考向12幾何初步及三角形一基礎(chǔ)鞏固

【知識梳理】

考點(diǎn)一、直線、射線和線段

1.直線

代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線

的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義).

方法指導(dǎo)：

1).直線的兩種表示方法：

(1)用表示直線上的任意兩點(diǎn)的大寫字母來表示這條直線，如直線AB,其中A、B是表

示直線上兩點(diǎn)的字母；

(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.

2).直線和點(diǎn)的兩種位置關(guān)系

(1)點(diǎn)在直線上(或說直線經(jīng)過某點(diǎn))；

(2)點(diǎn)在直線外(或說直線不經(jīng)過某點(diǎn)).

3).直線的性質(zhì)：

過兩點(diǎn)有且只有一條直線(即兩點(diǎn)確定一條直線).

2.射線

直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

方法指導(dǎo)：

(1)用表示射線的端點(diǎn)和射線上任意一點(diǎn)的大寫字母來表示這條射線，如射線0A,其中

0是端點(diǎn)，A是射線上一點(diǎn)；

(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.

3.線段

直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

方法指導(dǎo)：

1).線段的表示方法：

(1)用表示兩個端點(diǎn)的大寫字母表示，如線段AB,A、B是表示端點(diǎn)的字母；

(2)用一個小寫字母表示，如線段a.

2).線段的性質(zhì)：

所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短(即兩點(diǎn)之間，線段最短).

3).線段的中點(diǎn)：

線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).

4).兩點(diǎn)的距離:

連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)的距離.

考點(diǎn)二、角

1.角的概念：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)叫做角的頂

點(diǎn)，兩條射線分別叫做角的邊.

(2)定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.

射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置

和終止位置分別是角的兩條邊.

方法指導(dǎo)：

1).角的表示方法：

(1)用三個大寫字母來表示，注意將頂點(diǎn)字母寫在中間，如/AOB；

(2)用一個大寫字母來表示，注意頂點(diǎn)處只有一個角用此法，如/A；

(3)用一個數(shù)字或希臘字母來表示，如Nl,Z?.

2).角的分類：

(1)按大小分類：

銳角一一小于直角的角(0°<Q<90。);

直角一一平角的一半或90°的角(&=900);

鈍角一一大于直角而小于平角的角(90°<?<180°);

(2)平角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫

做平角，平角等于180°.

(3)周角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，

周角等于360°.

(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90。),那么這兩個角叫做互為余角.

(5)互為補(bǔ)角：如果兩個角的和是一個平角(180°),那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角.

3).角的度量：

(1)度量單位：度、分、秒；

(2)角度單位間的換算：1°=60z,1'=60〃(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°,1周角=360°,1直角=90°.

4).角的性質(zhì)：

同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.

2.角的平分線：

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.

考點(diǎn)三、相交線

1.對頂角

⑴定義：如果兩個角有一個公共頂點(diǎn)，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延

長線，那么這兩個角叫對頂角.

(2)性質(zhì)：對頂角相等.

2.鄰補(bǔ)角

(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補(bǔ)角.

(2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

3.垂線

(1)定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線是

互相垂直的，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂直用符號來表示.

方法指導(dǎo)：

①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

(2)點(diǎn)到直線的距離定義:直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.

4.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個角，簡稱三

線八角，如圖所示：N1和/8、/2和/7、/3和/6、/4和/5是同位角；/I和

/6、N2和N5是內(nèi)錯角；N1和N5、/2和N6是同旁內(nèi)角.

(2)特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個角.兩個角的

一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.V

考點(diǎn)四、平行線/

1.平行線定義：

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“〃”來表示，.如直線a

與b平行，記作a〃b.在幾何證明中，“〃”的左、右兩邊也可能是射線或線段.

2.平行公理及推論：

(1)經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

即：如果b〃a,c〃a,那么b〃c.

3.性質(zhì)：

(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；

(2)兩直線平行，同位角相等;

(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符

號表示為：若5〃(3,b_La,則c_La.

4.判定方法：

(1)定義；

(2)平行公理的的推論；

(3)同位角相等，兩直線平行；

(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

(5)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.

考點(diǎn)五、命題、定理、證明

1.命題：

(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.

(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；

(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；

(4)命題的分類：真命題和假命題；

(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).

2.公理、定理：

(1)公理：人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做

公理.

(2)定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理.

3.證明：

用推理的方法證實(shí)命題正確性的過程叫做證明.

考點(diǎn)六、三角形的概念及其性質(zhì)

1.三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的分類

(1)按邊分類：

不等邊三角形

二角形等腰三角形＜.底與腰不等的等腹三角形

等邊三角形

(2)按角分類:

'銳角三角形

斜三角形＜

三角形.鈍角三角形

直角三角形

3.三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于

任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5.三角形內(nèi)角與對邊對應(yīng)關(guān)系

在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角

對等邊.

6.三角形具有穩(wěn)定性.

7.三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.

方法指導(dǎo)：

三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】

一、選擇題

1.如圖，△/8C中，/年90°信3,點(diǎn)尸是邊以上的動點(diǎn)，則//長不可能是().

A

￡

P

A.2.5B.3C.4D.5

2.如圖所示，圖中線段和射線的條數(shù)為（）.

A.三條，四條B.二條，六條C.三條，六條D.四條，四條

-AC~8~

3.下列四個圖中，能用/I、ZAOB,/0三種方法表示同一個的是（）.

4.一個三角形的三個內(nèi)角中（）.

A.至少有一個鈍角B.至少有一個直角

C.至多有一個銳角D.至少有兩個銳角

5.如果三角形的三邊長分別為a、a-1、a+1,則a的取值范圍是（

A.a>0B.a>2C.a<2D.0<a<2

6.如圖，某人不小心把一塊三角形的玻璃打碎成三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全

一樣的玻璃，那么正確的方法是（）.

A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去

二、填空題

7.鐘表在3點(diǎn)40分時，它的時針和分針?biāo)傻慕鞘?

8.一個角的余角比它的補(bǔ)角］還多1。，則這個角等于

9.兩個角，它們的比是3:2,其差為36。，則這兩個角的關(guān)系是.

10.直角三角形的兩個銳角的平分線所成的銳角為.

11.如圖所示，ZA=50°,ZB=40°,ZC=30°,則NBDC=.

A

BC

12.若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是.

三、解答題

13.如圖，已知AB〃CD,ZB=65°,CM平分/BCE,ZMCN=90°,求/DCN的度數(shù).

14.如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個點(diǎn)時，線段

共有3條；如果上有4個點(diǎn)時，線段共有6條；如果線段上有5個點(diǎn)時，線段共有10條；

⑴當(dāng)線段上有6個點(diǎn)時，線段共有多少條？⑵當(dāng)線段上有n個點(diǎn)時，線段共有多少條？（用

含n的代數(shù)式表示）⑶當(dāng)n=100時，線段共有多少條？

A-C_BVc_DBACD_F-B

15.如圖，AE、OB、0C平分/BAC、NABC、ZACB,OD±BC,求證：Z1=Z2.

B

EDC

16.已知aABC三邊長都是整數(shù)且互不相等，它的周長為12,當(dāng)BC為最大邊時，求NA

的度數(shù).

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】A.

【解析】點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短.

2.【答案】C.

【解析】每個點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有兩條.

3.【答案】D.

4.【答案】D.

【解析】三角形內(nèi)角和180°.

5.【答案】B.

【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a-l+a>a+l,解得a>2.故選B.

6.【答案】D.

二、填空題

7.【答案】130.

【解析】提示：3點(diǎn)40分時，它的時針和分針相距U份，13x30°=130°.故答案

33

為：130.

8.【答案】63°.

【解析】設(shè)補(bǔ)角為X,則余角為f2x+1。，因?yàn)橐粋€角的補(bǔ)角比余角多90°,

9

2

所以x-(―x+l°)=90°,

9

即x=117°,即該角為63°.

9.【答案】互補(bǔ).

【解析】設(shè)兩個角為3x,2x,即3x-2x=36°,x=36°,則3x+2x=180°.

10.【答案】45°.

n.【答案】120°.

【解析】做射線AD,即/BDC=/l+/2=N3+NB+N4+/C=/B+NA+NC=120°.

12.【答案［5<c<9.

【解析】三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是|2-7|<c<2+7,

即

5<c<9.

三、解答題

13.【答案與解析】32.5°.

提示：利用角分線和平行線的性質(zhì)可得.

1