小題壓軸專練18—立體幾何（線面角1）一．單選題1．正四面體中，在平面內(nèi)，點是線段的中點，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角的余弦值不可能是A． B． C． D．12．如圖，在矩形中，，，、分別為邊，的中點，沿將折起，點折至處與不重合），若、分別為線段，的中點，則在折起過程中，A．可以與垂直 B．不能同時做到平面且平面 C．當時，平面 D．直線、與平面所成角分別為，，，能夠同時取得最大值3．正四面體，在平面內(nèi)，點是線段的中點，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角不可能是A．0 B． C． D．4．如圖，在菱形中，，，分別是邊，的中點，現(xiàn)將沿著對角線翻折，則直線與平面所成角的正切值最大值為A． B． C． D．5．在正方體中，，分別為棱，的中點，為側(cè)面內(nèi)一個動點．若平面，則與平面所成角的正切值的最大值為A． B．1 C．2． D．6．已知棱長為2的正四面體，點為上一定點，，點為棱上的動點，設(shè)與平面所成的角為，則的最小值是A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，點，分別為棱，的中點，點為上底面的中心，過，，三點的平面把正方體分為兩部分，其中含的部分為，不含的部分為，連結(jié)和的任一點，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為A． B． C． D．8．在正方體中，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是A． B． C． D．二．多選題9．在正方體中，點為線段上一動點，則A．對任意的點，都有 B．三棱錐的體積為定值 C．當為中點時，異面直線與所成的角最小 D．當為中點時，直線與平面所成的角最大10．已知正方體棱長為2，如圖，為上的動點，平面．下面說法正確的是A．直線與平面所成角的正弦值范圍為 B．點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大 C．點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形 D．已知為中點，當?shù)暮妥钚r，為的中點11．已知圖1中，，，，是正方形各邊的中點，分別沿著，，，把，，，向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖2所示的多面體，則A．是正三角形 B．平面平面 C．直線與平面所成角的正切值為 D．當時，多面體的體積為12．如圖，正三棱柱的側(cè)面是邊長為2的正方形、分別是、的中點，則下列結(jié)論成立的是A．直線與直線是異面直線 B．直線與平面不平行 C．直線與直線所成角的余弦值等于 D．直線與平面所成角的正弦值等于三．填空題13．如圖，在多面體中，已知棱，，兩兩平行，底面，，四邊形為矩形，，底面內(nèi)（包括邊界）的動點滿足，與底面所成的角相等．記直線與底面的所成角為，則的取值范圍是．14．如圖，，平面外有一點，，點到角的兩邊，的距離都等于，則與平面所成角的正切值為．15．如圖，三棱錐中，，，，，，．點在棱上且，則直線與平面所成的角是．16．如圖，正方體的頂點在平面上，若和與平面都成角，則與平面所成角的余弦值為．

小題壓軸專練18—立體幾何（線面角1）1．解：平面繞著旋轉(zhuǎn)，其垂線也繞著旋轉(zhuǎn)，如右圖，取中點，連結(jié)，則，等價于平面繞著旋轉(zhuǎn)，設(shè)正四面體中棱長為2，在中，，，，如右圖，將問題抽象為幾何模型，平面的垂線可視為圓錐的底面半徑，繞著圓錐的軸旋轉(zhuǎn)，則，，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角的余弦值不可能是．故選：．2．解：對于，連接，假設(shè)，又，平面，而，錯誤；對于，取，中點，，連接，，，．，，，．平面平面，平面平面，故能同時做到平面且平面．錯誤；對于，連接，，當時，，而，與不垂直，即不垂直平面，錯誤；對于，在以為直徑球面上，球心為，軌跡為△外接圓與不重合），連接，取中點連接，，，，，直線、與平面所成角取得最大值時，點到平面的距離最大．正確．故選：．3．解：由正四面體，可得所有棱長都相等．①點是線段的中點，．在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與平面所成角不可能是．反證法：若直線與平面所成角是，則平面．則在某一過程必有．事實上，在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，與是不可能垂直的，因此假設(shè)錯位，于是直線與平面所成角不可能是．②在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，當時，可得直線與平面所成角為0．③如圖所示的正四面體．作平面，垂足為．則，，三點在同一條直線上．設(shè)直線與平面所成的角為，可得．．于是可得在該四面體繞旋轉(zhuǎn)的過程中，可得直線與平面所成角為，．綜上可得：直線與平面所成角不可能是．故選：．4．解：設(shè)菱形的邊長為4，當繞旋轉(zhuǎn)時，中點形成的軌跡為：以的四等分點為圓心，以為半徑的圓，過引底面的垂線，垂足為，由題意得點在上，為的中點，設(shè)，，則，，，結(jié)合圖得是直線與平面所成角，，設(shè)，則，由，得或（舍，當時，，當，時，，當時，．直線與平面所成角的正切值最大值為．故選：．5．解：如圖，取中點，連結(jié)，，，，平面平面，由平面平行性質(zhì)得必在線段上，平面，是直線與平面所成角，只要最小，則此角的正切值最大，只要，設(shè)正方體中棱長為2，則，，由面積法得，，與平面所成角的正切值的最大值為：．故選：．6．解：棱長為2的正四面體，點為上一定點，，設(shè)，，則，設(shè)到平面的距離為，則，解得，，當時，的最大值為，此時的最小值為：．故選：．7．解：連結(jié)．因為平面．所以過的平面與平面的交線一定是過點且與平行的直線．過點作交于點，交于點，則，連結(jié)，．則平行四邊形即為截面．則五棱柱為，三棱柱為，設(shè)點為的任一點，過點作底面的垂線，垂足為，連結(jié)，則即為與平面所成的角，所以．因為，要使的正弦值最大，必須最大，最小，當點與點重合時符合題意．故．故選：．8．解：如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，0，，，2，，，2，，，2，，，2，，設(shè)，，，，，在正方體中，因為平面，所以，又，所以平面，即是平面的法向量，，則，因為，所以．故選：．9．解：連接，，，在正方體中，底面正方形中，，又平面，平面，則，又，所以平面，又平面，則，同理可證且，則平面，又點在上，則平面，故，故選項正確；設(shè)點到平面的距離為，由等體積法，因為平面，所以，則為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項正確；在上取點，使得，因為，且，所以，且，則四邊形為平行四邊形，又平面，又平面，則，故四邊形為矩形，過作交，分別于點，，又平面，平面，則，又為與所成的角，又因為，，則為與所成的角，設(shè)為，設(shè)正方體的棱長為1，，則，則，當時，，因為，所以，故當，即時，取最小值，則取最小值，這時與重合，當時，與重合，此時，綜上所述，當與重合時，異面直線與所成的角最小，故選項錯誤；當為的中點時，為的中點，為的中點，又因為與平面所成的角為，設(shè)，則，又，故當時，取得最小值，則取得最大值，故最大，所以當為中點時，直線與平面所成的角最大，故選項正確．故選：．10．解：對于選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點，0，、，2，，設(shè)點，2，，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，選項正確；對于選項，當與重合時，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知△是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為．設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則△的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，選項錯誤；對于選項，設(shè)平面交棱于點，0，，點，2，，，平面，平面，，即，得，，0，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，1，，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，選項正確；對于選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：若最短，則、、三點共線，，，，所以，點不是棱的中點，選項錯誤．故選：．11．解：取，的中點，，連結(jié)，，在圖1中，因為，，，是正方形各邊的中點，則，因為為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，在圖1中，設(shè)正方形的邊長為，可得四邊形的邊長為，在圖1中，和均為等腰直角三角形，可得，所以，故四邊形是邊長為的正方形，因為，分別為，的中點，則且，，所以四邊形為矩形，所以，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，，，，，，0，，，，，，0，，對于選項，由空間中兩點間的距離公式可得，所以是正三角形，故選項正確；對于選項，，設(shè)平面的法向量為，則由，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，所以，所以平面與平面不垂直，故選項錯誤；對于選項，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，故，故選項正確；對于選項，以為底面，以為高將幾何體補成長方體，則，，，分別為，，，的中點，因為，即，則，長方體的體積為，，因此多面體的體積為，故選項錯誤．故選：．12．解：在中，平面，平面，，由異面直線判定定理得直線與直線是異面直線，故正確；在中，由題意知正三棱柱的所有棱長都為2，是邊長為2的正三角形，且，，且，平面平面，平面平面，平面，取中點，連結(jié)，則在正方形中，，以為坐標原點，直線、、分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，則，0，，，2，，，，，，1，，，根據(jù)向量共面定理，可知與、共面，，平面，平面，故錯誤；在中，，0，，，，，直線與直線所成角的余弦值為：，故正確；在中，，1，，平面的法向量，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：，故錯誤．故選：．13．解：由題意，動點滿足，與底面所成的角相等．底面，連接，，可得，又，可得，以原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向建立平面直角坐標系，則．，，則，整理得，令，解得或3，令，解得，即此圓底面內(nèi)（包括邊界）交于一段弧，弧的端點分別為距近的線段的三等分點及上距點距離為處，設(shè)此兩點分別是，，如圖：根據(jù)圖形可知，當點與點重合時，直線與底面的所成角最小，當點與點重合時，直線與底面的所成角最大，在直角三角形中，可得，，故，即，整理得，即的取值范圍是，故答案為：．14．解：由題意，過點做面于點，連接，，，則即與平面所成角，點到角的兩邊，的距離，都等于由面可得，又到角的邊的距離，可得，面，所以，同理可證得，又由題設(shè)條件可得，從而可得，故是角平分線，在中，，，由公股定理得，在中，，所以又，解得，在中，由公股定理解得，，故答案為．15．解：由，，，可得，，，，，即，把底面補形為矩形，連接，由，，，得平面，平面，則，，，，，在