【學(xué)生版】微專題：函數(shù)圖像自身的對(duì)稱【主題】1、一個(gè)函數(shù)圖像本身的對(duì)稱性（自對(duì)稱性）；2、在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A1、A2對(duì)稱的幾何特征與對(duì)應(yīng)的代數(shù)特征；兩點(diǎn)A1、A2對(duì)稱的幾何特征對(duì)應(yīng)的代數(shù)特征兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱A1(x,y)、A2(－x,－y)兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于有軸對(duì)稱A1(x,y)、A2(－x,y)兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于軸對(duì)稱A1(x,y)、A2(x,－y)3、關(guān)于函數(shù)圖像的常用結(jié)論（1）函數(shù)圖像自身的軸對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?f(x)＝f(－x)；（2）函數(shù)圖像自身的中心對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?f(x)＝－f(－x)；【典例】題型1、利用對(duì)稱性畫圖例1、作出下列函數(shù)的圖像；（1）；（2）；【提示】；【解析】【說明】作函數(shù)圖像一般有兩種方法：直接法、描點(diǎn)法、圖像變換法；特別是圖象變換法，有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換，要記住它們的變換規(guī)律；要熟練掌握基本函數(shù)圖像的畫法，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。題型2、利用對(duì)稱性識(shí)圖例2、函數(shù)的大致圖像是（）B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】；【說明】。題型3、驗(yàn)證：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是：例3、函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是：函數(shù)滿足【提示】；【證明】【說明】；題型4、驗(yàn)證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：。例4、函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：?！咎崾尽?；【證明】【說明】；題型5、利用充要條件判別圖形特征例5、函數(shù)的圖像的對(duì)稱性為（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例6、函數(shù)的大致圖像為（）A．B．C． D．【提示】；【答案】；【解析】【歸納】關(guān)于函數(shù)圖像常用結(jié)論1．函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱：f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；2．函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱f(－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；【即時(shí)練習(xí)】1、函數(shù)的圖像大致為下圖的（）2、函數(shù)y＝x|x|的圖象經(jīng)描點(diǎn)確定后的形狀大致是()3、函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關(guān)于對(duì)稱。4、在平面直角坐標(biāo)系中,若直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),則的值為_____.5、直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。6、畫出函數(shù)f(x)＝eq\f(x·2x,|x|)的大致圖像；【教師版】微專題：函數(shù)圖像自身的對(duì)稱【主題】1、一個(gè)函數(shù)圖像本身的對(duì)稱性（自對(duì)稱性）；2、在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A1、A2對(duì)稱的幾何特征與對(duì)應(yīng)的代數(shù)特征；兩點(diǎn)A1、A2對(duì)稱的幾何特征對(duì)應(yīng)的代數(shù)特征兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱A1(x,y)、A2(－x,－y)兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于有軸對(duì)稱A1(x,y)、A2(－x,y)兩點(diǎn)A1、A2關(guān)于軸對(duì)稱A1(x,y)、A2(x,－y)3、關(guān)于函數(shù)圖像的常用結(jié)論（1）函數(shù)圖像自身的軸對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?f(x)＝f(－x)；（2）函數(shù)圖像自身的中心對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?f(x)＝－f(－x)；【典例】題型1、利用對(duì)稱性畫圖例1、作出下列函數(shù)的圖像；（1）；（2）；【提示】注意：先根據(jù)解析式研究函數(shù)的對(duì)稱性；【解析】（1）由不妨設(shè)，而，所以，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，作出的圖像，再將的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，即得的圖像，如圖中實(shí)線部分；（2）由不妨設(shè)，且，所以，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，原函?shù)可化簡(jiǎn)為，先用描點(diǎn)法作出上的圖像，再根據(jù)對(duì)稱性作出上的圖像，即得函數(shù)的圖像，如圖：【說明】作函數(shù)圖像一般有兩種方法：直接法、描點(diǎn)法、圖像變換法；特別是圖象變換法，有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換，要記住它們的變換規(guī)律；要熟練掌握基本函數(shù)圖像的畫法，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。題型2、利用對(duì)稱性識(shí)圖例2、函數(shù)的大致圖像是（）B．C．D．【提示】注意：依據(jù)解析式分析函數(shù)的圖像特征；【答案】C；【解析】不妨設(shè)，則，所以，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由已知，原函數(shù)可變形為：，所以，答案為：C；；【說明】本題主要考查由指數(shù)函數(shù)進(jìn)行的絕對(duì)值變換，一般地，通過去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，每段用基本函數(shù)研究，對(duì)稱區(qū)間上的圖像，則由對(duì)稱性研究。識(shí)圖：對(duì)于給定的函數(shù)的圖像，要留意它們的變化趨勢(shì)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及一些特殊點(diǎn)，特別是對(duì)稱性等特點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視。題型3、驗(yàn)證：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是：例3、函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是：函數(shù)滿足【提示】注意：用集合觀點(diǎn)理解“函數(shù)圖像”；【證明】（充分性）由“函數(shù)滿足”；不妨設(shè)函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，則滿足，又因?yàn)闈M足，則有，則也在函數(shù)的圖像上，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；（必要性）由“函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”；不妨設(shè)函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，則滿足，而點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，則，所以；綜上，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是：；【說明】本題的證明，既驗(yàn)證了結(jié)論；又體驗(yàn)了證明圖像關(guān)于軸對(duì)稱的代數(shù)方法；題型4、驗(yàn)證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：。例4、函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：?！咎崾尽孔⒁猓河眉嫌^點(diǎn)理解“函數(shù)圖像”；【證明】（充分性）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則(*)；因?yàn)椋?，?*)，得；所以，點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，充分性得證；（必要性）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則(*)；因?yàn)?，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在圖像上，所以，，即(**)由(*)，(**)，得，必要性得證?！菊f明】本題的證明，既驗(yàn)證了結(jié)論；又體驗(yàn)了證明圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的代數(shù)方法；題型5、利用充要條件判別圖形特征例5、函數(shù)的圖像的對(duì)稱性為（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【提示】注意：分析與判斷函數(shù)解析式的代數(shù)特征；【答案】B；【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱；故選：B；【說明】注意：在保證有意義的前提下，先化簡(jiǎn)再判斷；例6、函數(shù)的大致圖像為（）A．B．C． D．【提示】先“分解”已知函數(shù)為“若干”個(gè)初等函數(shù)；【答案】D；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，所以，圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（或，根據(jù)“選擇題”特點(diǎn)，取特殊值，當(dāng)時(shí)，，排除B和C；當(dāng)時(shí)，，排除A；）故選：D.【歸納】關(guān)于函數(shù)圖像常用結(jié)論1．函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱：f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；2．函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱f(－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；【即時(shí)練習(xí)】1、函數(shù)的圖像大致為下圖的（）【答案】A2、函數(shù)y＝x|x|的圖象經(jīng)描點(diǎn)確定后的形狀大致是()【答案】A；【解析】y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>0,0，x＝0,－x2，x<0))為奇函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．3、函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關(guān)于對(duì)稱?！敬鸢浮縴軸；【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)＝ex＋e－x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；．4、在平面直角坐標(biāo)系中,若直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),則的值為_____.【答案】【解析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),作出與的大致圖像，如下圖:由題意可知.5、直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍?！窘馕觥縴＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0，,x2＋x＋a，x<0，))作出圖象，如圖所示．此曲線與y軸交于點(diǎn)(0，a)，最小值為a－eq\f(1,4)，要使y＝1與其有四個(gè)交點(diǎn)，只需a－eq\f(1,4