2023—2024學年湖南省株洲市天元區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.2023的倒數(shù)是（）

A.2023B.-2023

20232023

2.以下是清華大學、北京大學、上海交通大學、浙江大學的?；眨渲惺禽S對稱圖形的?。?/p>

3.下列運算正確的是()

A.2m+3m=5m2B.”

C.(m+7尸=m2+49D.(m—3n)(m+3n)=nr—!)/)?

4.2023年5月30日上午，我國載人航天飛船“神舟十六號”發(fā)射圓滿成功，與此同時，中國載人航天辦

公室也宣布計劃在2030年前實現(xiàn)中國人首次登陸距地球平均距離為3N.I萬千米的月球.將384000用科學

記數(shù)法表示應為（）

A.38,4x1()4B.3.84x1(PC.3.?4x1()"D.0.384x10)'

5.如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別在M、N

的位置上，EM與BC的交點為G,若/EFC=125°,則N1-（）

A.

B.55°

C.7(r

D.65°

6.某校足球社團有50名成員，下表是社團成員的年齡分布統(tǒng)計表，對于不同的x,下列關于年齡的統(tǒng)計量

不會發(fā)生改變的是（）

年齡：單位：歲1314151617

頻數(shù)單位：名1215X11」9

A.平均數(shù)、中位數(shù)B,平均數(shù)、方差C.眾數(shù)、中位數(shù)D.眾數(shù)、方差

第1頁，共24頁

7.劉徽在《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學發(fā)展

史上圓周率研究的新紀元.某同學在學習“割圓術”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形.若0。

的半徑為1,則這個圓內(nèi)接正八邊形的面積為()

A.7FB.2"C._D.2\/2

8.已知二次函數(shù)"=a/+b.r+c(a#0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

4

A.a>0B.3是方程ai+br+c=0的一個根

C.“+b+,=oD.當r<1時，y隨x的增大而減小

9.如圖，矩形O4BC的邊O4,0C分別在x軸、y軸的正半軸上，點。在。4Ay

的延長線上，若12,0),0(4.0),以。為圓心、長為半徑的弧經(jīng)過點8,

交y軸正半軸于點E,連接。E,8E,則./的度數(shù)是()\\

A.序N,

B.22.5。丁

C.3()

D.45c

10.如圖，Rt△八/?「中，/BAC=<)0,ccsB-點。是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等

4

(‘E

腰三角形ADE,使乙4?！?//3,連結(jié)CE,則大的值為()

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B

DC

B.瓜

C,小

2

D.2

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.若y/?"有意義，則X的取值范圍.

12.因式分解：T:,-1J-.

13.已知二次函數(shù)y=-2"-2)2+3的頂點坐標是，

14.如圖，BD=0D,乙B-38,則NAOO的度數(shù)為.

15.新定義：［a,b,c］為二次函數(shù)？=ar>+b>r+c(arO.a.加c為實數(shù)I的"圖象數(shù)"，如：y=r2-2x+3

的“圖象數(shù)”為［1,-2,同,若“圖象數(shù)”是［m,2m+4,2m+4］的二次函數(shù)的圖象與X軸只有一個交點,

則m的值為.

16.已知：如圖，菱形0A8C在直角坐標系中，A點的坐標為(1(),()),對角線

OB、AC相交于。點，雙曲線|/=：">0)經(jīng)過。點，交BC的延長線于E點，_yC____?

且(〃L,4C=16(),有Bl四個結(jié)論，其中正確的緒侖是.

①雙曲線的解析式為V=—(.T>());

@sinZ.COA=:；

5

③E點的坐標是”,8)；

@.\（'+（）3=12\/5.

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三、計算題：本大題共1小題，共6分。

17.先化簡，再求值：（1_」-）「J'+,其中『―3.

X+1J+1

四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題6分）

計算：（：）、（開-l）"+2sin60.

19.（本小題8分）

如圖，無人機愛好者小明在家附近放無人機，當無人機飛行到小明頭頂一定高度D點處時，無人機測得樓

房BC頂端點C處的俯角為3（）,已知小明A和小區(qū)樓房BC之間的距離為36米，樓房BC的高度為12四

米.

（1）求此時無人機離地面的高度;

（2）在（1）條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于A8的方向，并以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，問:

經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開了小明的視線？（假定點A,B,C,。都在同一平面內(nèi)）

20.（本小題8分）

2023年10月26日“神州十七號”成功發(fā)射，展示了國家科技實力的飛躍.某校為了培養(yǎng)學生對航天知識

的學習興趣，組織全校800名學生進行了“航天知識競賽”,活動組織部門從中隨機抽取了"名學生的競賽

成績；滿分100分，每名學生的成績記為x分，分成八組、B組、C組、。組，并得到如下不完整的頻數(shù)

分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

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（1）”的值為.

（2）扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為.

（邛若規(guī)定學生競賽成績工》80為優(yōu)秀，請估算全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

21.（本小題8分）

2023年12月8日，中國國際軌道交通和裝備制造產(chǎn)業(yè)博覽會在株洲國際會展中心開幕，株洲為此次展出

推出30多款具有株洲特色的文創(chuàng)產(chǎn)品,某商家用3200元購進了一批文創(chuàng)品，上市后供不應求：商家又用

7200元購進了第二批這種文創(chuàng)品，所購數(shù)量是第一批購進量的2倍，但每件貴了10元.

U?該商家購進的第一批文創(chuàng)品單價是多少元.

:：若兩批文創(chuàng)品按相同的標價銷售，最后剩下20件按標價八折優(yōu)惠賣出，若兩批文創(chuàng)品全部售完利潤不

低于3520元不考慮其他因素L那么每件文創(chuàng)品的標價至少是多少元？

22.（本小題8分）

如圖，在平行四邊形ABC。中，過點B作/3/7”?。于E,F為AE上一點，且/8FE=/0.

（1）求證：△/ISFs△￡二￡）；

⑵若AB=6,AD=4,=,求8F的長.

第5頁，共24頁

23.（本小題8分）

如圖，在△ABC中，^ABC=￡ACB,以AB為直徑的,。交BC于點。，點P在BC的延長線上，且

Z.BAC=2ZP.

UI求證：直線AP是?。的切線；

3

⑵若12,tanP=,求;?O的半徑長及sin/P4「的值.

24.（本小題10分）

如圖，點A/S.1）為反比例函數(shù)U-；的圖象在第一象限內(nèi)一點，在x軸正半軸上有一點C,且OC—6,

連接OM,CM且（〃/—（1/,在y軸上有一點.1（。.2）,直線AM交x軸于點8.

川求反比例函數(shù)的表達式；

⑵設點P（0,f）（t>0）是y軸上一動點，過點P作PQIIV交直線AM于點Q,連接BP,設

T=瓜PQ-BP2,

①用含t的代數(shù)式表示了；

②求丁取最大值時P點坐標.

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25.(本小題10分)

如圖，拋物線“="/+.r+c(">0)與x軸交于」(-2,0),8(1.0)兩點，與y軸負半軸交于點「

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點。是拋物線上第三象限內(nèi)的一點，連接C。，若/4。。=30”,求點。的坐標；

I.11

(3)如圖2,經(jīng)過定點P作一次函數(shù)y=hr+g-2與拋物線交于M,N兩點，試探究不亍+不是否為定

2r1y1riv

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答案和解析

1.【答案】。

【解析】解：2023的倒數(shù)是.蒜.

故選：I).

乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案.

本題考查倒數(shù)，關鍵是掌握倒數(shù)的意義.

2.【答案】B

【解析】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

8、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

。、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

利用軸對稱圖形定義進行解答即可.

此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

這個圖形叫做軸對稱圖形.

3.【答案】D

【解析】解：A、2m+3m=5m,故A不符合題意；

8、〃3.〃產(chǎn)=,小，故B不符合題意；

C,(m.4-7)2=m2+14m+49,故C不符合題意；

D、(m-3n)(m+3n)=m2-9n2,故。符合題意；

故選：I).

利用合并同類項的法則，同底數(shù)賽的乘法的法則，完全平方公式，平方差公式對各項進行運算即可.

本題主要考查整式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

4.【答案】B

【解析】解：384000=3.84x105,

故選：D.

利用科學記數(shù)法表示大數(shù).

本題考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵是掌握科學記數(shù)法的表達形式.

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5.【答案】C

【解析】解：?.?長方形對邊AD〃BC,

乙DEF+AEFC=180°,

乙DEF=1800-Z.EFC=180°-125"=55°,

由翻折的性質(zhì)得：/DEF=Z.MEF=55°,

.-.Z1=180°-55°x2=70°,

故選：（'.

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得/。￡/+/￡/。=180°,再根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角的定義列式計算,

即可求出/I.

本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為j+14—工=14,而14歲人數(shù)有15人,

故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，

中位數(shù)為：（14+14）+2=1川歲i.

即對于不同的X,關于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù).

故選：（,.

由頻數(shù)分布表可知年齡15歲和年齡16歲的兩組的頻數(shù)和為14,即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第25、26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案.

本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本,熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、

眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關鍵.

7.【答案】D

【解析】解：如圖，過A作」CUO/?于C,ZT/X

??.圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為p=45,OA=1,

0

y/2

AC=OC=^-，

1ig

**.e=5X1x—=--，

X~B

,這個圓的內(nèi)接正八邊形的面積為8x乎=20,

故選：D.

如圖，過A作八C..L08于C,得到圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為絆■=45",

根據(jù)三角形的面積公式即可

O

第9頁，共24頁

得到結(jié)論.

本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】【分析】

此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是從拋物線中的得到正確信息.

二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，根據(jù)對稱軸和與x軸的一個交點可以判斷B,根據(jù)對稱軸對

應的函數(shù)值可以判斷C,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷〃

【解答】解：.1.因為拋物線開口向下，因此“<(),故此選項錯誤；

8.根據(jù)對稱軸為/=1,一個交點坐標為(-1.0)可得另一個與x軸的交點坐標為二山因此3是方程

“/+br+c=0的一個根，故此選項正確；

C.把J-I代入二次函數(shù)//=or?+bi+c(a#O)中得y—a+b+c,由圖象可得，y>0,故此選項錯誤;

。.當r<l時，y隨X的增大而增大，故此選項錯誤；

故選：B.

9.【答案】C

【解析】解：如圖，連接OB,』

.1(2.0),/)(4.())，矩形OABC,

OA=2,01)=4=013,

：.ZOBA=30°,

Dx

：.4BOD=9()-30'=60,I

ABED=^BOD=1x60n=30。，

故選：(,.

連接OB,根據(jù)直角三角形的邊角關系可求出.，/〃)C=3(r,進而求出/BOO=6()最后再由圓周角定理

得出答案.

本題考查圓周角定理及其推論，直角三角形的邊角關系，掌握圓周角定理及其推論是解決問題的前提.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是證明

EA=EC=ED,屬于中考常考題型.

設。E交AC于丁，過點E作￡〃.0/)于"首先證明ED￡。，再證明N8=N￡C。，可得結(jié)論.

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【解答】

解：設DE交AC于丁，過點E作￡〃.「/）于從

aAC=9()c,BD二DC,

.?.AD=DU=DC,

.?.N3=

：^B=￡ADE,

/.LDAB=」/)/一,

.AB//DE,

.../)/C=Z/MC=90,

“/」〃，BD二DC,

/.AT-TC,

：.EA=EC=ED,

.JEDC="：("),

「EH1CD,

:.('H=/)//,

?/DE//AB,

二/EDC=NB,

/.Z.ECD=Z?,

j.cos/AY7/=cosB=-

49

CH_1

'EC=A9

ECEC日

,-------------2.

ADCD

故選：D

IL【答案】，22

【解析】【分析】

本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式有意義的條件為被開方數(shù)為非負數(shù)，即當〃/。時\〃有意義;

若含分母，則分母不能為M根據(jù)二次根式有意義的條件得到，-220,然后解不等式即可.

【解答】

解：：y/工一2有意義,

X-2>0,

第11頁，共24頁

故答案為j，2.

12.【答案】x(x+2)(x-2)

【解析】【分析】

首先提取公因式x,進而利用平方差公式分解因式得出即可.

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵.

【解答】

解：J-3-4工

=r(r2-4)

=x(x+2)(工-2).

故答案為：工(工+2)3-2).

13.【答案】(2,3)

【解析】解：二次函數(shù)"=—2"—2產(chǎn)+3的頂點坐標為2；力，

故答案為：(2,3).

根據(jù)二次函數(shù)的頂點式的特點求解即可

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)"=?(./--h)-+k的頂點坐標為

14.【答案】28°

【解析】解：—()0,48=38：

Z.DOB=ZB=38°,

=2/3=76°,

由題意可得：

Z.ADO=Z.DAO=76°,

Z.AOD=180°-2Z.ADO=28°,

故答案為：八

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，。OB=NB=38°,利用三角形外角的性質(zhì)可得：/ADO=2/B=76,,即

可求解.

此題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟

練掌握相關基礎知識.

15.【答案】-2或2

第12頁，共24頁

【解析】解：由題意得：二次函數(shù)的解析式為y=mM+(2m+4)；r+2m+4,

△=(2m+4)2—4m(2m+4)=0,

解得：--2,m2=2,

故答案為：—2或2.

根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為"=nu-2+(2m+4).r+2m+1,然后根據(jù)判別式的意義得到

△=(2/n+4)2-4r?(2;?+4)=(),從而解m的方程即可.

本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)u=a/+bT+c(a,Ac是常數(shù)，a#0)與x軸的交點坐標

問題轉(zhuǎn)化為解關于X的一元二次方程.

16.【答案】②③④

【解析】解：過點B作/H/l.r軸于點M,如圖所示，

4點的坐標為“(),()),

OA=10,

1?四邊形OABC為菱形，且160,

S^OAB-QA-BM—"8-AC-4(),AH=OA=10,

DM=8,

在中，AB=10,BM=8,

AM=x/AB2-BM2=6，

/.OM=OA+AM=1(),

.1.0(8.1),

,點1，在雙曲線沙=分工>())上，

X

11,解得：k=32,

o

32

:雙曲線的解析式為1/=亍(I>0),故①不正確;

第13頁，共24頁

1?點E在雙曲線“=j上，且E的縱坐標為8,

F(l>：,故③正確；

四邊形0ABe為菱形，

;.AB//0C,

：.Z.C0A=Z.BAM,sinZ.COA=sinZ.BAM=p=V2，故②正確;

Ao1()5

在RtAOB.U中，BA/=8,0.1/16,

OB=+OA/2=g瓜,

OB-AC=160,

AC=4\/5,08+47=12/5,故④正確,

綜上可知：②③④正確，

故答案為：②③④.

過點B作HMI/軸于點M,結(jié)合菱形的性質(zhì)以及三角形的面積公式找出點的坐標即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及勾股定理再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標

特征求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關鍵.

3x.(x-2)2

17.【答案】解：原式=(匚匕1

>+1X+1?z+1

_X—2N+1

-X+1-(X_2)2

1

=J--2'

當『=3時，

原式==L

<5—2

【解析】先算小括號里面的，然后算括號外面的，最后代入求值.

本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序和計算法則是解題關鍵.

18.【答案】解：原式4-1+2”漁,

=3+v/3.

【解析】先求負整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)暴和特殊角的三角函數(shù)值，然后進行加減運算即可.

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)累，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地化簡各式是解題的

關鍵.

第14頁，共24頁

19.【答案】解：（1）延長BC交。F于點E,

則/DEC=伙)，AD=BE,AB=DE=36米，/COE=3(),

在RtZXCOE中，CE=￡>E.tan30°=36x爛=12\/3i米，

3

AD=BE=BC+CE=12>/3+12^3=24v/3(米,

,此時無人機離地面的高度為米；

(2)延長AC交DF于點G,

ZCAB=30,

/.DAB=90°,

ADAC=^DAB-Z.CAB=6(『,

在RtZSAOG中，AD=24g米，

第15頁，共24頁

DG=AD'tan60°=24\/3x—72（米）,

72+1=18(秒)，

:經(jīng)過18秒時，無人機剛好離開了小明的視線.

【解析】(1)延長BC交DF于點E,則./"：C=90°,.40=BE,AB=0E=36米，Z.CDE=30°,

在RtACDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出:E的長，然后根據(jù)AO=3E=3。+「/：',進行計算即

可解答；

(2)延長AC交OF于點G,在Rm/3中，利用銳角三角函數(shù)的定義求比C4B=30°,從而可得

ZDAC=6()',

然后在RtZVIOG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求明G的長，最后進行計算即可解答.

本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題

的關鍵.

20.【答案】8144

【解析】解：（1加=24+30%=80,

?.?=80x10%=8,

故答案為：8；

32

(2)扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為360,x^=144,

oU

故答案為：144；

(3)6=80-(8+24+32)=16,

32+16

全校競賽成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù)約為0()xf=480(人).

UI由B等級人數(shù)及其所占百分比求出被調(diào)查的總?cè)宋铮俪艘訟等級人數(shù)所占百分比可得a的值;

⑵用3600乘以C等級人數(shù)所占比例即可；

⑶用總?cè)藬?shù)乘以C、。等級人數(shù)和所占比例即可.

本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確統(tǒng)計圖的特點和中位數(shù)

的含義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

21.【答案】解：(1)設該商家購進的第一批紀念衫單價懸元，則第二批紀念衫單價是1())元,

,，口—3200c7200

根據(jù)題意得：丁、2=丁領,

解得：/=?（）,

經(jīng)檢驗r=8()是分式方程的解，且符合題意,

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則該商家購進的第一批紀念衫單價是80元；

（2）根據(jù)（口得：第一批數(shù)量為40件，第二批為80件，

設每件紀念衫的標價是y元，

根據(jù)題意得：40y-3200+60y+20x807,ij-72（X）23520,

解得：120,

則每件紀念衫的標價至少是120元.

【解析】（1）設該商家購進的第一批紀念衫單價是x元，則第二批紀念衫單價是"+1。）元，根據(jù)購進了第

二批這種紀念衫數(shù)量是第一批購進量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

②根據(jù)得：第一批數(shù)量為40件，第二批為80件，設每件紀念衫的標價是y元，由題意列出不等式,

求出不等式的解集確定出y的最小值即可.

本題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，能列出方程是解題的關鍵.

22.【答案】（1）證明：?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

.■.AD//BC,AB/DC,

：.ZC+/.EDA=180°,ABAF=ZAED,

;NBFE=ZC,NBFE+AAFB=1?（）,

/.AFli=AEDA,

:C；

⑵解：:AB〃CD,BELCD,

：.ZABE=ZBEC=90°,

：AB=d,/.BAE=30,

：.AE=2BE,

在RtAABE中，AE*=AB2+BE1,

得AE2=36+\AE2,

解得4E=4，a（負值舍去），

BFAB

'AD=^A,

BF6

‘丁=礪，

/.BF=2X/5.

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【解析】由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合條件可得到N4FA=NE￡M,ZB.4F=LAED,據(jù)此即可證得結(jié)

論;

(2)由平行線的性質(zhì)可知NABf：=9(),在RtA/l/?A中，由含30度角直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求

得AE,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，含3。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握

相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

23.【答案】（1）證明：如圖，連接AD,

?.?AB是的直徑,

/.￡ADB=9（）,即4DLBC,

/.ABC=^ACB,

AC=AD,

AD平分/SAC,即ZB4D=Z.CAD=^BAC,

■：ABAC=2ZP,

/.BAD=N〃，

ABAD+N3=9（）。，

ZP+ZB=90°,

NBAP=1800-90=90°,

即AHAP,

■：OA是?（）的半徑，

二Fl是?。的切線；

⑵解:過點C作CE1P4,垂足為E,

CE//AB,

由（1）可得3。=CD=^BC=6,

/tanZP=；=tanABAD=--,

4AD

Al）=8,

\I3=y/AD24-BD2=10,

即0。的半徑為5；

3AB,

/tanZ.P=-j=,AB——10>

4Ax

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50

.?.PB=x/AB24-PA2

~3

PC=PB-BC=——12=—

33

：CE//AB,

EABC1218

丙=而=刊=嗝,

：,AE=^,EC=1PC=^

055

EC7

tanZ.PA(J==—.

AIL24

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可得入。是角平分線，進而得出N3+NP=90,，由三

角形的內(nèi)角和定理得出N3A〃一9（「即可；

（2）由銳角三角函數(shù)可求出AB進而得出半徑的值，求出EC,AF由銳角三角函數(shù)的定義求出答案即可.

本題考查了切線的判定，銳角三角函數(shù)，圓周角定理以及平行線分線段成比例，掌握切線的判定方法，銳

角三角函數(shù)的定義以及圓周角定理是解決問題的關鍵.

24.【答案】解：⑴過M作軸于點M

ON=NC=紗C=3,

：.1/(3.1),

HI

?.7/(；，」)在反比例函數(shù)"一：的圖象上,

“1=3x4=12,

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，反比例函數(shù)的表達式為y=—；

(2)①由(1)得：

設直線4W的解析式為//k.r-b,

則｛MH2，解得：

:直線AM的解析式為"—九一2,

當"：。時，J-=1,

二點用1.0),

PQ1AM

：.AAQP=90",

AUAO=Z.PAQ,

rBAOsf.PAQ

BAAOBO^5_2_1

-PA~AQ~PQ,即干=而=而，

VbPQ=t+2,PQ=^(t+2),依=乎(f+2),

55

BQ=AQ-AB=吧(f+2)-x/5=J⑵-1),

55

在RtZkBPQ中，BP2=PQ2+BQ2

：.T=t+2-^(t+2)2-[⑵-I)2,

整理得：T=一產(chǎn)+f+1；

②由①得T=-t2+f+1=—；了+1,

當1=:時，丁有最大值，

此時點「(“；).

【解析】(1)過M作八/\1」?軸于點M根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ON=NC=3,求出A/E1),用待

定系數(shù)法即可求解；

⑵①先根據(jù)直線解析式求出B點坐標，則OA、08、BP、AB的長度均可表示出來，由「QLLV及

二1/")=NPBQ可得△4/7()sAP〃Q,進而列出比例式可表示出PQ,進而可表示出了，

②在將丁化簡可得了取得最大值時t的值，進而求出P點坐標；

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，函數(shù)解析式的求法，一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的問題，二次函數(shù)最值情況,

熟練掌握數(shù)形結(jié)合處理函數(shù)應用問題是解題的關鍵.

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25.【答案】解：“)???拋物線“=〃/+/+「(〃>())與x軸交于.4(—2,()1,"(1.0)兩點，代入得:

(4a—24-c=0

[a+1+c=0'

解得:{W

:該拋物線的解析式為“=產(chǎn)+工一2；

,如圖1,以C為頂點，在AC下方作NACD=30°,連C。交拋物線于點D,過人作4E_LAC交CO

于E,過點￡作「『，工軸于點F,

圖1

.?〃=』+j,-2,令r=0,得”=-2,

-.0(0,-2),又.4(一2,0),

OA=OC=2,

1,△CL4C是等腰直角三角形，

?.AC=2xf2,ZOAC=45",

：ZEAC=90°,￡ACD=30c,

./C4E=9(),*

.-.ZE.4F=45°,

?./AFE=90°,

.?.△4EF是等腰直角三角形,

x/2\/22>/62v/3

AF=EF==乎x公巴=—,

2233

OF=0.4+AF=2+孕，

...E(_2一嚓一竽)，

設直線CE解析式為//=■,+，>,把E(-2—竽，一竽)，C(Q,-2)代入得:

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:直線CE解析式為j/=(-2