9.2.4

總體離散程度的估計課標定位素養(yǎng)闡釋1.結合實例,能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差).2.會求樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差、極差.3.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.4.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學極差、方差、標準差【問題思考】1.甲、乙兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)分別是:甲:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7(2)甲、乙兩位射擊運動員命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)分別是多少?能否由中位數(shù)判斷兩人的射擊水平?提示:中位數(shù)都是7,由于中位數(shù)相等,故無法判斷.(3)甲、乙兩位射擊運動員命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別是多少?能否由眾數(shù)判斷兩人的射擊水平?提示:眾數(shù)都是7,由于眾數(shù)相等,故無法判斷.(4)觀察上述兩組數(shù)據(jù),你認為哪個人的射擊水平更穩(wěn)定?提示:從數(shù)字分布來看,甲命中的環(huán)數(shù)較分散,乙命中的環(huán)數(shù)較集中,故乙的射擊水平更穩(wěn)定.2.填空:(1)極差①定義:一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②特征:用極差是一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法,極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息,對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及,所以極差所含的信息量很少.④特征:標準差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標準差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中,一般多采用標準差.解析:(1)方差或標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,表明發(fā)揮得越穩(wěn)定.因為5.09>3.72,所以選B.(2)由極差的定義知,極差為10-4=6.由平均數(shù)、方差公式知,平均數(shù)為【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)極差對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感.(

√

)(2)方差與原始數(shù)據(jù)的單位一致.(

×

)(3)標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越大,即數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的幅度越大.(

×

)(4)平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)取值的更多信息.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

標準差與方差的應用【例1】

甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件,為檢驗質量,從中抽取6件測量數(shù)據(jù)為:甲:99

100

98

100

100

103乙:99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.分析:(1)利用極差、平均數(shù)和方差的公式計算.(2)先比較平均數(shù)的大小,再比較方差的大小.在實際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標準差):方差大說明取值離散程度大,方差小說明取值離散程度小或者取值集中、穩(wěn)定.【變式訓練1】

對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:甲:27,38,30,37,35,31乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰的成績比較穩(wěn)定.探究二

用平均數(shù)和標準差分析數(shù)據(jù)【例2】

某校代表隊20名同學在一次英語聽力比賽中的成績(單位:分)如下:56,68,68,64,65,70,72,73,71,71,76,76,77,80,86,88,89,80,82,88.本例條件不變,求有多少名同學的成績在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍內.【變式訓練2】

某農場計劃種植某種新品種作物,為此對這種作物進行田間試驗.先選取一大塊地,再把這一大塊地分成50(n>10)小塊地種植新品種作物,試驗結束后隨機抽取了10小塊地的每公頃產量(單位:kg/hm2):403,397,390,408,404,388,400,412,406,392.求:(1)10小塊地的每公頃產量的樣本平均數(shù)和樣本方差;(2)能否說明這50小塊地的每公頃產量都在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍之內?解:(1)10小塊地的每公頃產量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:這10小塊地的每公頃產量都在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍之內.但抽樣具有隨機性,不能說明這50小塊地的每公頃產量也都在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍之內.探究三

用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體【例3】

某高校欲了解在校學生用于課外進修(如各種考證輔導班、外語輔導班等)的開支,在全校8000名學生中用分層隨機抽樣抽取了一個200人的樣本,根據(jù)統(tǒng)計,本科生人數(shù)為全校學生數(shù)的70%,調查最近一個學期課外進修支出(單位:元)的結果如下:試估計全校學生用于課外進修的平均開支和開支的方差.由于分層隨機抽樣按比例分配,所以可以估計全校學生用于課外進修的平均開支為276.2元,開支的方差為1

484.76.1.計算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式,注意公式的變形,樣本方差2.在按比例分配的分層隨機抽樣中,我們可以用樣本平均數(shù)和樣本方差估計總體平均數(shù)和總體方差.【變式訓練3】

在一個文藝比賽中,8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組,給參賽選手打分.在給某選手的打分中,專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7,觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差為56.2和11.8,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和標準差.總樣本標準差s≈10.37.所以計算這名選手得分的平均數(shù)為52.68分,標準差約為10.37.易

錯

辨

析方差、標準差混淆而致誤【典例】

從某項綜合能力測試中抽取100人的成績,統(tǒng)計如表所示,則這100人成績的標準差為

.

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解中求的是方差,而不是標準差.1.理解方差的加權形式的計算公式.2.注意方差和標準差的區(qū)別與聯(lián)系,審清題意.

隨

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練

習1.下列說法正確的是(

)A.在兩組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)較大的一組方差較大B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢,方差則反映數(shù)據(jù)的離散程度C.方差的求法是求出各個數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和D.在記錄兩個人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中,方差大的表示射擊水平高解析:A中平均數(shù)和方差是數(shù)據(jù)的兩個特征,不存在這種關系;C中求和后還需取平均數(shù);D中方差越大,射擊越不平穩(wěn),水平越低.答案:B2.某校舉行元旦詩歌朗誦比賽,七位評委為某位選手打出的分數(shù)為79,84,84,86,84,87,93,去掉一個最高分和一個最低分,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(

)A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6