初中

東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中

山紀念中學(xué)

2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

L（》一3"展開式中第3項的系數(shù)是（）

A.90B.-90C,-270D.270

2.在等差數(shù)列｛4｝中，若4+。7=10，。6=7,則公差d=

A.1B.2C.3D.4

3.己知向量G,B滿足鼠（I+B）=2,且同=1,則向量B在向量M上的投影向量為（）

A.1B.-1C.aD,-3

4.在A48C中，“tanZtanB<l”是“AA8C為鈍角三角形”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C,充要條件D.既不充

分也不必要條件

5.己知三棱錐尸-4SC,是以ZC為斜邊的直角三角形，△P4C為邊長是2的等

邊三角形，且平面平面尸4C,則三棱錐尸-48C外接球的表面積為（）

162121

A.—兀B.—71C.—71D.8兀

332

6.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%?100%,當

血氧飽和度低于90%時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模

型：S?）=SoeK'描述血氧飽和度S?）隨給氧時間/（單位：時）的變化規(guī)律，其中耳）為初

始血氧飽和度，K為參數(shù).已知風(fēng)=60%,給氧1小時后，血氧飽和度為80%.若使得血氧

飽和度達到90%,則至少還需要給氧時間（單位：時）為（）

（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10）

A.0.3B.0.5C.0.7D,0.9

22

7.已知雙曲線。：?-5=1（〃>0,6>0）的左，右焦點分別為用耳，過片的直線與雙曲線。

ab

試卷1

初中

分別在第一、二象限交于48兩點，心內(nèi)切圓的半徑為「，若|AF；|=2a,

子=個二a,則雙曲線。的離心率為（）

3

A/7B后c36D后

223

8.函數(shù)/（x）=sin3x-sin2x在開區(qū)間（-兀,2兀）的零點個數(shù)為（）

A.5B.6C,7D.8

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.給定數(shù)集N=R,8=（0,+00）,x，V滿足方程2工-;；=0,下列對應(yīng)關(guān)系/為函數(shù)的是

（）

A.y=/(x)B.f：BrA,y=f(x)

C.f：A^B,x=/(y)D.f：BIA,X=/(y)

10.己知z為復(fù)數(shù)，設(shè)z,三，上在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為4,B,C,其中。為坐標原點,

則()

A.|OJ|=|（95|B.04±OC

C.西=園D.OB//AC

11.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.已知二次函數(shù)/（x）有兩個不相等的

實根6,c，其中c>上在函數(shù)"X）圖象上橫坐標為M的點處作曲線了=〃x）的切線，切線與

x軸交點的橫坐標為4；用&代替X1，重復(fù)以上的過程得到W；一直下去，得到數(shù)列

{%}.記%=山上2,且a=l,xn>c,下列說法正確的是（）

Xn-C

e0—b

A.玉=-----（其中Ine=1）B.數(shù)列{〃〃}是遞減數(shù)列

e-1

C.。6=上？D.數(shù)列的前〃項和

321

=2〃_2~+]

試卷2

初中

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.將1到10這10個正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙

組的中位數(shù)小1,則不同的平分方法共有種.

13.已知圓Z:（x+2）2+y2=i,圓8:（X—2）2+J?=4,直線3x+4y+/=0上存在點

P,過點尸向圓A引兩條切線尸C和尸￡>,切點是C和。，再過點尸向圓B引兩條切線PE

和尸尸，切點是E和歹，若NCPD=NEPF,則實數(shù)/的取值范圍為.

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊

所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部

一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角AABC外

接圓的半徑為2,且三條圓弧沿A48C三邊翻折后交于點尸.若/8=3,則

sin/P4C=；若NC:48:8C=6:5:4,則尸Z+P5+尸C的值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.已知橢圓G，拋物線G的焦點均在x軸上，G的中心和的頂點均為坐標原點0,從

G，。2上分別取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

V2

Xi2

~T

y■202V2

（1）求C］和。2的標準方程;

試卷3

初中

(2)若G和。2交于不同的兩點45,求人?礪的直

16.如圖，在四棱錐尸-N8CD中，為正三角形，底面/8C。為直角梯形,

ADIIBC,AD±CD,AD=2BC=2,CD=5PB=瓜.

(1)求證：平面尸40_1_平面45c。；

(2)點M為棱尸。的中點，求■與平面PCD所成角的正弦值.

17.某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司

生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更

大的作用.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為3和;，

假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.

(1)隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，求選中的無人運輸機操作成功的概率；

(2)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：

方案一:在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼

續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作；

方案二在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二

次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作.

假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.

18已知函數(shù)/(x)=e*+cosx-2,g(x)=sinx.

(1)求證：當xe(0,+co),g(x)<x</(x)；

(2)若xe(0,+oo),/(x)+g(x)>ax恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知集合A中含有三個元素x/，z,同時滿足①x<V<z；②x+y>z；?x+y+z

為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S"={1,2,3,…,2小(〃eN*,〃24),對于集

合S”的非空子集B,若S“中存在三個互不相同的元素“c,使得a+A]+c,c+a均屬

試卷4

初中

于B,則稱集合B是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合4={123,5,7,9}是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

（2）若集合8={3,4,a}具有性質(zhì)尸，證明：集合B是集合邑的“期待子集”;

（3）證明：集合M具有性質(zhì)尸的充要條件是集合M是集合的“期待子集”.

試卷5

初中

東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中

山紀念中學(xué)

2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

L（》一3"展開式中第3項的系數(shù)是（）

A.90B.-90C,-270D.270

【答案】A

【解析】

【分析】利用二項式定理求出通項公式，進而求出第3項.

【詳解】（x—3＞）5展開式的第3項為7；=《/（—=90》3/，故第3項系數(shù)為兜，

故選：A

2.在等差數(shù)列｛%｝中，若43+%=1。，&=7,則公差d=

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

把4,49用力,一表示出來，根據(jù)題目條件列出方程組，即可求得本題答案.

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中，因為生+%=10，4=7,所以〈一二，

%+5d=7

a=-3

求得】xc.

a=2

故選：B

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量鼠B滿足聯(lián)年+可=2,且同=1,則向量B在向量G上的投影向量為（）

A.1B.—1C.dD.—a

試卷6

初中

【答案】C

【解析】

a-ba

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出鼠6,在根據(jù)向量B在向量值上的投影向量為下T'E

HH

計算可得.

【詳解】因為展k+可=2,且同=1,所以于+展6=2，即同，展3=2,

所以限B=1，

a-ba-

所以向量B在向量方上的投影向量為開x^=a.

HW

故選：C

4.在AA8C中，“tanZtan5<l”是“A48C為鈍角三角形”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C,充要條件D.既不充

分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】推出tanZtan5<l的等價式子，即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

,八，，sinAsinB八cos（A+B）八-cosC.

taMtanS<1=1--------------->00---------->00------------->0

cosZcos8cosZcos8cosZcos8

ocosZcos8cosc<0OA45C為鈍角三角形.

/.在MBC中，“tanZtan5<1”是“AABC為鈍角三角形”的充要條件.

故選：C.

【點睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

5.已知三棱錐尸-&48c是以NC為斜邊的直角三角形，△尸4c為邊長是2的等

邊三角形，且平面48cl平面尸4C,則三棱錐尸-48C外接球的表面積為（）

162121

A.—71B.—兀C.—71D.8兀

332

【答案】A

【解析】

試卷7

初中

【分析】由條件知，外接球的球心在過ZC的中點且垂直于平面48c的直線上，又平面

4BC1平面尸4C,所以可得等邊三角形尸/C的中心即為外接球的球心，求出△P4C外

接圓的半徑即得三棱錐尸-4SC外接球的半徑.

【詳解】直角三角形ABC外接圓的圓心是斜邊NC的中點過該點作一條垂直于平面

N8C的直線.

因為平面48cl平面04C,

所以所作直線在平面尸4C內(nèi)，且經(jīng)過等邊三角形尸4c的中心，

所以等邊三角形尸4C的中心就是三棱錐P-ABC外接球的球心，

所以△尸4C外接圓的半徑也是三棱錐P-ABC外接球的半徑.

NC——

由正弦定理知，----------=2氏（及是△尸4c的外接圓的半徑），即.71

smZAPCsmy

R.」.空

所以c.兀3，

2sin-

3

于是三棱錐尸-ABC外接球的半徑為2,

3

故三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀A?=啊.

3

故選：A.

6.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%?100%,當

血氧飽和度低于90%時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模

型：S（/）=SoeK’描述血氧飽和度5（7）隨給氧時間，（單位：時）的變化規(guī)律，其中與為初

始血氧飽和度，K為參數(shù).已知風(fēng)=60%,給氧I小時后，血氧飽和度為80%.若使得血氧

飽和度達到90%,則至少還需要給氧時間（單位：時）為（）

試卷8

初中

（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln3?1.10）

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時間t的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù).

【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要7-I小時，

由題意可得60eK=80,60e?=90,兩邊同時取自然對數(shù)并整理，

得K=ln型=ln4=ln4-ln3=21n2-ln3,&=In—=In-=In3-ln2,

603602

故選：B

22

7.已知雙曲線。：5-?=1（。＞0,6＞。）的左，右焦點分別為大，鳥，過片的直線與雙曲線。

分別在第一、二象限交于45兩點，耳內(nèi)切圓的半徑為「，若|AF；|=2a,

r=38a,則雙曲線。的離心率為（）

V21

【答案】A

【解析】

\AF^=6a,\AF^=Aa,\FF2\=2c,AFAF1=|,進一步

【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得xX

由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.

【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點分別為P,。，R,所以

\AP\=\AB\,\BP\=\BQ\,\F2Q\=\F2B\,

???點/在雙曲線上，

:.\AF^-\AF^=2a,

又???忸刷=2生:.|48|=卜閭,

■.-\BP\=\F2R\,.-.\BQ\=\QF2\,

???點2在雙曲線上，

試卷9

初中

BF2\-\BFi\=2a,

\BF2\=4a,

???I。閭=:忸閭=2%

設(shè)內(nèi)切圓圓心為/,連接如圖所示,

71

71

即ZBF2A=~,

：.^ABF2為等邊三角形，M周=6a,以閭=4%閨閭=2c,N片2鳥=g,

在4AFR由余弦定理得：閨用2=M胤2+以閭2一2以周以用cosNRAF2,

即：4c2=36a2+16a2-24a2-28a2，

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到|4F；|=6a，Hg|=4a,|KK|=2c,"]4F；=m，由此即

可順利得解.

8.函數(shù)/(X)=sin3x-sin2x在開區(qū)間(-兀,2兀)的零點個數(shù)為()

A.5B.6C,7D,8

【答案】D

【解析】

【分析】法一：由/(X)=(4COS2X-2COSX-1),令/(x)=0求解；法二：由

試卷10

初中

/(x)=2singxcosgx,令f(x)=0求解.

【詳解】解：法一：：/(x)=sin2xcosx+cos2xsinx-sin2x，

=2sinxcos2x+cos2xsinx-2siwccosx，

=sinx(2cos+2cos2x-1-2cosx),

=sinx(4cos2x-2cosx-l^,

令/(x)=0,貝1Jsinx=0或4cos2X-2COSX-1=0，

即：sinx=0或cosx=[+“或cosx=-^

44

如圖所示:

由圖像可知，

函數(shù)Ax)共8個零點.

法二：因為/(x)=sin=2sin-xcos-x

22

由/(x)=0,得sin—x=0,或cos*x=0,

22

,7i2k?i

所以一%二左兀，或一X=——卜k兀即x=2左兀,或X=《+-y-k￡Z,

222

因為一兀＜、＜2兀，

試卷11

初中

所以x=0，或％=—肛—肛一肛一肛肛一肛一萬共8個零點

5555551

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.給定數(shù)集N=R,8=(0,+00),x，V滿足方程2工-;；=0,下列對應(yīng)關(guān)系/為函數(shù)的是

()

A.f:AfB,y=/(x)B.f:B4A,y=/(x)

C.x=/(y)D.f：B4A,x=/(y)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即得.

【詳解】對于A,y=/(x)=21VxeA,均有唯一確定/(x)e(0,+e)=8,符合函

數(shù)定義，A正確；

對于B,y=/(x)=217%€8,均有唯一確定/(“6(1,+")72,符合函數(shù)定義，：6

正確；

對于C,x=f(y)=log2y,取y=le/,x=Q^B,不符合函數(shù)定義，C錯誤；

對于D,x=/(j)=log2j,VyeB,均有唯一確定/(y)eR=幺，符合函數(shù)定義，D

正確.

故選：ABD

10.已知z為復(fù)數(shù)，設(shè)z,1，匕在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為N,B,C,其中。為坐標原點，

則()

A.網(wǎng)=|函B.04±OC

C.西=|明0.OB//AC

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運算可以表示出A,B,C三點的

試卷12

初中

坐標，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進而可以判斷.

【詳解】設(shè)2=Q+￡R),,

z-a-bi(a,beR)，:,

iz=i(Q+bi)=-Z?+ai,:.C,

OA=(a,b),OB-[a.-b^.OC=(—b,a),4c=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,a+b)

對于A,vJa2+b2=^a2+(-b)2|02|=|O5I,故選項A正確；

對于B,b)+加=0,：,OAIOC)故選項B正確；

對于C,?.,卜c[={(一(一不+(q_八,,0c[=\J(~b-+(a+b)-，

當abHO時，|衣卜|萬"，故選項C錯誤；

對于D,?:a(a-b)-(一b)(—b-a)=a。-Zab—/,

/_2ab-〃可以為零，也可以不為零，所以無不一定平行于4,故選項D錯誤.

故選:AB

11.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.已知二次函數(shù)/（X）有兩個不相等的

實根仇c,其中。>從在函數(shù)/（x）圖象上橫坐標為天的點處作曲線y=〃x）的切線，切線與

x軸交點的橫坐標為&；用&代替X1，重復(fù)以上的過程得到七；一直下去，得到數(shù)列

｛匕｝.記4=In上且a=l,x>c,下列說法正確的是（）

Xn-C

ec—b

A.玉=-----(其中Ine=1)B.數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

e-1

1

C.。6=---D.數(shù)歹卜氏H----'的前”項和

632〔an\

S“=2"-2「"+1

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)%=1可求否的表達式，判斷A的真假；利用導(dǎo)數(shù)求二次函數(shù)在X=X“處切

試卷13

初中

線的斜率，進一步寫出在x=x“處的切線方程，求出直線與X軸的交點橫坐標，得當+1，進

一步判斷數(shù)列｛4｝的結(jié)構(gòu)特征，得到數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，可判斷BC的真假；利用公式

法可求數(shù)列|4+'的前〃項和，判斷D的真假.

x—bx.—be，c—b

【詳解】對于A選項，由q=ln」｝一=1得」一二e,所以玉=------,故A正確.

xx-cx｛-ce-1

???二次函數(shù)/(X)有兩個不等式實根6,C,

，不妨設(shè)/(X)=a(x-Z))(x-c),

因為/'(X)=a(2x—b-c),

所以/'(x〃)=a(2x“—6—。)，

在橫坐標為xn的點處的切線方程為：y-f(xtl)=a(2xn-Z)-c)(x-xH),

」-x“(2x“-6-c)-/(X,)ax：-abc_x；-bc

VN+L

(7(2X/7-b-c^a(2x”-b-c)2xn-b-c'

因為x〃+「b=x；-bc-b12X"-b-c)=x；-2如+/=5-b?

22

x“+「cx^-bc-c(2xn-b-c)x^-2cxn+c(x?-c)

所以=即：an+x=2a?

七+i-c%-c

所以｛4｝為公比是2,首項為1的等比數(shù)列.

所以4=2"T故BC錯.

由「一"也尸，得

對于D選項,

1—2”921

S”=L+」=2〃-1+2-9=2"+1-正故D正確

1.N]，乙乙

-2

故選：AD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.將1到10這10個正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙

試卷14

初中

組的中位數(shù)小1,則不同的平分方法共有種.

【答案】36

【解析】

【分析】首先確定甲和乙的中位數(shù)，再從其他的數(shù)字分組，利用組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】依題意，甲組的中位數(shù)必為5,乙組的中位數(shù)必為6,

所以甲組另外四個數(shù)，可從1,2,3,4和7,8,9,10這兩組數(shù)各取2個，共有

C泣=36.

故答案為：36

13.已知圓Z:(x+2)2+y2=i,圓8:(X—2)2+J?=4,直線3x+4y+/=0上存在點

P,過點尸向圓A引兩條切線尸C和尸￡>,切點是C和。，再過點尸向圓B引兩條切線PE

和尸尸，切點是E和歹，若NCPD=NEPF,則實數(shù)/的取值范圍為.

【答案】

L33J

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖象轉(zhuǎn)化得21PH=|尸耳，從而利用兩點距離公式求得點

P的軌跡方程，進而得到直線3x+4y+/=0與圓。+/)2+/=告有交點，由此得解.

【詳解】連接圓心和切點，如圖所示，則有N4PC=/6尸尸=夕，

兀

易知AC=LBF=2,NACP=NBFP=—,

2

IlIIP1

故忸4忖116=40=1,|尸同sin8=3尸=2,―\A

I尸目2

不妨設(shè)尸(xj),??,2|尸』二|尸同，.?.2j(x+2)2+產(chǎn)=J(x—2)2+/,

x2+y2+—x+4=0,化簡得0+9+/=笆，

339

試卷15

初中

.?.P的軌跡為以圓心（一￥，o],|為半徑的圓，

又在直線4y+3x+/=o上，.,?直線3x+4y+/=0與圓（x+gr+r=甘有交點，

??.回”，故-竺云四

5333

故答案為：----<t<—.

33

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化得2|尸4=|必從而利用阿氏圓

的相關(guān)知識可知點尸的軌跡方程為圓，進而得解.

14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊

所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部

一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外

接圓的半徑為2,且三條圓弧沿三邊翻折后交于點尸.若/8=3,則

sin/R4C=；若NC:48:8C=6:5:4,則尸Z+P5+尸C的值為

/723

【答案】①.—②.一##5.75

44

【解析】

3田

【分析】第一空，由正弦定理求得sin//C8=—,可得cos/4cB=J，利用三角形垂

44

心性質(zhì)結(jié)合三角形誘導(dǎo)公式推得sin/PZC=cos/ACB,即得答案；

第二空，設(shè)NCAB=6,NCBA=a,NACB=0,由余弦定理求得它們的余弦值，然后由

垂心性質(zhì)結(jié)合正弦定理表示出尸N++PC=4（cos8+cosa+cos￡）,即可求得答案.

試卷16

初中

【詳解】設(shè)外接圓半徑為R,則氏=2,

AB

由正弦定理，可知------------=2R=4,

smZACBsmZACB

3/7

即sin//C8=—,由于/NC8是銳角，故cos/ZC8="，

44

7T

又由題意可知P為三角形N2C的垂心，即AP1BC,故/PZC=——ZACB,

2

所以smZPAC=cos/ACB=—;

4

設(shè)NCAB=3,ZCBA=a,NACB=p,

TTTTTT

則ZPAC=--/3,NPBA=萬一//P4B=

由于NC:4S:8c=6:5:4,不妨假設(shè)NC=6,ZB=5,8C=4,

由余弦定理知

c62+52-42342+52-621042+62-529

cos'=--------------=—,cosa=--------------=-,cosp=--------------=—,

2x6x542x4x582x4x616

jrjr

設(shè)/DCE,8/為三角形的三條高，由于NECB+NEBC=—,NPCD+NCPD=—,

22

故NEBC=NCPD,

則得N4PC=n-ZCPD=n-NEBC=兀一/ABC,

PC_PA_ZC_ZC

所以.(n―3—.(兀力-sin/4PC-sin/48c

sm匕刃sm匕力

ABAB

=2R=4

sin/APBsin^ACB

試卷17

初中

31923

所以R4+PB+PC=4(cos6(+cosa+cos⑶=4—+-+一

4816T

故答案為：立23

4T

【點睛】本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用,

解答時要能靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.己知橢圓G，拋物線G的焦點均在X軸上，G的中心和G的頂點均為坐標原點。，從

G，。2上分別取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

V2

X1V22

也

y20272

（1）求G和。2的標準方程；

（2）若G和。2交于不同的兩點45,求方?礪的值.

丫2

【答案】（1）y+/=1,y2=4x

（2）50-3672

【解析】

【分析】（1）通過觀察可得點（1,2）,（2,2逝）在拋物線。2上，點［］-,彳-［（、/5,0）在橢

圓上，代入點的方程求解即可；

（2）將C］和。2聯(lián)立，求出交點橫坐標，然后利用數(shù)量積的坐標運算求解.

【小問1詳解】

試卷18

初中

2

設(shè)拋物線c的標準方程為/=2px(p>0),貝|J2P=匕,

2X

"口4,

結(jié)合表格數(shù)據(jù)，因為

12

所以點2，且22=4,解得P=2,

所以拋物線C2的標準方程為/=4x.

(夜V322

將點h"萬(V2,0)代入橢圓q的標準方程+方=1伍〉b〉0)中,

7

-4+2_=1

得，解得/=2,〃=1,

所以橢圓G的標準方程為三+/=1.

2

【小問2詳解】

根據(jù)對稱性，可設(shè)45兩點坐標分別為(%,%),(5,-%)),

y2=4x,

聯(lián)立方程組〈/2，消了得/+8x—2=0，

x2+2y2=2

解得玉=-4—3A/2,x?=-4+3A/2,

2

因為》=乙20,

4

所以％=3A/2-4.

所以萬.礪=x；—y；=x；—4/=(3A/2-4)2-4(3A/2-4)=50-36V2.

16.如圖，在四棱錐尸—48CD中，為正三角形，底面4BC。為直角梯形,

ADHBC,AD±CD,AD=2BC=2,CD=6,PB=C.

試卷19

初中

（1）求證：平面尸40_L平面48c。；

（2）點"為棱PC的中點，求與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵包

7

【解析】

【分析】（1）取4D的中點K,連接PK,BK,可證尸K,平面/BCD,根據(jù)判定定理可

證平面PAD±平面ABCD；

（2）以K為坐標原點K4K民K0所在直線為x,%z軸建立空間直角坐標系，利用線面角

的向量公式可求線面角的正弦值.

【小問1詳解】

證明：如圖，取40的中點K,連接PK,BK,

?.?△P4D為正三角形，AD=2,：.PK=拒且PKL4D.

VAD=2BC=2,K為/。的中點，，。長二臺。，

又?.?底面為直角梯形，ADHBC郎DKHBC,故四邊形BKDC為平行四邊形，

而NDLOC,所以四邊形BKDC為矩形，...5K，4D,5K=CZ）=JL

???PB=瓜PK2+BK2=PB2,:.PK±BK.

PK±AD,BKcAD=K,BK,ADu平面ABCD，,PK1平面ABCD.

,/PKu平面PAD,平面PAD±平面ABCD.

【小問2詳解】

由（1）得PK工AD,PKLKB,由（1）又可得BK上幺D,

如圖，以K為坐標原點KA,KB,KP所在直線為x,%z軸建立空間直角坐標系，

試卷20

初中

則P(0,0,V3),5(0,V3,0),C(-l,V3,0),Z)(-1,0,0),M■專用，

CD=(0,-V3,0),PD=(-1,0,-V3),W=(-1.

設(shè)平面尸CD的法向量為〃=(x,y,z),

n-CD=Q—A/3J=0

由,—.，得令x=G，則y=0,z=—1,M=(V3,0,-1),

n-PD=Q—x—A/3Z=0

設(shè)的與平面PCD所成的角為9,則

8M與平面PCD所成角的正弦值為

7

17.某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司

生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更

大的作用.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為3