學(xué)透難點2024年北師大版八年級下冊期末備考專題第一章難點:【例題】1．如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，求的長．(2)求出發(fā)時間為幾秒時，是等腰三角形．(3)若Q沿B→C→A方向運動，則當(dāng)點Q在邊上運動時，若是以為腰的等腰三角形，求點Q的運動時間．【答案】(1)(2)出發(fā)時間為秒時，是等腰三角形(3)當(dāng)為6秒或6.6秒時，為等腰三角形．【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題有一定難度，注意分類討論思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)點、的運動速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；（2）由題意得出，即，解方程即可；（3）當(dāng)點在邊上運動時，能使成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當(dāng)時（圖，則，易求得；②當(dāng)時（圖，過點作于點，則求出，，即可得出．【詳解】（1），，，；（2）根據(jù)題意得：，即，解得：；即出發(fā)時間為秒時，是等腰三角形；（3）分兩種情況：當(dāng)時，如圖2所示：則，秒．當(dāng)時，如圖3所示：過點作于點，則，，，秒．由上可知，當(dāng)為6秒或6.6秒時，為等腰三角形．第二章難點:【例題】2．定義：數(shù)軸上有三個點，，，如果點到，兩個點的距離成三倍關(guān)系，則稱點是（，）的“三倍關(guān)聯(lián)點”．例如，如圖1，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，表示的點到點的距離是，到點的距離是，點到點的距離是到點距離的倍，那么稱點是（，）的“三倍關(guān)聯(lián)點”．

(1)如圖2，點A表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，點分別表示數(shù)，，則兩個點中是的“三倍關(guān)聯(lián)點”的是．

(2)如圖3，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是．點是數(shù)軸上一動點，當(dāng)其恰好是的“三倍關(guān)聯(lián)點”時，求點表示的數(shù)．

(3)點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是（），點表示的數(shù)的最大值為，最小值為，若點是的“三倍關(guān)聯(lián)點”，則的最小值為，的最大值為．【答案】(1)(2)C對應(yīng)的數(shù)為：或或或．(3)，【分析】（1）先計算，，，，再根據(jù)新定義判斷即可；（2）設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，可得，，結(jié)合C是的“三倍關(guān)聯(lián)點”時，可得，，再建立方程求解即可；（3）如圖，當(dāng)A在C的右邊時，其中，點是的“三倍關(guān)聯(lián)點”，點表示的數(shù)的最大值為，最小值為，設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，由，可得，而，再求解即可，如圖，當(dāng)A在C的左邊時，其中，點是的“三倍關(guān)聯(lián)點”，點表示的數(shù)的最大值為，最小值為，設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，由或，同法可求解．【詳解】（1）解：是的“三倍關(guān)聯(lián)點”；理由：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為2，點表示的數(shù)為0，，，∴，∴不是的“三倍關(guān)聯(lián)點”；點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為2，點表示的數(shù)為1，∴，，∴，是的“三倍關(guān)聯(lián)點”；（2）設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，∴，，∵C是的“三倍關(guān)聯(lián)點”時，∴，，當(dāng)時，∴，∴或，解得：或，當(dāng)時，∴，∴或，解得：或；綜上：C對應(yīng)的數(shù)為：或或或．（3）如圖，當(dāng)A在C的右邊時，其中，點是的“三倍關(guān)聯(lián)點”，點表示的數(shù)的最大值為，最小值為，設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，

∴，∴，∴，而，∴，解得：，如圖，當(dāng)A在C的左邊時，其中，點是的“三倍關(guān)聯(lián)點”，點表示的數(shù)的最大值為，最小值為，設(shè)對應(yīng)的數(shù)為，∴或，

當(dāng)時，∴，解得：，∴，解得：，當(dāng)時，，∴，∴，解得：，綜上：的最大值為，最小值為．【點睛】本題考查的是新定義的理解，數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，理解題意，熟練的利用方程與不等式組解題是關(guān)鍵．第三章難點:【例題】3．在中，，，點為邊上一動點，連接，將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，，點為中點，與交于點，若，求的長度；(2)如圖2，與交于點，連接，在延長線上有一點，，求證：；(3)如圖3，與交于點，且平分，點為線段上一點，點為線段上一點，連接，，點為延長線上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，在，運動過程中，當(dāng)取得最小值，且時，請直接寫出的值．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”證明，可得，即可證明結(jié)論；（3）在上截取，連接，先證明當(dāng)三點共線，且時，有最小值，再證明點三點共線，由等腰直角三角形和折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴，∵點為中點，∴，∴，∵將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴；（2）證明：如下圖，過點作交于點，∵，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∵將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如下圖，在上截取，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點共線，且時，有最小值，如下圖，∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴點三點共線，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．第四章難點:【例題】4．通過課堂的學(xué)習(xí)知道，我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代數(shù)式的最小值，．可知當(dāng)時，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數(shù)式的最大值為：；(2)若與，判斷的大小關(guān)系，并說明理由；(3)已知：，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用，解題時要注意配方法的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．（1）先配方，然后根據(jù)完全平方式的非負性求最大值即可；（2）先表示出，然后由完全平方式的非負性可得，由此即可得解；（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非負性可得，，求出，代入進行計算即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)時，由最大值，為，代數(shù)式的最大值為，故答案為：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．第五章難點:【例題】5．閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：（一）由于，所以，即，并且當(dāng)時，；對于兩個非負實數(shù)，，由于所以，即，所以，并且當(dāng)時，；（二）分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；(2)已知：，求代數(shù)式的值；(3)當(dāng)為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）【答案】(1)①②④(2)(3)時，有最小值，最小值為3【分析】本題為新定義問題，創(chuàng)新題，考查了分式的計算，二次根式的變形，完全平方公式的應(yīng)用等知識，理解題目中的相關(guān)材料，并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)真分式、假分式的定義逐項判斷即可求解；（2）先根據(jù)，得到，進而得到，即可得到，利用倒數(shù)的定義即可求出；（3）先求出，再將變形為根據(jù)（一）結(jié)論得到，即可求出當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值，最小值為3．【詳解】（1）解：①是假分式，符合題意；②是假分式，符合題意；③是真分式，不合題意；④是假分式，符合題意．故答案為：①②④．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意，，∴．原式．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．∴原式的最小值為3．第六章難點:【例題】6．在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若點為線段上的動點點不與點重合，連接，過點作交直線于點．①如圖2，當(dāng)點為線段的中點時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點在線段上時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，再由平行四邊形的判定即可得證；（2）①連接，可知是等腰直角三角形，再證明，利用全等三角形性質(zhì)即可得到；②過點作交于點，首先證明，得，進而再證明是等腰直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①，理由如下：連接，如圖所示：由（1）知是等腰直角三角形，當(dāng)點為線段的中點時，，，，，，，，，，，；②證明：過點作交于點，如圖所示：，，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，，，，，在中，，則，，．【點睛】本題考查四邊形綜合題，涉及平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．思維素養(yǎng)提升訓(xùn)練：1．如圖，，與相交于點，．(1)求證：垂直平分；(2)過點作交的延長線于，如果；①求證：是等邊三角形；②如果、分別是線段、線段上的動點，當(dāng)為最小值時，請確定點的位置，并思考此時與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①證明見解析；②為最小值時，與的數(shù)量關(guān)系是【分析】本題考查中垂線的判定定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、含角得的直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，綜合題，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，可得，再由證明，則，利用中垂線的判定定理即可證明；（2）①設(shè)，根據(jù)可得，由于，可得，根據(jù)是的外角，則，由于，所以，從而，進而，結(jié)論得證；②延長至，使，可得與關(guān)于成軸對稱，過作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可得數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，在的垂直平分上，，，在的垂直平分上，垂直平分；（2）①證明：設(shè)，，，是的外角，，由（1），，，，，，，，即，則，，，是等邊三角形；②為最小值時，與的數(shù)量關(guān)系是，理由：延長至，使，，與關(guān)于成軸對稱，過作于交于，連接，，，此時為最小，由①知：，即，即，在中，，，為最小值時，與的數(shù)量關(guān)系是．2．如圖，在四邊形中，．(1)在圖（1）中連接，并證明平分；(2)如圖（2），連接對角線，若，的面積為3，求的長；(3)如圖（3），點在的延長線上，且滿足，點是線段的中點，連接，探究與的關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)(3)，證明見詳解【分析】（1）過點作交延長線與點，證明，，根據(jù)，得，可得，由題意知，可得平分；（2）過點作，連接，證明，得，，根據(jù)的面積為3，可得，根據(jù)，，整理可得，解得（舍去），從而可得，，；（3）取中點，連接，連接，證明，得，，根據(jù)，可得，從而可得是等腰直角三角形，故，設(shè)，則可得，，可得，即．【詳解】（1）解：過點作交延長線與點，如圖：，，，，，，，，，，,，平分；（2）解：過點作，連接如圖：，，，,，，，，的面積為3，,即，，，整理可得：，解得:（舍去），，，；（3）解：取中點，連接，連接，如圖，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為中點，故，，設(shè)，則，可得，，可得，．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，是四邊形綜合題，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．3．解答（1）方法原型：如圖①點B、A、C在同一條直線上，，且，，則．（2）問題解決：（1）中的之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）拓展延伸：如圖②，中，，，點D為射線上一點，以為直角邊在的右側(cè)作等腰，使．i．如圖②，連結(jié)，當(dāng)時，求的面積．ii．如圖③，當(dāng)時，請直接寫出點E到邊的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）i．；ii．【分析】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確的添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由，，得到，由得到，又由已知，即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，則，又由，即可證明結(jié)論；（3）i．作于點M，交的延長線于點N，依次求出，，則，由是等腰直角三角形，且，得到，由（1）可得，則根據(jù)三角形面積公式即可得到答案；ii．連接，作于點G，交的延長線于點H，依次求出，，由（1）可得，，則得到，則，即可證明是等腰直角三角形，進一步得到，即可，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：如圖①，∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如圖①，∵，∴∴∵，∴，故答案為：（3）i．如圖②，作于點M，交的延長線于點N，∵，，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，且，∴，由（1）可得，∴∴，即的面積為．ii．如圖③，作于點G，交的延長線于點H，∵，∴，∴，由（1）可得，，∴∴，∴∵∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴點E到邊的距離為．4．對于點M，N，給出如下定義：在直線上，若存在點P，使得，則稱點P是“點M到點N的k倍分點”．例如：如圖，點，，在同一條直線上，，，則點是點到點的倍分點，點是點到點的3倍分點．已知：在數(shù)軸上，點A，B，C分別表示，，2．(1)點B是點A到點C的________倍分點，點C是點B到點A的_________倍分點；(2)點B到點C的3倍分點表示的數(shù)是________；(3)點D表示的數(shù)是x，線段上存在點A到點D的4倍分點，寫出x的取值范圍．【答案】(1)，(2)1或4(3)【分析】本題考查的是數(shù)軸、兩點間的距離等有關(guān)內(nèi)容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．（1）通過計算，的值，利用題干中的定義解答即可；（2）設(shè)這點為E，對應(yīng)的數(shù)字為a，則；利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，進行分類討論，分別列出方程求解即可；（3）設(shè)線段上存在一點F是點A到點D的4倍分點，點F對應(yīng)的數(shù)字為y，則，然后列不等式求解x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵點A，B，C分別表示，∴，，．，∴點B是點A到點C的倍分點，，∴點C是點B到點A的倍分點．故答案為：，；（2）設(shè)這點為E，對應(yīng)的數(shù)字為a，則，，；若點E在點B的左側(cè)，明顯不符合題意；若點E在B，C之間，則，解得：．若點E在C點的右側(cè)，則，解得：．綜上，點B到點C的3倍分點表示的數(shù)是1或4．故答案為：1或4．（3）設(shè)線段上存在一點F是點A到點D的4倍分點，點F對應(yīng)的數(shù)字為，則，，，若，則，解得：，從而，解得：；若，則，解得：，從而，解得：；綜上，x的取值范圍為：．5．【閱讀材料】：材料一：對于實數(shù)，定義一種新運算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運算．比如：；．已知：；材料二：“已知，均為非負數(shù)，且滿足，求的范圍”，有如下解法：，，，是非負數(shù)，即，，，，．【回答問題】：(1)求出，的值；(2)已知，均為非負數(shù)，，求的取值范圍；(3)已知，，都為非負數(shù)，，，求的最大值和最小值．【答案】(1)(2)(3)最小值，最大值【分析】（1）由新定義運算的含義結(jié)合已知條件建立方程組，再解方程組可得答案；（2）先表示，再根據(jù)，是非負數(shù)，可得且可得，而，再結(jié)合不等式的性質(zhì)可得答案；（3）由新定義運算的含義可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式組可得，再結(jié)合，再結(jié)合x的范圍可得最大值與最小值；【詳解】（1）解：∵；，，∴，∴解方程組得：；（2）∵，，，是非負數(shù)，即，，∵，∴，．（3）∵，，而，∴，解得：，∵，，都為非負數(shù)，∴，解得：，∴；當(dāng)時，，當(dāng)時，．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，三元一次方程組的應(yīng)用，代數(shù)式的最大值與最小值的計算，新定義運算的含義，理解題意，建立合適的方程組與不等式組是解本題的關(guān)鍵．6．定義：對于任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相等，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“檸安數(shù)”．將一個“檸安數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新的兩位數(shù)32，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和55與11的商為，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問題：(1)填空：①下列兩位數(shù)：60、58、88、31中，“檸安數(shù)”為__________；②計算：__________；(2)如果一個“檸安數(shù)”的十位數(shù)字為，個位數(shù)字是，且，請求出“檸安數(shù)”；(3)如果一個“檸安數(shù)”滿足，求滿足條件的的值．【答案】(1)①58，31；②6(2)49(3)71，81，82，91，92，93【分析】（1）①有“檸安數(shù)“的定義可得；②根據(jù)定義計算即可；（2）根據(jù)一個“檸安數(shù)”m的十位數(shù)字為n，個位數(shù)字是，則，由于，則，建立方程求n即可求m的值；（3）設(shè)x十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，根據(jù)列出不等式，即可寫出滿足條件的x的值．【詳解】（1）解：①由“檸安數(shù)”的定義：個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相等，且都不為零，可知“檸安數(shù)”為：58，31；②，故答案為：①58，31；②6；（2）∵任意一個“檸安數(shù)”m的十位上的數(shù)字是n，個位上的數(shù)字是，∴，∵，∴，解得：，∴；（3）設(shè)x的十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是b，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵a為整數(shù)，a可取7，8，9，當(dāng)時，，∴，∴，，當(dāng)時，，∴，∴或2，或82，當(dāng)時，，∴，∴或2或3，或92或93，綜上所述，滿足條件的x的值為71，81，82，91，92，93．【點睛】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，解一元一次不等式，理解“檸安數(shù)”的定義，并按照定義分析是解題的關(guān)鍵．7．已知，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)．(1)如圖1，當(dāng)點落在線段上時，①填空：______；______．②作交于點，求線段的長度；(2)如圖2，若，求四邊形的面積．【答案】(1)①4，30②(2)【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)，易得為等邊三角形，，利用等邊三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；②過點作，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求出的長，等積法求的長即可；（2）過點作，過點作，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易得均為等邊三角形，進而得到，勾股定理求出的長，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理分別求出的長，利用四邊形的面積等于進行求解即可．【詳解】（1）解：①∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：4，30；②過點作，如圖，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過點作，過點作，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴均為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到特殊三角形，是解題的關(guān)鍵．8．在邊長為4的等邊三角形中，點在射線上（不與點，重合），連接，并在其右側(cè)作，使，連接．(1)當(dāng)點在邊上（如圖時，填空：與的位置關(guān)系是；與的數(shù)量關(guān)系是；(2)當(dāng)點在邊的延長線上（如圖時，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請結(jié)合圖2情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)，請直接寫出線段的長．【答案】(1)平行，相等(2)（1）中的兩個結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)2或8【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，于是得到是等邊三角形，再證明即可得到結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，于是得到是等邊三角形，再證明即可得到結(jié)論；（3）過點作，交于點．證出是等邊三角形即可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1中，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，故答案為：平行，相等；（2）（1）中的兩個結(jié)論仍然成立，如圖2，，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）當(dāng)點在線段上，如圖3中，是等邊三角形，，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，是等邊三角形，，，，由（1），，，；當(dāng)點在線段的延長線上，如圖4中，是等邊三角形，，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，是等邊三角形，，，，由（1），，，，；∴線段的長2或8．9．已知如圖，是等邊三角形，點D是直線上一動點，連接，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時，與相交于點F，若，求的長；(2)如圖2，當(dāng)點D在的延長線上時，連接，延長交于點N，點M是的中點，連接，求證：；(3)如圖3，點D在運動過程中，當(dāng)最短時，直接寫出的值．【答案】(1)2(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)即得；（2）延長到點K，使得，連接，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證明，，得到，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明，，，證明，得到，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得到，根據(jù)即得；（3）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，延長交的延長線于點H，設(shè)等邊的邊長為2，得到，，根據(jù)，，推出，推出，得到，E點在直線上運動，得到時最短，證明，，到四邊形是平行四邊形，根據(jù)，得到是菱形，得到，當(dāng)時，根據(jù)，得到，得到，得到，根據(jù)，，得到，即得．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∴，，∴；（2）證明：延長到點K，使得，連接，如圖2所示，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，由旋轉(zhuǎn)知，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，，∵點M是的中點，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，延長交的延長線于點H，設(shè)等邊的邊長為2，則，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴E點在直線上運動，∴當(dāng)時最短，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形，∴，當(dāng)時，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形，旋轉(zhuǎn)，四邊形綜合．熟練掌握等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．10．在平面直角坐標(biāo)系，已知等邊的三個頂點在坐標(biāo)軸上，點，點，點，且a，b，c滿足．(1)求a，b，c的值；(2)如圖1，D是x軸上的一個動點，以為邊在其右側(cè)作等邊，連接．①當(dāng)點D在邊上時，，，之間有何關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點D在x軸上運動時，點E是否在某一確定的直線上運動？若是，請求出該直線與y軸交點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由；③如圖2，過點D作交于點F，當(dāng)D在x軸上運動時，出的長會不會改變，若改變求其長的取值范圍；若不變，請求出其長．【答案】(1)，，(2)①；見解析；②能；；③不變；6【分析】（1）先把條件式化為，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①利用等邊三角形的性質(zhì)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合線段的和差關(guān)系可得答案；②由可得，證明，可得，從而可得答案；③證明為等邊三角形，，同理可得：，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案【詳解】（1），，∵，，，∴，，，∴，，，（2）①∵等邊，等邊，∴，，，∴，∴，∴，∴；②由得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；③如圖，∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，又②知，∴，∴為等邊三角形，∴，同理可得：，∴．【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，利用完全平方公式分解因式，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，靈活的運用以上知識解題是關(guān)鍵．11．如果一個三角形有兩個頂點滿足橫坐標(biāo)的平方和等于橫坐標(biāo)積的二倍，且這兩個頂點不在坐標(biāo)軸上，則稱這個三角形為垂軸三角形，這兩點稱為垂頂點．(1)若已知，，，判斷是否為垂軸三角形；(2)如圖，為垂軸三角形，點O是坐標(biāo)原點．設(shè)點，．若，以為邊作等邊，頂點P在落在第二象限，平分，且，連接交y軸于點E．①探究與的位置關(guān)系；②若P點的坐標(biāo)為，求點F的坐標(biāo)（用含a、m的式子表示）．【答案】(1)是垂軸三角形，理由見解析；(2)①見解析；②點的坐標(biāo)為：．【分析】（1）設(shè)垂軸三角形的兩個垂頂點坐標(biāo)為，，根據(jù)定義可得垂軸三角形的兩個垂頂點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)相等，在根據(jù)此結(jié)論判斷即可；（2）①由題意可知軸，在延長線上取，易知點在點下方，，，可證得，由等邊三角形得性質(zhì)及角平分線得定義可證得（SAS），可得，，根據(jù)，可求得，進而求得，由，得，進而可得，即可證明是等邊三角形，由三線合一可得證；②由①可知，，交于，軸，可知，由，表示出，，，的長，根據(jù)，可得點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)垂軸三角形的兩個垂頂點坐標(biāo)為，，由定義可知，，即：，∴，∴，即：垂軸三角形的兩個垂頂點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)相等，∵，，，即、兩點橫坐標(biāo)相等，∴是以、兩點為垂頂點的垂軸三角形；（2）①∵為垂軸三角形，點O是坐標(biāo)原點，點，，∴以，兩點為垂頂點的垂軸三角形，即軸，∵，軸，∴，，在延長線上取，則：，點在點下方，∴，，∵，∴，∵為等邊三角形，∴，，又∵平分，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，∴，則∴，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴平分，由等腰三角形三線合一可知：；②由①可知，，交于，軸，∴，∵且點在第二象限，∴，，則，∵是等邊三角形，∴，則，∴，∴點的坐標(biāo)為：．【點睛】本題屬于新定義類型，主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵在于求得和添加輔助線構(gòu)造平行．12．閱讀材料：我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數(shù)式的最小值：；又；當(dāng)時，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長、、都是正整數(shù)，且滿足求邊長的最小值；(3)當(dāng)、為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．【答案】(1)(2)5(3)時，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將變形為，再根據(jù)完全平方公式寫成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根據(jù)配方法得出兩個完全平方式，再根據(jù)兩個非負數(shù)的和為0時，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負性即可得到當(dāng)x、y為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；【詳解】（1）解：原式=；故答案為：（2），，，解得：，、、是的三邊長，，又是整數(shù)，；邊長的最小值是5；（3），，；，當(dāng)時,即時，取得最大值為16．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．13．我們約定：若關(guān)于的整式與同時滿足：，，則稱整式A與整式互為“美美與共”整式．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于的整式與互為“美美與共”整式，求k，m，n的值．(2)若關(guān)于x的整式，（a，b為常數(shù)），M與互為“美美與共”整式，且是的一個因式，求的值；(3)若，且關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，求的“美美與共”整式，并求出的最小值．【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2．(2)(3)或，最小值為或【分析】題目主要考查整式的乘法運算及因式分解，解分式方程等，熟練掌握因式分解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到即可解答；（2）根據(jù)題意得出，再由是的一個因式，進行因式分解確定，即可求解；（3）根據(jù)因式分解得出，再由分式方程的解確定或，即可分情況得出Q，然后配方確定最小值即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（2），∵整式，（a，b為常數(shù)），M與互為“美美與共”整式，∴，∴，∵是的一個因式，∴，∴，∴；（3），∴，得，∵關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，∴或，∴或，∴，或∴最小值為或．14．某果園實驗基地推廣甲、乙兩種芒果苗，已知乙種芒果苗比甲種芒果苗每株貴元，且用元錢購買甲種芒果苗的株數(shù)與用元錢購買乙種芒果苗的株數(shù)剛好相同．(1)求甲、乙兩種芒果苗每株的價格；(2)果農(nóng)準(zhǔn)備從甲、乙兩種芒果苗中選購一種，已知購買數(shù)量相同且數(shù)量不少于株，該果園實驗基地負責(zé)人可給予以下優(yōu)惠：購買甲種芒果苗每株按原售價九折優(yōu)惠；購買乙種芒果苗，不多于株按原售價付款不優(yōu)惠，超過株每株按原售價五折優(yōu)惠請幫助果農(nóng)判斷購買哪種芒果苗更省錢．(3)果農(nóng)計劃購買甲、乙兩種芒果苗共株調(diào)查統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩種芒果苗的成活率分別為、，要使這批芒果苗的成活率不低于，且使購買芒果苗的費用最低，應(yīng)如何選購芒果苗？最低費用是多少？【答案】(1)甲果苗的單價為元，乙果苗的單價為元(2)當(dāng)購買果苗數(shù)量超過株時，買乙果苗省錢；當(dāng)購買果苗數(shù)量少于株時，買甲果苗省錢；當(dāng)購買果苗數(shù)量等于株時，買甲或乙果苗一樣錢；(3)購買甲果苗株．乙果苗株時費用最低為元【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的實際應(yīng)用銷售問題．（1）設(shè)甲種芒果苗每株元，則乙種芒果苗每株，根據(jù)題干：用元錢購買甲種芒果苗的株數(shù)與用元錢購買乙種芒果苗的株數(shù)剛好相同，列分式方程，解方程即可；（2）設(shè)果農(nóng)購買芒果苗株，買甲果苗費用為，乙果苗費用為，由題意寫出，的解析式，分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，即可求解；（3）設(shè)果農(nóng)計劃購買甲芒果苗共株，則買乙果苗株，總費用為元，寫出W的解析式，根據(jù)題干：甲、乙兩種芒果苗的成活率分別為、，要使這批芒果苗的成活率不低于，列不等式，得到n的取值范圍，最后根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可得到適合題目的n值，進而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲種芒果苗每株元，則乙種芒果苗每株，根據(jù)題意可得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，是原方程的解，則元，甲果苗的單價為元，乙果苗的單價為元；（2）解：設(shè)果農(nóng)購買芒果苗株，買甲果苗費用為，乙果苗費用為，，則，，即，，當(dāng)時，則，解得：，當(dāng)購買果苗數(shù)量超過株時，買乙果苗省錢；當(dāng)時，則，解得：，當(dāng)購買果苗數(shù)量少于株時，買甲果苗省錢；當(dāng)時，則，解得：，當(dāng)購買果苗數(shù)量等于株時，買甲或乙果苗一樣錢；（3）解：設(shè)果農(nóng)計劃購買甲芒果苗共株，則買乙果苗株，總費用為元，由于沒有超過株，則，即，甲、乙兩種芒果苗的成活率分別為、，要使這批芒果苗的成活率不低于，，解得：，，，隨的增大而減小，當(dāng)時，取最小值為元，購買甲果苗株．乙果苗株時費用最低為元．15．已知，關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)，時，求分式方程的解；(2)當(dāng)時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【分析】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【詳解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，檢驗：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，①當(dāng)時，即，原分式方程無解；②當(dāng)時，得，Ⅰ.時，原分式方程無解，即時，此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即時，此時b=5；綜上所述，時，分式方程無解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，，解得：，∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．【點睛】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點掌握．16．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點B、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論________________；（寫出一對即可）上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對題目時我們也會“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．當(dāng)時，連接，試判斷線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測線段和線段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構(gòu)造與全等的三角形來解決問題．請你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．【拓展延伸】（3）如下圖，中，當(dāng)時，點D、E為、上的點，，，若，，求線段的長．

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）利用證明即可；（2）過點作平分交于，先證明四邊形是平行四邊形，可得，再證明是等邊三角形，推出，再證得即可；（3）設(shè)，以、為邊作，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，可得是等邊三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖1，

和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2）如圖2，過點作平分交于，

四邊形中，，，，，，平分，，，，，四邊形是平行四邊形，，平分，，，是等