專題提升八以圖形變換為背景的作圖與計算一、圖形變換的作圖與計算熱點解讀圖形變換要揭示變換過程中的隱含條件；對比變換前后圖形中的對應(yīng)量，從而找到問題中的等量關(guān)系而求解．該題型是中考常用題型．母題呈現(xiàn)1．(2017·北京市海淀區(qū)模擬)如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，使CB′∥AB，分別延長AB，CA′相交于點D，則線段BD的長為.2．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′.(1)在正方形網(wǎng)格中，畫出△AB′C′；(2)計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積．對點訓(xùn)練1．如圖所示把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是()第1題圖A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形2．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，3)，△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，點A的對應(yīng)點在直線y＝eq\f(3,4)x上，則點B與其對應(yīng)點B′間的距離為______________________．第2題圖3．(2016·廣州)如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，點D在AC上，DC＝4cm.將線段DC沿著CB的方向平移7cm得到線段EF，點E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為cm.第3題圖第4題圖4．(2016·溫州)如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，則∠ACB′＝度．5．(2016·內(nèi)江)如圖所示，已知點C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，則△CDE周長的最小值是.第5題圖6．(2017·寧波)如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則cos∠EFG的值為____________________．第6題圖7．(2016·畢節(jié))如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連結(jié)BD，CE交于點F.(1)求證：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．第7題圖二、旋轉(zhuǎn)變換中探究性問題熱點解讀旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，所以借此可以在較復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)等量(或全等)關(guān)系，或通過旋轉(zhuǎn)(割補)圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，疏通解題突破口．用旋轉(zhuǎn)來設(shè)計中考題是命題策略之一．母題呈現(xiàn)(2017·襄陽)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中線，AC＝BC，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F(xiàn)，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N.(1)如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF；(2)如圖2，在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，①探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若CE＝4，CF＝2，求DN的長．對點訓(xùn)練8．(2016·丹東模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3).將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′，使得點B′恰好落在對角線BD上，連結(jié)DD′，則DD′的長度為()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(3)＋1D．2第8題圖9．(2016·大連模擬)如圖1，教室里有一只倒地的裝垃圾的灰斗，BC與地面的夾角為50°，∠C＝25°，小賢同學(xué)將它扶起平放在地面上(如圖2)，則灰斗柄AB繞點C轉(zhuǎn)動的角度為____________________．第9題圖10．(2016·蘇州模擬)如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連結(jié)EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連結(jié)DF.則在點E運動過程中，DF的最小值是____________________．第10題圖11．(2016·福州模擬)已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上(P、G不與正方形頂點重合，且在CD的同側(cè))，PD＝PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF.(1)如圖1，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時．①求證：DG＝2PC；②求證：四邊形PEFD是菱形；(2)如圖2，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．第11題圖12.現(xiàn)有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜邊恰與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合(如圖1)．即△C′DA′的頂點A′、C′分別與△BAC的頂點A、C重合．現(xiàn)在讓△C′DA′固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過△C′DA′的直角頂點D.(1)如圖2，將△BAC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α(0°＜α＜180°)，使BC邊經(jīng)過點D，則α＝____________________°；(2)如圖3，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使BC邊經(jīng)過點D.試說明：BC∥A′C′；(3)如圖4，若將△BAC沿射線A′C′方向平移m個單位長度，使BC邊經(jīng)過點D，已知AB＝eq\r(2)，求m的值．第12題圖參考答案專題提升八以圖形變換為背景的作圖與計算一、圖形變換的作圖與計算【母題呈現(xiàn)】1.62．(1)如圖，△AB′C′即為所求．(2)∵AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴掃過區(qū)域的面積為：eq\f(90·π·52,360)＝eq\f(25,4)π.【對點訓(xùn)練】1.A2.43.134.465.106.eq\f(\r(21),7)7．(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AD，,∠CAE＝∠DAB，,AC＝AB，))∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2eq\r(2)，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2eq\r(2)－2.二、旋轉(zhuǎn)變換中探究性問題【母題呈現(xiàn)】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝135°，在△DCE與△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠DCE＝∠DCF，,CD＝CD，))∴△DCE≌△DCF，∴DE＝DF；(2)①∵∠DCF＝∠DCE＝135°，∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°，∵∠CDF＋∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴eq\f(CD,CE)＝eq\f(CF,CD)，即CD2＝CE·CF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝eq\f(1,2)AB，∴AB2＝4CE·CF；②如圖，過D作DG⊥BC于G，則∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，當CE＝4，CF＝2時，由CD2＝CE·CF得CD＝2eq\r(2)，∴在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝2eq\r(2)×sin45°＝2，∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴eq\f(CN,GN)＝eq\f(CE,DG)＝2，∴GN＝eq\f(1,3)CG＝eq\f(2,3)，∴DN＝eq\r(GN2＋DG2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(2\r(10),3).【對點訓(xùn)練】8．A9.105°10.1.511．(1)證明：①作PM⊥DG于M，如圖1，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四邊形ABCD為正方形，∴PCDM為矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC；②∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB，∵四邊形ABPM為矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH＋∠DGH＝90°，∵∠MGP＋∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠GMP，,AD＝PM，,∠ADF＝∠MPG，))∴△ADF≌△MPG(ASA)，∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四邊形PEFD為平行四邊形，∵DF＝PD，∴四邊形PEFD為菱形；(2)四邊形PEFD是菱形．理由如下：作PM⊥DG于M，如圖2，與(1)一樣同理可證得△ADF≌△MPG，∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四邊形PEFD為平行四邊形，∵DF＝PD，∴四邊形PEFD為菱形．第11題圖12．(1)15(2)如圖3，過點A作AH⊥BC于點H，∵∠C＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)AC，∵AD＝eq\f(\r(2),2)AC，∴DH＝eq\r(AD2－AH2)＝eq\f(1,2)AC，∴AH＝DH，∴∠HAD＝45°，∴∠HAC′＝∠HAD＋∠DAC′＝90°，∴HA⊥AC′，∴BC∥A′C′；(3)如圖4，過點D作DH⊥AC，垂足為H，∵AB＝eq\r(2)，∴AC＝A′C′＝eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，∴HC′＝DH＝eq\f(1,2)A′C′＝eq\f(\r(6),2)，∴HC＝eq\f(\r(6),2)×eq\r(3)＝eq\f(3\r(2),2)，所以m的值為：HC－HC′＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(\r(6),2).第12題圖13．(1)∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△AED和△CGD中，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴AE∶CG＝1∶1；(2)成立．∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴AD＝CD，D