求和即可.

【解答】解：小惠這學(xué)期的體育成果=（95X20%+90X30%+85X50%）=88.5（分）.

故答案為88.5.

【點評】本題考查了加權(quán)成果的計算.

10.（2分）據(jù)有關(guān)測定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時人體感到最舒

適.因此夏天運用空調(diào)時，假如人的體溫按36.5度算，那么室內(nèi)溫度約調(diào)到

23°C最適合.（結(jié)果保留到個位數(shù)字）

【分析】利用黃金分割的定義用36SC乘以0.618即可.

【解答】解：36.5℃X0.618=23℃.

所以假如人的體溫按36.5度算，那么室內(nèi)溫度約調(diào)到23℃最適合.

故答案為23.

【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC）,

且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC）,叫做把線段AB黃金

分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC=2匠1AB-0.618AB,并且線

2

段AB的黃金分割點有兩個.

11.（2分）如圖，AB是。0的直徑，C、D是。。上的兩點，若NABD=62。，則

NBCD=28°.

【分析】依據(jù)圓周角定理的推論由AB是。O的直徑得NADB=90。，再利用互余

計算出NA=90。-NABD=28。，然后再依據(jù)圓周角定理求/BCD的度數(shù).

【解答】解：?；AB是。O的直徑，

AZADB=90°,

VZABD=62°,

AZA=90°-NABD=28°,

NBCD=NA=28°.

故答案為280.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相

等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周

角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

12.（2分）2023年的圣誕節(jié)初三年級的一名同學(xué)用一張半徑為24cm的扇形紙

做一個如圖所示的圓錐形的圣誕帽側(cè)面（接縫處忽視不計），假如做成的圓錐

形圣誕帽的底面半徑為10cm,那么這張扇形紙的面積是240Tl

【分析】易得圓錐的底面周長，利用側(cè)面積公式可得扇形紙片的面積.

【解答】解：???圓錐的底面周長為20兀，

???扇形紙片的面積=[><20兀><24=2404^12.

2

故答案為240Tl.

【點評】此題考查圓錐的計算，用到的學(xué)問點為：圓錐的底面周長=側(cè)面綻開圖

的弧長；圓錐的側(cè)面積」~LR.

2

13.（2分）拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y<0時，x的取值范圍是x>3

或x<一1.

【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為x=l,從而可得到拋物線與X軸的另

一個交點坐標(biāo)為（3,0）,y<0,找出拋物線位于x軸下方部分x的取值范圍

即可.

【解答】解：依據(jù)函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為x=l,拋物線與x軸一個交

點的坐標(biāo)為（-1,0）,

由拋物線的對稱性可知：拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3,0）.

Vy<0,

.*.x>3或x<-1.

故答案為：x>3或x<-1.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，依據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物

線與X軸兩個交點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

14.(2分)如表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)關(guān)

系，一元二次方程ax2+bx+c=2(aWO)的一個解x的取值范圍是6.3<x<

10

6.4

X6.16.26.36.4

y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4

【分析】視察表格可知，y隨x的值漸漸增大，ax2+bx+c的值在6.26.3之間由

負到正，故可推斷ax2+bx+c=^-時，對應(yīng)的x的值在6.3?6.4之間.

10

【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)看出-0.1和0.2更接近于0,故一元二次方程

ax2+bx+c=—(a^O)的一個解x的取值范圍是6.：3<x<6.4.

10

故答案為：6.3Vx<6.4.

【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由

正變?yōu)樨摃r，自變量的取值即可.

15.(2分)如圖是一座拋物形拱橋，當(dāng)水面的寬為12m時，拱頂離水面4m,

當(dāng)水面下降3m時，水面的寬為6迎m.

【分析】依據(jù)題意可以建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，從而可以求得拋物線的解析

式，進而求得當(dāng)水面下降3m時，水面的寬.

【解答】解：以拋物線頂點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖所示，

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,

?.?點(6,-4)在函數(shù)圖象上，

-4=aX62,得a=-i,

9

y=1x2,

9

當(dāng)y=-7時,

2

-7=J^x

9x

,

得X[=-W7，X2=3VT

當(dāng)水面下降3m時，水面的寬為：W7-(-3j7)=W^m,

故答案為：6A/T.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是建立合適的平面直角

坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

16.(2分)如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AEJLEF,EFJLFC,并

且AE=3,EF=4,FC=5,則正方形ABCD的外接圓的半徑是2立.

Q

【分析】首先連接AC,則可證得△AEMs^CFM,依據(jù)相像三角形的對應(yīng)邊成

比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，進而

得到AC的長，在RgABC中，由AB=AC?sin45。，即可求出正方形的邊長

【解答】解：連接AC,

VAE±EF,EF_LFC,

I.NE=NF=90°,

VZAME=ZCMF,

.,.△AEM^ACFM,

?AE_EM

，#CF而’

VAE=3,EF=4,FC=5,

.EM二3

??麗T

AEM=1.5,FM=2.5,

在RtAAEM中，AM=^AE2+EH2=2^,

在中，

Rt^FCMCM=^CF2+FM2=.§/^,

.?.AC=4泥，

正方形ABCD的外接圓的半徑是2月，

故答案為：2炳.

?

【點評】此題考查了相像三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)

用.此題綜合性較強，解題時要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請在答題卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答

時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(8分)解下列方程：

(1)x2-4x-1=0

(2)x(2x-3)=3-2x

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：(1)方程整理得：x2-4x=l,

配方得：x2-4x+4=5,即(X-2)2=5,

開方得：x-2=±-./g,

解得：Xi=2+Vg,X2=2-V5；

(2)方程整理得：x(2x-3)+(2x-3)=0,

分解因式得：(2x-3)(x+1)=0,

解得：X1=1.5,X2=-1.

【點評】此題考查了解一元二次方程-配方法，以及因式分解法，嫻熟駕馭各種

解法是解本題的關(guān)鍵.

18.(6分)中國經(jīng)濟的快速發(fā)展讓眾多國家感受到了威逼，隨著釣魚島事務(wù)、

南海危機、薩德入韓等一系列事務(wù)的發(fā)生，國家平安一再受到威逼，所謂“國

家興亡，匹夫有責(zé)”，某校主動開展國防學(xué)問教化，九年級甲、乙兩班分別選

5名同學(xué)參與“國防學(xué)問"競賽，其預(yù)賽成果如圖所示：

(1)依據(jù)上圖填寫下表:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

甲班8.58.58.50.7

乙班8.58101.6

(2)依據(jù)上表數(shù)據(jù)，分別從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的角度分析哪個班的

成果較好.

【分析】(1)利用條形統(tǒng)計圖，結(jié)合眾數(shù)、方差、中位數(shù)的定義分別求出答案；

(2)利用平均數(shù)、眾數(shù)、方差、中位數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：(1)甲的眾數(shù)為：8.5分，

方差為：—[(8.5-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+(8.5-8.5)2+(10-8.5)

5

2]

=0.7分，

乙的中位數(shù)是：8分；

故答案為:8.5,0.7,8；

(2)從平均數(shù)看，兩班平均數(shù)相同，則甲、乙兩班的成果一樣好;

從中位數(shù)看，甲班的中位數(shù)大，所以甲班的成果較好；

從眾數(shù)看，乙班的眾數(shù)大，所以乙班的成果較好；

從方差看，甲班的方差小，所以甲班的成果更穩(wěn)定.

【點評】此題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、方差、中位數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定

義是解題關(guān)鍵

19.(8分)不透亮布袋內(nèi)裝有形態(tài)、大小、質(zhì)地完全相同的4個小球，分別標(biāo)

有數(shù)字1,2,3,4.

(工)從布袋中隨機地取出一個小球，求小球上所標(biāo)的數(shù)字不為2的概率；

(H)從布袋中隨機地取出一個小球，記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為X,不將取出的

小球放回布袋，再隨機地取出一個小球，記錄小球上所標(biāo)的數(shù)字為y,這樣就

確定點E的一個坐標(biāo)為(x,y),求點E落在直線y=x+l上的概率.

【分析】(工)讓不是2的狀況數(shù)除以總狀況數(shù)即為小球上所標(biāo)的數(shù)字不為2的

概率；

(H)列舉出全部狀況，看點E落在直線y=x+l上的狀況數(shù)占全部狀況數(shù)的多少

即可.

【解答】解：([)P=金.(3分)

4

滿意條件的點有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12個，(5分)

其中落在直線y=x+l上的有(1,2),(2,3),(3,4)三個，(7分)

P=-5-=—.(8分)

124

【點評】考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；得到點E落在直線y=x+l上的狀

況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵；用到的學(xué)問點為：概率等于所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)

之比.

20.(6分)如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為工的正方形，我們把以格

點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形"，圖中的^ABC就是格點三角形，建

“如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點C的坐標(biāo)為（0,-1）.

（1）在如圖的方格紙中把^ABC以點。為位似中心擴大，使放大前后的位似比

為1：2,畫出△A1B1C1（△ABC與△A1B1C1在位似中心。點的兩側(cè)，A,B,C

的對應(yīng)點分別是Ai,Bi,Ci）.

（2）利用方格紙標(biāo)出△AiBiG外接圓的圓心P,P點坐標(biāo)是（3,1）,OP

【分析】（1）延長B0到Bi,使BiO=2BO,則點Bi為點B的對應(yīng)點，同樣方法

作出點A和C的對應(yīng)點Ai、Ci,則△AiBiCi滿意條件;

（2）利用網(wǎng)格特點，作AiJ和CiBi的垂值平分線得到△AiBiJ外接圓的圓心P,

然后寫出P點坐標(biāo)和計算PAi.

【解答】解：（1）如圖，△AiBiCi為所作;

%

（2）點P的坐標(biāo)為（3,1）,

PA1=^12+32=V10,即。P的半徑為五b，

故答案為：（3,1）、V10.

【點評】本題考查了作圖-位似變換：①確定位似中心；②分別連接并延長位似

中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③依據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的

關(guān)鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.也考查了三角形的

外心.

21.（6分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象經(jīng)過點A（2,-3）,B（-1,0）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上

平移4個單位.

【分析】（1）將A（2,-3）,B（-1,0）代入y=ax2+bx-3,用待定系數(shù)法即

可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）利用頂點坐標(biāo)公式可求出圖象沿y軸向上平移的單位.

【解答】解：（1）由已知，有（4a+2b-3=-3,即（4a+2b=0,解得卜=1

Ia-b-3=0la-b=3lb=-2

所求的二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

2

（2）:-互=1,4ac-b….

2a4a

I.頂點坐標(biāo)為（1,-4）.

二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，

???應(yīng)把圖象沿y軸向上平移4個單位.

【點評】考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要依據(jù)題目給定的條件，選

擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.二次函數(shù)的圖象與x軸只有

一個交點，即頂點的縱坐標(biāo)為0.

22.（8分）如圖，在等邊4ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且NAPD=60。，

BP=1,CD=Z.

3

（1）求證：△ABPS^PCD；

（2）求4ABC的邊長.

A

【分析】(1)依據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,推出NBAP=

NDPC,即可得出結(jié)論；

(2)與相像三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出AB即可.

【解答】(1)證明：?.?△ABC是等邊三角形，

，AB=BC=AC,NB=NC=60°,

ZBAP+ZAPB=180°-60°=120°,

VZAPD=60°,

ZAPB+ZDPC=180°-60°=120°,

NBAP=NDPC,

即NB=NC,ZBAP=ZDPC,

.,.△ABP^APCD；

(2)解：VAABP^APCD,

???A-B---BP,

CP-CD

?.?CD=Z,CP=BC-BP=x-1,BP=1,

3

3

解得：AB=3.

即^ABC的邊長為3

【點評】本題考查了相像三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)

角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABPs^pcD,主要考查了學(xué)生的推理實力和

計算實力.

23.（6分）某學(xué)習(xí)小組在探討函數(shù)y=Lx3-2x的圖象與性質(zhì)時，己列表、描點

并畫出了圖象的一部分.

X-4-3-2-101233.54

3.

5

y3_8_110_8,78_

32V3248

711

48

（1）請補全函數(shù)圖象;

（2）方程上x3-2x=-2實數(shù)根的個數(shù)為3

6

（3）視察圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì).

【分析】（1）用光滑的曲線連接即可得出結(jié)論；

（2）依據(jù)函數(shù)y=lx3-2x和直線y=-2的交點的個數(shù)即可得出結(jié)論;

6

（3）依據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）補全函數(shù)圖象如圖所示，

(2)如圖1,

作出直線y=-2的圖象，

由圖象知，函數(shù)y」_x3-2x的圖象和直線y=-2有三個交點,

6

方程工x3-2x=-2實數(shù)根的個數(shù)為3,

6

故答案為3；

(3)由圖象知，

1、此函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，

2、止匕函數(shù)在x<-2和x>2,y隨x的增大而增大，

3、此函數(shù)圖象過原點，

4、此函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.

【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象的畫法，利用函數(shù)圖象確定方程解的個數(shù)的方

法，解本題的關(guān)鍵是補全函數(shù)圖象.

24.(8分)如圖，身高1.6米的小明站在距路燈底部。點10米的點A處，他的

身高(線段AB)在路燈下的影子為線段AM,已知路燈燈桿OQ垂直于路面.

(1)在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點P；

(2)小明沿AO方向前進到點C,請畫出此時表示小明影子的線段CN；

(3)若AM=2.5米，求路燈燈泡P到地面的距離.

.0

~0""CNM

【分析】（1）MB的延長線與OQ的交點為P；

（2）連接PD并延長交路面于點N；

（3）利用相像三角形對應(yīng)邊成比例列式列式即可得解.

【解答】解：（1）如圖：

■、

■、

11

OC/立-

（2）如圖:

（3）：AB〃OP,

/.△MAB^AMOP,

.?.幽=雪即"=2.5,

OPON0P10+2.5

解得OP=8.

即路燈燈泡P到地面的距離是8米.

【點評】本題考查的是相像三角形的應(yīng)用，熟知相像三角形的對應(yīng)邊成比例是解

答此題的關(guān)鍵.

25.（10分）某商店經(jīng)銷一種健身球，已知這種健身球的成本價為每個20元,

市場調(diào)查發(fā)覺，該種健身球每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)有如下

關(guān)系：y=-2x+80(20WxW40),設(shè)這種健身球每天的銷售利潤為w元.

(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該種健身球銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多

少元？

(3)假如物價部門規(guī)定這種健身球的銷售單價不高于28元，該商店銷售這種健

身球每天要獲得150元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？

【分析】(1)依據(jù)“每天的銷售利潤=每個球的利潤X每天的銷售量〃可得函數(shù)解

析式；

(2)將(1)中所得函數(shù)解析式配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答可得；

(3)依據(jù)題意列出w=150時關(guān)于x的一元二次方程，解之得出x的值,再依據(jù)“銷

售單價不高于28元"取舍即可得.

【解答】解：(1)依據(jù)題意可得：w=(x-20)-y

=(x-20)(-2x+80)

=-2X2+120X-1600,

w與x之間的函數(shù)關(guān)系為:w=-2X2+120X-1600；

(2)依據(jù)題意可得：w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,

：-2<0,

??.當(dāng)x=30時，w有最大值，w最大值為200.

答：銷售單價定為30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.

(3)當(dāng)w=150時，可得方程-2(x-30)2+200=150.

解得xi=25,X2=35,

V35>28,

.?.X2=35不符合題意，應(yīng)舍去.

答：該商店銷售這種健身球每天想要獲得150元的銷售利潤，銷售單價定為25

元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤問題，在商品

經(jīng)營活動中，常常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是

通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變

量X的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，肯定要留意

自變量X的取值范圍.

26.（10分）如圖，AB為。。的直徑，PD切。。于點C,與BA的延長線交于點

D,DELPO交PO延長線于點E,連接PB,NEDB=NEPB.

（1）求證：PB是。。的切線.

（2）若PB=3,DB=4,求DE的長.

【分析】（1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相像

利用相像三角形對應(yīng)角相等得到NOBP為直角，即可得證；

（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由

切線長定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設(shè)

OC=r,則有OD=8-r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，