炎陵縣2024年上期高二年級入學(xué)素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知函數(shù)在處可導(dǎo),若,則（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，計算得到答案.【詳解】即故選【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，意在考查學(xué)生的計算能力.2.兩直線與平行，則它們之間的距離為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩直線平行首先求出參數(shù)，再由兩平行直線之間距離公式即可得解.【詳解】因為兩直線平行，所以，解得，將化為，由兩條平行線間的距離公式得.故選：D．3.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，，點N為BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合空間向量的基本定理運算求解.【詳解】由題意點M在OA上，，所以，因為點N為BC中點，所以，由題，，，則，故選：C4.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分、必要條件的定義計算即可.【詳解】易知時，，但時有，此時方程表示圓，所以不滿足充分性，若方程表示的曲線為橢圓，則，顯然成立，滿足必要性，故“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B5.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可得的單調(diào)性，即可結(jié)合選項求解.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)和時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，結(jié)合選項可知，只有C中函數(shù)符合要求，故選：C6.數(shù)列中，，對任意，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.7.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題中的條件，利用點斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯(lián)立方程組，消元化簡，求得兩點，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量坐標(biāo)公式，求得，最后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，過點（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果.8.設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再判斷曲線類型，進(jìn)而求出離心率【詳解】由三個數(shù)成等比數(shù)列，得，即；當(dāng)，圓錐曲線為，曲線為橢圓，則；當(dāng)時，曲線為，曲線為雙曲線，，則離心率為：或故選BC【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，離心率的求解，易錯點為漏解的取值，屬于中檔題10.下列命題中，正確的命題有（）A.是，共線的充要條件B.若，則存在唯一的實數(shù)，使得C.對空間中任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面D.若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底【答案】CD【解析】【分析】對A，向量、同向時不成立；對B，為零向量時不成立；對C，根據(jù)空間向量共面的條件判定；對D，根據(jù)能成為基底的條件判定.【詳解】對A，向量、同向時，，只滿足充分性，不滿足必要性，A錯誤；對B，應(yīng)該為非零向量，故B錯誤；對C，由于得，，若共線，則三向量共線，故，，三點共線，與已知矛盾，故不共線，由向量共面的充要條件知共面，而過同一點，所以，，，四點共面，故C正確；對D，若為空間一個基底，則，，不共面，假設(shè)，，共面，設(shè)，所以，無解，故，，不共面，則構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確．故選：CD．11.下列命題中，不正確的選項有（）A.若成等比數(shù)列，則為的等比中項，且B.為等比數(shù)列是的充要條件C.兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列D.若是等比數(shù)列，是的前n項和，則，…成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】選項A，等比數(shù)列中的項可以為負(fù)數(shù)，舉出反例即可；選項B，判斷必要性時，舉出反例，通項為零的常數(shù)列，判斷即可；選項C，分別設(shè)等比數(shù)列的公比為，的公比為，接著分析它們積、商、倒數(shù)數(shù)列的首項和公比即可；選項D，舉出反例，等比數(shù)列為……，判斷，…是不是等比數(shù)列即可.【詳解】對于選項A，若，成等比數(shù)列，為的等比中項，但，A錯誤；對于選項B，充分性：若為等比數(shù)列，可得，得，滿足充分性；必要性：若數(shù)列是各項為零的常數(shù)數(shù)列，滿足，不滿足為等比數(shù)列，不滿足必要性；B錯誤；對于選項C，兩個等比數(shù)列（公比為）與（公比為），它們的積數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，它們的商數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列，倒數(shù)數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列，C正確；對于選項D，若等比數(shù)列為……，顯然，……，…不成等比數(shù)列，D錯誤；故選：ABD.12.下列說法正確的是（）A.直線

的傾斜角的取值范圍為B.“”是“點到直線距離為”的充要條件C.直線：恒過定點D.直線與直線平行，且與圓相切【答案】ACD【解析】【分析】利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系判斷A；利用點到直線的距離與充分不必要條件判斷B；由直線平行的判定與直線與圓相切的條件判斷C；由直線的斜率判斷D【詳解】對于A：設(shè)直線的傾斜角為，則，所以的取值范圍是，故A正確；對于B：由點到直線距離為，可得，解得或，所以“”是“點到直線的距離為3”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C：，即，恒過定點，故C正確；對于D：直線即與直線平行，圓圓心為，半徑為，又圓心到直線的距離為，所以與圓相切，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知.則__________．【答案】【解析】【分析】由題意可知，解得，進(jìn)而求出，由此求的值．【詳解】因為，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．【點睛】本題主要考查空間向量坐標(biāo)運算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，向量模的計算，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項公式即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，【點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為首項與公差（公比）問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標(biāo)明確：二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.15.直線與圓交于兩點，則________．【答案】【解析】【分析】方法一：先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，半徑，再根據(jù)點到直線的距離公式以及弦長公式即可求出．【詳解】［方法一］：【通性通法】【最優(yōu)解】弦長公式的應(yīng)用根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，弦心距，所以．故答案為：.［方法二］：距離公式的應(yīng)用由解得：或，不妨設(shè)，所以．故答案為：.［方法三］：參數(shù)方程的應(yīng)用直線的參數(shù)方程為，將其代入，可得，化簡得，從而，所以．故答案為：.【整體點評】方法一：利用圓的弦長公式直接求解，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：直接求出弦的端點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，是求解一般弦長的通性通法，有時計算偏麻煩；方法三：直線參數(shù)方程中弦長公式的應(yīng)用．16.已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由橢圓定義可得|PF2|，得到a﹣c，從而得到e，再與橢圓離心率的范圍取交集得答案．【詳解】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了角平分線定理的應(yīng)用及橢圓定義的應(yīng)用，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.雙曲線的方程是．求過點作直線，使其被雙曲線截得的弦恰被點平分，求直線的方程．【答案】【解析】【分析】利用點差法可得直線的斜率，即可根據(jù)點斜式求解．【詳解】設(shè)直線與雙曲線交于,、,兩點，點為的中點，則，．由，，兩式相減得，即，的方程為，即．把此方程代入雙曲線方程，整理得，滿足，即所求直線的方程為．18.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取中點，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，，分別為，中點為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【點睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19.已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.【答案】（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.【解析】【分析】（1）將兩圓方程相減即可得兩圓公共弦所在直線的方程；（2）先聯(lián)立兩圓方程求出兩圓交點坐標(biāo)，然后根據(jù)圓上任意點到圓心的距離相等建立方程即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得x－y＋4＝0，A，B兩點坐標(biāo)都滿足此方程，x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程；(2)解方程組得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)，設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，所以b＝a－4，則＝，解得a＝，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.20.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a2=15，S5=65.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，Tn=Sn-10，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Rn.【答案】（1）an=-2n+19；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知條件列出方程組求解即可得出結(jié)果；（2）先利用等差數(shù)列前項和公式求出，進(jìn)而求出，再利用求解，當(dāng)1≤n≤9時，bn>0，，當(dāng)n≥10時，bn<0，求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由已知得，故an=-2n+19.（2）由（1）得=-n2+18n，∴Tn=-n2+18n-10，∴Tn-1=-(n-1)2+18×(n-1)-10=-n2+20n-29，∴bn=Tn-Tn-1=-2n+19(n≥2)，當(dāng)n=1時不符合上式，∴；易知，當(dāng)1≤n≤9時，bn>0，當(dāng)n≥10時，bn<0.所以當(dāng)1≤n≤9時，Rn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+bn=-n2+18n-10；當(dāng)n≥10時，Rn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+b9-(b10+b11+…+bn)=-Tn+2T9=n2-18n+152，故.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的計算以及利用求，考查了等差數(shù)列前項和公式以及帶絕對值的數(shù)列求和問題.屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù).（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)公式求解即可；（2）首先將代入切線方程得到切點為，從而得到，再解方程組即可.【詳解】（1）由，得.（2）由題意得，切點既在曲線上，又在切線上，將代入切線方程，得，切點為.所以，解得.22.已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見詳解；(2)3或.【解析】【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點.（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點到直線的距離，則，結(jié)合弦長公式和韋達(dá)定理代入求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直