初三數(shù)學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題精選及答案

一、壓軸題

1.如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)0,E為0C上動點(diǎn)（與點(diǎn)。不重合），作

AF_LBE,垂足為G,交B0于H.連接OG、CG.

⑴求證：AH=BE；

⑵試探究：NAGO的度數(shù)是否為定值？請說明理由；

（3）若OG_LCG,BG=3忘,求AOGC的面積.

2.已知函數(shù)％=%+2根-1,%=（2?〃+l）x+l均為一次函數(shù)，m為常數(shù).

（1）如圖1,將直線A0繞點(diǎn)A（—L0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線/,直線/交y軸于點(diǎn)

B.若直線/恰好是%=x+2根-1,%=（2根+1）1+1中某個函數(shù)的圖象，請直接寫出點(diǎn)B

坐標(biāo)以及m可能的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)b,使得|〃z|-（匕-1）J匚石=0成立，求函數(shù)

%=x+2m-1,y2=（2m+1）%+1圖象間的距離；

（3）當(dāng)機(jī)＞1時(shí)，函數(shù)%=%+2加-1圖象分別交x軸，y軸于C,E兩點(diǎn)，

y=（2m+1）%+1圖象交x軸于D點(diǎn)，將函數(shù)＞=%?%的圖象最低點(diǎn)F向上平移S6

2m+1

個單位后剛好落在一次函數(shù)%=x+2〃z-l圖象上，設(shè)y=%?%的圖象，線段8,線段

OE圍成的圖形面積為S,試?yán)贸踔兄R，探究S的一個近似取值范圍.（要求：說出

一種得到S的更精確的近似值的探究辦法，寫出探究過程，得出探究結(jié)果，結(jié)果的取值范

圍兩端的數(shù)值差不超過0.01.）

3.某校開展了一次綜合實(shí)踐活動，參加該活動的每個學(xué)生持有兩張寬為6cm,長足夠的

矩形紙條.探究兩張紙條疊放在一起，重疊部分的形狀和面積.如圖1所示，一張紙條水

平放置不動，另一張紙條與它成45。的角，將該紙條從右往左平移.

（1）寫出在平移過程中，重疊部分可能出現(xiàn)的形狀.

（2）當(dāng)重疊部分的形狀為如圖2所示的四邊形ABCD時(shí)，求證：四邊形ABCD是菱形.

（3）設(shè)平移的距離為xcm（0<xK6+6ji）,兩張紙條重疊部分的面積為sen?.求s與

x的函數(shù)關(guān)系式，并求5的最大值.

15

4.在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線4：y=—9/+"--的頂點(diǎn)。在第四

aa

象限，且經(jīng)過A（l+m,〃），5（1—^，^（^，。，〃，（^兩點(diǎn)直線筋與丁軸交于點(diǎn)。，與拋

物線的右對稱軸交于點(diǎn)E,AC-5C=8,點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為L

（1）求拋物線L所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若將直線A3繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，直線A3與拋物線4有一個交點(diǎn)。在第三象限，另一

個交點(diǎn)記為P,拋物線4與拋物線L關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，拋物線4的頂點(diǎn)記為。一

①若點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-1,拋物線乙與拋物線4所對應(yīng)的兩個函數(shù)》的值都隨著x的增大而

增大，求相應(yīng)的x的取值范圍；

②若直線PQ與拋物線4的另一個交點(diǎn)記為Q，連接尸〃，22,試間：在旋轉(zhuǎn)的過程

中，NP。。的度數(shù)會不會發(fā)生變化？請說明理由.

5.如圖，直線/：y=-3x+3與x軸，y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+2x+b經(jīng)

過點(diǎn)B.

（1）該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知點(diǎn)/W是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)/W在第一象限內(nèi)，連接A/W、BM,設(shè)點(diǎn)M

的橫坐標(biāo)為m,AA8M的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)

①寫出點(diǎn)/W'的坐標(biāo)；

②將直線/繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線「，當(dāng)直線/，與直線AM重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在

旋轉(zhuǎn)過程中，直線/'與線段BM，交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)8,“到直線「的距離分別為di,d2,當(dāng)

di+d2最大時(shí)，求直線/'旋轉(zhuǎn)的角度（即的度數(shù)）.

6.在平面直角坐標(biāo)系X。》中，函數(shù)耳和工的圖象關(guān)于y軸對稱，它們與直線

x=t(t>0)分別相交于點(diǎn)P,Q.

(1)如圖，函數(shù)月為y=x+l,當(dāng)/=2時(shí)，PQ的長為；

(2)函數(shù)6為〉=三，當(dāng)PQ=6時(shí)，t的值為；

x

(3)函數(shù)耳為y=奴?+"+(?("w0),

①當(dāng)/="時(shí)，求△。尸Q的面積；

b

②若c>0,函數(shù)4和工的圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)45,0),8(1,0),當(dāng)

c<x<c+l時(shí)，設(shè)函數(shù)4的最大值和函數(shù)工的最小值的差為力，求h關(guān)于c的函數(shù)解析

式，并直接寫出自變量c的取值范圍.

7.在銳角△/回中，AB=AC,為6c邊上的高，￡為47中點(diǎn).

(1)如圖1,過點(diǎn)C作行工26于尸點(diǎn)，連接班若/應(yīng)氏20°,求/加方的度數(shù)；

(2)若〃為線段劭上的動點(diǎn)(點(diǎn)〃與點(diǎn)。不重合)，過點(diǎn)。作加于"點(diǎn)，射線

EN,48交于P點(diǎn).

①依題意將圖2補(bǔ)全；

②小宇通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)〃運(yùn)動的過程中，始終有/加比2/例〃

小宇把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：連接施，要證//吠2/例〃只需誣NPED=2NMAD.

想法2：設(shè)N物氏。，/DAOB,只需用a,￡表示出/切C,通過角度計(jì)算得

/APE=2a.

想法3：在松上取點(diǎn)0,使/胡缶2/例〃，要證/例〃只需證

4NAg叢APQ.

請你參考上面的想法，幫助小宇證明/加個=2/也〃(一種方法即可)

圖1圖2

8.對于。C與。C上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射繾AP與。C交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q可以

PA

與點(diǎn)P重合)，且,則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于。C的“生長點(diǎn)”.

QA

已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。0的半徑為1,點(diǎn)A(-1,0).

(1)若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于。。的“生長點(diǎn)”，且點(diǎn)P在X軸上，請寫出一個符合條件的點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于00的“生長點(diǎn)”，且滿足S"/BAO==,求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的

取值范圍；

(3)直線y=-fix+b與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于

?0的“生長點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是.

9.如圖，拋物線y=辦2—6x+c交x軸于A5兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)c.直線y=-x+5經(jīng)

過點(diǎn)民C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸/與直線3c相交于點(diǎn)P,連接判定△APC的形狀，并

說明理由；

(3)在直線上是否存在點(diǎn)M,使AM與直線的夾角等于NACB的2倍？若存

在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

m

10.如圖1,一次函數(shù)為=履+6(k,b為常數(shù)，kWO)的圖象與反比例函數(shù)%=一(m為

x

常數(shù)，mWO)的圖象相交于點(diǎn)M(l,4)和點(diǎn)N(4,n).

(1)填空：①反比例函數(shù)的解析式是;②根據(jù)圖象寫出%<為時(shí)自變量x的取

值范圍是;

(2)若將直線MN向下平移a(a>0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共

點(diǎn)，求a的值；

m

(3)如圖2,函數(shù)%=一的圖象(x>0)上有一個動點(diǎn)C,若先將直線MN平移使它過點(diǎn)

x

C,再繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線PQ,PQ交X軸于點(diǎn)A,交F軸點(diǎn)B,若除2。，求OA?OB

的值.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)4(0,2)且與〉=—?》平行的直線，交x軸于點(diǎn)3,

如圖1所示.

（2）過M（1,0）的直線與A3成45°夾角，試求該直線與A3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）如圖2,現(xiàn)有點(diǎn)在線段A3上運(yùn)動，點(diǎn)。（一3加+2,0）在x軸上，N為線段

CD的中點(diǎn).

①試求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)》關(guān)于橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫出N點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為

12.小聰與小明在一張矩形臺球桌ABCD邊打臺球，該球桌長AB=4m,寬AD=2m,點(diǎn)0、

E分別為AB、CD的中點(diǎn)，以AB、OE所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系。

（1）如圖1,M為BC上一點(diǎn)；

①小明要將一球從點(diǎn)M擊出射向邊AB,經(jīng)反彈落入D袋，請你畫出AB上的反彈點(diǎn)F的位

置；

②若將一球從點(diǎn)M（2,12）擊出射向邊AB上點(diǎn)F（0.5,0）,問該球反彈后能否撞到位于（-

0.5,0.8）位置的另一球?請說明理由

（2）如圖2,在球桌上放置兩個擋板（厚度不計(jì)）擋板MQ的端點(diǎn)M在AD中點(diǎn)上且

MQ_LAD,MQ=2m,擋板EH的端點(diǎn)H在邊BC上滑動，且擋板EH經(jīng)過DC的中點(diǎn)E；

①小聰把球從B點(diǎn)擊出，后經(jīng)擋板EH反彈后落入D袋，當(dāng)H是BC中點(diǎn)時(shí)，試證明：

DN=BN；

②如圖3,小明把球從B點(diǎn)擊出，依次經(jīng)擋板EH和擋板MQ反彈一次后落入D袋，已知

NEHC=75°,請你直接寫出球的運(yùn)動路徑BN+NP+PD的長。

13.如圖所示，在RtAABC中，ZB=90°,8c=46，NC=30。，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)

沿C4方向以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向

以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)3勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個點(diǎn)也隨之停

止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)。、E運(yùn)動的時(shí)間是f秒。＞。），過點(diǎn)。作DEL于點(diǎn)尸，連接DE、

EF.

（2）四邊形AEED能夠成為菱形嗎？若能，求出f的值；若不能，請說明理由；

（3）當(dāng)/=時(shí)，ADEF為直角三角形.

14.如圖，拋物線y=mx2-4mx+2m+1與x軸交于A（xi,0）,B（X2,0）兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,且X2-XI=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）E是拋物線上一點(diǎn)，ZEAB=2ZOCA,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿拋物線向上運(yùn)動，連接PD,過點(diǎn)P做

PQXPD,交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q,以QD為對角線作矩形PQMD,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)（5,

t）時(shí)，求線段DM掃過的圖形面積.

15.如圖，已知矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點(diǎn)E是邊CD上一個動點(diǎn)，連接AE,將

AAED沿直線AE翻折得AAEF.

⑴當(dāng)點(diǎn)C落在射線AF上時(shí)，求DE的長；

（2）以F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作圓F,當(dāng)AD與圓F相切時(shí)，求cos/FAB的值;

⑶若P為AB邊上一點(diǎn)，當(dāng)邊CD上有且僅有一點(diǎn)Q滿/BQP=45。，直接寫出線段BP長的

取值范圍.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線_y=ax2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,已知A(-1,0),B

(3,0),C(0,-3).

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)4BCD面積最

大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若M(m,0)是X軸上一個動點(diǎn)，請求出CM+—MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

2

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—3,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(1,0).

(2)如圖2,點(diǎn)。為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，連接。O并延長交拋物線于點(diǎn)E,

OD=3OE,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHLx軸于點(diǎn)

連接即、點(diǎn)。為第二象限的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于拋物線的對稱軸對

稱，連接PQ，設(shè)ZAHE+NEPH=2a,PH^PQ-tana,點(diǎn)M為線段PQ上一點(diǎn)，

點(diǎn)N為第三象限的拋物線上一點(diǎn)，分別連接上以、NH,滿足NMHN=60°,

MH=NH,過點(diǎn)"作PE的平行線，交》軸于點(diǎn)P，求直線FN的解析式.

18.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=2,E為AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是/DAB平分線

上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合).

(1)證明：PD=PE.

(2)連接PC,求PC的最小值.

(3)設(shè)點(diǎn)。是矩形ABCD的對稱中心，是否存在點(diǎn)P,使NDPO=90。？若存在，請直接寫

出AP的長.

19.如圖①，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD>AB，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC

以a(cm/s)的速度勻速移動.連接OE,過點(diǎn)E作灰，。石，所與射線相交于點(diǎn)

F,作矩形。瓦G,連接CG.設(shè)點(diǎn)E移動的時(shí)間為/(s),ACDE的面積為S(cm?),S與

/的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

(2)求矩形DEFG面積的最小值；

⑶當(dāng)ACDG為等腰三角形時(shí)，求/的值.

20.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是對角線BD上的一個動,點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D

重合)，過點(diǎn)P作PFLBD,交射線BC于點(diǎn)F.聯(lián)結(jié)AP,畫NFPE=/BAP,PE交BF于點(diǎn)

E.設(shè)PD=x,EF=y.

(1)當(dāng)點(diǎn)A、P、F在一條直線上時(shí)，求4ABF的面積；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；

(3)聯(lián)結(jié)PC,若/FPC=NBPE,請直接寫出PD的長.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、壓軸題

L（1）見解析；（2）45。；（3）9.

【解析】

【分析】（1）利用正方形性質(zhì)，證AABH些ABCE.可得AH=BE.

(2)證“。小ABGH,—=—,—,再證

GHBHAHBH

^ZAGO=ZABO=45°；

RC1

(3)先證"BGSABFG.得——=——，所以，AG-GF=BG2

BGGF

=(3&)2=18.再證"GOSACGF.得空=旭，所以，GO,CG=4GGF=18.所以,

GFCG

S/\OGC=—CG'GO.

2

【詳解】解：⑴???四邊形4BC。是正方形,

:.AABC=90°,AB=CB,^ABO=^ECB=45°

\AF_LBE,

"BAG+NABG=NCBE+NABG=90。.

.?zBAH=4CBE.

???△ABH2BCE.

：.AH=BE.

(2)?；/AOH=/BGH=90。，/AHO=/BHG,

nAOH“BGH

OHAH

GH-BH

OH_GH

AH-BH

3OHG=/AHB.

:.△OHGiAHB.

???N/4GO=N/18O=45。,即NAG。的度數(shù)為定值

(3)-：ZABC=90°,AF.LBE,

??ZBAG=/FBG/AGB=NBGF=90。,

AABGS^BFG.

,AGBG

9BG~GF

：.AG-GF=BG2=（3&）2=18.

:△AHBSLOHG,

：.NBAH=/GOH=ZGBF.

9：ZAOB=ZBGF=90°,

NAOG=/GFC.

■：AAGO=45°,CG±GO,

:.AAGO=^FGC=45°.

.'.^AGOSACGF.

,GOAG

"GF-CG'

GO'CG=AG,GF='\8.

SAOGC=—CG-GO=9.

2

【點(diǎn)睛】此題為綜合題，要熟練掌握正方形性質(zhì)和相似三角形判定方法還有相似三角形的

性質(zhì).

34813

2.（1）（0,1）；1或0⑵J2（3）------<S<一

71200010

【解析】

【分析】

（1）由題意，可得點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線/的解析式，再分情況討論即可解的m值；

（2）由非負(fù)性解得m和b的值，進(jìn)而得到兩個函數(shù)解析式，設(shè)％與x軸、y軸交于T,

P,力分別與x軸、y軸交于G,H,連接GP,TH,證得四邊形GPTH是正方形，求出GP

即為距離；

（3）先根據(jù)解析式，用m表示出點(diǎn)C、E、D的坐標(biāo)以及y關(guān)于x的表達(dá)式為

22

y=yi-y2=（2m+l）x+4mx+2m-l,得知y是關(guān)于x的二次函數(shù)且開口向上、最低

2m2（2療-I）”

點(diǎn)為其頂點(diǎn)E--_J—，根據(jù)坐標(biāo)平移規(guī)則，得到關(guān)于m的方程，解出m

2m+12m+1

I7

值，即可得知點(diǎn)D、E的坐標(biāo)且拋物線過D、E點(diǎn)，觀察圖象，即可得出S的大體范圍，

如：S<SODE,較小的可為平行于DE且與拋物線相切時(shí)圍成的圖形面積.

【詳解】

解：（1）由題意可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0,1）,

設(shè)直線/的表達(dá)式為y=kx+l,將點(diǎn)A（-1,0）代入得：k=l,

所以直線/的表達(dá)式為：y=x+l,

若直線/恰好是%=x+2m-l的圖象，則2mT=l,解得：m=l,

若直線/恰好是%=（2"7+DX+1的圖象，貝!|2m+l=l,解得：m=0,

綜上，8（0,1）,加=1或者m=0

（2）如圖，pn|-（Z?-l）Vl-Z?=0

二.帆+（1-1）J1-1=0

\m\>0,l-Z?>0

.,.帆=0,l-b=0

:.m=0

；.%=x—l,y2-x+1

設(shè)%與x軸、y軸交于T,P,%分別與x軸、y軸交于G,H,連接GP,TH

OG=OH=OP=OT=1,PH±GT

???四邊形GPTH是正方形

:.GH//PT,ZHGP=90°,即〃GLGP

HP=2

GP=V2；

（3）%=x+2"z-l,y2=（2m+l）x+l

%=x+2"7-l分別交x軸，y軸于C,E兩點(diǎn)

.-.C（l-2/n,0）,￡（0,2/77-1）

一為=（2m+1）x+l圖象交x軸于D點(diǎn)

22

y=yx-y2=（x+2〃z—l）[（2〃z+l）x+l]=（2m+l）x+4m%+2m—1

m>l

2m+l>0

二次函數(shù)y=（2機(jī)+l）f+4機(jī)2彳+2帆_1開口向上，它的圖象最低點(diǎn)在頂點(diǎn)

頂點(diǎn)占

2m+12m+1

拋物線頂點(diǎn)F向上平移,剛好在一次函數(shù)為=x+2m-1圖象上

2m+1

2

562m2

~\--------------------------------+(2m—1)且機(jī)＞1

2m+12m+12m+1

/.m=2

2

y=y2=5x+16%+3=(x+3)(5x+l)，

%%+3,y2=5x+1

[q,o],￡(0,3),

二由%=x+3,%=5x+l得到。

由丁=5f+16%+3得到與x軸，y軸交點(diǎn)是（―3,0）,g,oj,（0,3）,

：,o],E（0,3）兩點(diǎn)

拋物線經(jīng)過。

???'=%?%的圖象，線段OD,線段。E圍成的圖形是封閉圖形，則S即為該封閉圖形的

面積

探究辦法：利用規(guī)則圖形面積來估算不規(guī)則圖形的面積.

探究過程：

①觀察大于S的情況.

很容易發(fā)現(xiàn)S<S“E

[I，。]，￡（。，3）

D

1133

尸二—x3x—=—,;.S<—

■ODE251010

（若有s小于其他值情況，只要合理，參照賦分.）

②觀察小于S的情況.

選取小于S的幾個特殊值來估計(jì)更精確的S的近似值，取值會因人而不同，下面推薦一種

方法，選取以下三種特殊位置：

位置一：如圖

當(dāng)直線MN與DE平行且與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線MN與x,y軸分別交于M,N

D

直線DE:y=15x+3

設(shè)直線MN:y=15x+4

y=5x2+16%+3

5%2+%+3—4—0

二.A=l—4x（3—Z?）=0,bx—

59

二.直線MN:y=15%+二

20

二點(diǎn)M

,?OOMN，空乂色=網(wǎng)L,c〉鄴1

2203001200012000

當(dāng)直線DR與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線DR與y軸交于點(diǎn)R

設(shè)直線DR：y=Ax+4,

直線DR:y=kx+^k

?：y=5x2+16x+3

5x2+（16—左）九+3—二女=0

，A=（16—左）2—4x5x13—g左）=0,左=14

14

...直線DR:y=14x+—

5

二點(diǎn)

...s3

0DR25525…4

x

當(dāng)直線EQ與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線EQ與x軸交于點(diǎn)Q

設(shè)直線上Q：y=比+3

y=5x2+16%+3

/.5x2+(16-^)x=0

「.△=(16—，)=0,t=16

直線￡Q:y=16x+3

二點(diǎn)Q.,0

348197

------>--->---

120003225

我們發(fā)現(xiàn)：在曲線DE兩端位置時(shí)的三角形的面積遠(yuǎn)離S的值，由此估計(jì)在曲線DE靠近中

間部分時(shí)取值越接近S的值

34813

探究的結(jié)論：按上述方法可得一個取值范圍------<s<一

1200010

（備注：不同的探究方法會有不同的結(jié)論，因而會有不同的答案.只要來龍去脈清晰、合

理，即可參照賦分，但若直接寫出一個范圍或者范圍兩端數(shù)值的差不在0.01之間不得

分.）

【點(diǎn)睛】

本題是一道綜合性很強(qiáng)的代數(shù)與幾何相結(jié)合的壓軸題，知識面廣，涉及有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐

標(biāo)平移規(guī)則、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次

方程、不規(guī)則圖形面積的估計(jì)等知識，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)信息，利用待定

系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，利用相關(guān)信息進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)

算.

3.（1）三角形，四邊形（梯形、菱形），五邊形；（2）見解析；（3）

[12

5好（0<%,6）

6x-18（6<蒼，60）「

s=J，s的最大值為36缶1112.

-1[x-（6+6A/2）]2+36A/2（6A/2<X<6+6行）

3672（%=6-672）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平移過程中，重疊部分四邊形的形狀判定即可；

（2）分別過點(diǎn)8、D作BELCD于點(diǎn)E、DFLCB于點(diǎn)F,再根據(jù)紙條的特點(diǎn)證明四邊

形ABCD是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可證明；

（3）分0<xW6、6<x?6A/2>6、歷<%<6+6及和*=6+6近四種情況分別求出$與

x的函數(shù)關(guān)系式，然后再求最大值即可.

【詳解】

解：（1）在平移過程中，重疊部分的形狀分別為：三角形，四邊形（梯形、菱形），五邊

形；

（2）證明：分別過點(diǎn)8、。作BELCD于點(diǎn)E、DFLCB于點(diǎn)、F,

：.ZBEC=NDFC=90°

:兩張紙條等寬，

BE=DF=6.

在《BCE和二DCF中NBCE=NDC尸=45。，

BC=DC=V62+62=6A/2，

:兩張紙條都是矩形，，

AB//CBBC//AD.

...四邊形A8CD是平行四邊形，

又：BC=DC,

四邊形A8CD是菱形；

（3）工、如圖：當(dāng)0<xW6時(shí)，重疊部分為三角形，如圖所示,

0<5?18.最大值為18cm2.

n、如圖：當(dāng)6<x,60時(shí)，重疊部分為梯形，如圖所示，梯形的下底為xcm,上底為

(x-6)cm,

田、當(dāng)6忘<x<6+6行時(shí)，重疊部分為五邊形，

S五邊形=S菱形—S三角形=6拒x6—g(6+6&—x)2=一一(6+6^)]2+3672.

此時(shí)36A/2-18<S五邊形<36夜.

IV、當(dāng)x=6+6立時(shí)，重疊部分為菱形,

/.S菱形=360cmZ.

b2(0<%,6)

卜18(6〈蒼,6回

?9S—W

-1[X-(6+6A/2)]2+360(6拒<x<6+672)

3672(%=6-672)

，s的最大值為36j5cm2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考

查知識點(diǎn)較多，因此靈活運(yùn)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

125

4.（1）y=一§》一§；（2）@1<%<10；②不會發(fā)生變化，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A,B坐標(biāo)求出對稱軸為X=l,得到b=--,代入拋物線解析式得到

a

-j6

y=-（x-l）2——,寫出頂點(diǎn)。1,—一，根據(jù)其位置，得出?！?,根據(jù)A,B坐標(biāo)表示

出AC,BC長度，結(jié)合AC?BC=8,求得加的值，代入點(diǎn)A,B得其坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入拋

物線解析式得?的值，即可得到拋物線的解析式；

125,2、

（2）①將x=—1代入y=-f——x——,求得Q—1,一彳，結(jié)合點(diǎn)E求得PQ解析式，

333I3J

125

聯(lián)立y=—犬-一,解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得到點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為

333

10,可得x的取值范圍；

②過RQ分別作直線％=1的垂線，垂足分別為￡G,設(shè)出點(diǎn)P,Q坐標(biāo)，求出PQ的解析

式，聯(lián)立y=1x2_2x_9tanNDPF.

得到%+M,,由；---=1，得到

333tanZQDG

ZDPF=ZQDG,結(jié)合NDPb+NPL0=90°，得到NPDQ=90°,可證得結(jié)果.

【詳解】

12

解：（1）:拋物線y=—必+bx-一過4（1+%〃），6（1-狐〃）（">0）兩點(diǎn)，

aa

由拋物線對稱性知：拋物線對稱軸為直線x=l,

\a

又?..頂點(diǎn)。在第四象限,

A1

—<0,解得：一〉。，4〉0

aa

m>0,n>0,

???拋物線的開口向上，其圖象如圖所示,

AC=l+m,BC=|l-m|,AC-BC-8,

(1+加)(加—1)=±8,解得：m=±3

m>0,

:.m=3,

由題意可知，點(diǎn)E在線段AB上，而點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)為L

.?.A(4,l),5(—2,1),

把A(4,l)代入y=L(x—l)2_g得，1=工(4-1)2_自解得：1=1

aaaaa3

i25

拋物線L1所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2-jx--

⑵①把％=-1代入y=!爐得，y=--：

3333

￡(1,1),

直線PQ的解析式為y=-x+-

66

’51

y——xH—

小.66一,曰122551

由，，cu可得，_X__X=-%+-,

122533366

「333

解得：Xj=-1,%2=]~

...點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為口

2

由中心對稱的性質(zhì)可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10,即拋物線4的對稱軸為直線X=10,

結(jié)合圖象：

可得，X的范圍為IWXWIO；

②在旋轉(zhuǎn)的過程中，/尸2。的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由如下:

連接由中心對稱的性質(zhì)可得，NPDiQi=NPDQ.

過RQ分別作直線x=l的垂線，垂足分別為￡G,如圖所示,

設(shè)P(玉,%),。(％，%)，直線尸。的解析式為丁=履+〃，則

?.?直線PQ過后(1,1),

:.l=k+b>>可得,b=l-k>

???直線尸。的解析式為y=履+(1—k)

'y=kx+(l-k)

由，1225得，一x?—x—=kx+(l—k)

y=-x2——x——333

I333

整理得，/_(3左+2中+(3左一8)=0

玉+/=3k+2,演?尤2=3左一8

l2

tdnZDPF=—=^~x

PFXy—13

1—%23

tan/QDG=

，

-4--^2---（-2）1—X2

333

tanXDPF（芯-1）（1一-xx-x2++x2）—1—（3左一8）+（3左+2）—1

tanZQDG~9.99

tanZDPF=tanZQDG

ZDPF=ZQDG

又?.NDPF+/PDF=90°

:.ZQDG+ZPDF^90°

ZPDQ=90°

ZPD^=90°,即在旋轉(zhuǎn)的過程中，NPDQ的度數(shù)不會發(fā)生變化.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，熟知其設(shè)計(jì)的知識點(diǎn)及相關(guān)關(guān)系，是解題的

關(guān)鍵.

5.(1)y=-x2+2x+3；(2)S=f/n-—+—，—；(3)①“'(不：］；

2(2188124；

②45。

【解析】

【分析】

(1)利用直線/的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出b的

值.

(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),然后根據(jù)面積關(guān)系將△A8M的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(3)①由(2)可知m=3,代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值.

2

②可將求di+d2最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值.

【詳解】

(1)令x=0代入y=-3x+3,

；.y=3,

AB(0,3),

把B(0,3)代入y=-x2+2x+b并解得：b=3,

二次函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)令y=0代入y=-X2+2X+3,

.,.x=-1或3,

???拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3,

???M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，

.\0<m<3,

令y=o代入y=-3x+3,

AA的坐標(biāo)為(1,0),

由題意知：M的坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),

.*.S=S四邊形OAMB-SAAOB=SAOBM+SAOAM-SAAOB

11/1、1

=——xmx3+——xlx(-m2+2m+3)-——xlx3

222

525

.?.當(dāng)m=一時(shí)，S取得最大值一.

28

一57

(3)①由(2)可知：M，的坐標(biāo)為(一,-).

24

②設(shè)直線I'為直線I旋轉(zhuǎn)任意角度的一條線段，過點(diǎn)M作直線li〃l一過點(diǎn)B作BFLIi于點(diǎn)

圖2

根據(jù)題意知：di+d2=BF,

此時(shí)只要求出BF的最大值即可,

:/BFM，=90°,

...點(diǎn)F在以BM，為直徑的圓上，

設(shè)直線AM，與該圓相交于點(diǎn)H,

:點(diǎn)C在線段BM，上，

.1.F在優(yōu)弧BM'H

.?.當(dāng)F與M，重合時(shí)，

BF可取得最大值，

此時(shí)BM」k,

57

VA(1,0),B(0,3),M'(一，-),

24

，由勾股定理可求得：AB=JIU，M，B=m，M，A=H,

44

過點(diǎn)M作M-GIAB于點(diǎn)G,

設(shè)BG=x,

由勾股定理可得：M'B2-BG2=MZA2-AG2,

85「,125,

--(A/10-x)2=——-x2,

1616

.5M

一x=---------，

8

BGd2

cosZMzBG=--------=—,NM'BG=45°

BM'2

又：/M'BG=/CBA=45°

；./BAC=45°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合以及一次函數(shù)旋轉(zhuǎn)求角度問題，正確掌握一次

函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)及綜合問題的解法是解題的關(guān)鍵.

f1.69

0,,-c3+-c29+-c(0<c<2)

6.(1)4；(2)1；(3)①SAOP。=1；②”=《555

2c2+c(c>2)

【解析】

【分析】

(1)由題意，先求出生的解析式，再求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出PQ的長度；

(2)由題意，先求出B的解析式，結(jié)合PQ的長度，即可求出t的值；

(3)①根據(jù)題意，先求出工的解析式，然后求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，得到PQ的長

度，利用三角形的面積公式即可求出面積；

②根據(jù)題意，先求出函數(shù)月和工的解析式，然后求出兩個函數(shù)的對稱軸，利用二次函數(shù)

的對稱性和增減性進(jìn)行分類討論：當(dāng)0<cW2時(shí)，以及當(dāng)c>2時(shí)，分別求出h與c的關(guān)

系式即可.

【詳解】

解：(1)???函數(shù)6為y=x+i,函數(shù)1和心的圖象關(guān)于y軸對稱，

...函數(shù)工為y=-x+l,

當(dāng)x=/=2時(shí)，有

X=2+1=3；

%=-2+1=-1；

...點(diǎn)P為(2,3),點(diǎn)Q為(2,-1),

/.PQ的長為尸。=3—(-1)=4；

故答案為：4；

3

(2)?.?函數(shù)月為y=—,函數(shù)片和B的圖象關(guān)于丫軸對稱，

x

3

???函數(shù)尸2為丁二一一；

X

x=t(t>0),

???點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第四象限，

33

設(shè)點(diǎn)P為(3—),點(diǎn)Q為(t,—),

tt

???PQ=6,

解得：，=1；

故答案為：1；

(3)①,函數(shù)月為y二辦之+6^+c(awO),函數(shù)4和心的圖象關(guān)于V軸對稱，

，函數(shù)B為：V=〃?(一%)2+/7?(-%)+(7,即y=ax2-bx+c；

b

.?.把/=也代入函數(shù)耳，則y=a?(@)2+6."+c=@+法+C；

bbbb

把/=當(dāng)代入函數(shù)工，則y=q?(半)2一6.半+c=￡—E+c；

PQ=—+y[b+c-(―-4b+c)=2y[b,

bb

,,SAOPQ=-Xx2y[b=1;

2b

②由①可知，函數(shù)片為y=a%2+b%+。，函數(shù)B為7=4,一加;+c,

???函數(shù)F1和F2的圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)A(5,0),B(l,0),

.125〃+5b+c=0

a-b+c=Q

1

ci——c

解得：\,

4

b7--c

I5

???函數(shù)耳可化為：y=-'|%2+.%+。，函數(shù)B可化為：丁=~|%2-；

4c

，函數(shù)片的對稱軸為：尤=------——=2,

2x(-,

4c

函數(shù)工的對稱軸為：%=------—=一2,

2x(一全

?；c>0,則a=—~<0,

則函數(shù)可，函數(shù)工均是開口向下；

.,.函數(shù)及在0<%<2上，y隨x增大而增大，在x>2上是y隨x增大而減小;

函數(shù)B在兀>一2上，y隨x增大而減??；

c<x<c+l,c>0,

當(dāng)0<cW2時(shí)，則

函數(shù)及在x=2時(shí)取到最大值；函數(shù)工在x=c+l時(shí)取到最小值，則

/.7z=(-^x4+^x2+c)-[-^*(c+l)2-^*(c+l)+c],

1,6,9

即立=,，+,(7~+,0(0<c<2)；

當(dāng)c>2時(shí)，則

函數(shù)及在x=c時(shí)取到最大值；函數(shù)K在1=0+1時(shí)取到最小值，則

/z=(--1*c2+^-*c+c)-[--1*(c+l)2-^-*(c+l)+c],

即丸=Ze?+c(c>2)；

「1a6,9

,-c3+-c2+-c(0<c<2)

綜合上述，h關(guān)于c的函數(shù)解析式為：//=555.

2c2+c(c>2)

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了二次函數(shù)的對稱性、增減性，也考查了一次函數(shù)

的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及兩點(diǎn)之間的距離，求三角形的面積等知

識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分

類討論的思想進(jìn)行分析，從而進(jìn)行解題.

7.(1)證明見解析；(2)①補(bǔ)圖見解析;②證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)證明：'：AB=AC,4。為6c邊上的高，ZBAD=20°,

：.ZBAC=2ZBAD=40°.

'JCFLAB,

：.AAFC=^°.

為然中點(diǎn)，

：.E1^EA=-AC.

2

：.ZAFE=ZBAC=AO°.

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上是，補(bǔ)全圖形如圖

當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上是，補(bǔ)全圖形如圖

②I、當(dāng)點(diǎn)?在邊上時(shí),

證明：想法1：如圖3,

圖3

連接如

'：AB=AC,47為況1邊上的高，

.,"為6c中點(diǎn).

為江中點(diǎn)，

：.ED//AB,

：.ZPED=ZAPE.

'：ZADC=^O°,￡為47中點(diǎn)，

/.AE=DE=CE