2024年佛山市順德區(qū)高三數(shù)學(xué)3月模擬聯(lián)考試題卷

考試范圍：聯(lián)考考綱；考試時間：120分鐘2024.03

第I卷（選擇題）

一、單選題（4*15=60,注意：均只提供四個選擇項，與聯(lián)考不一樣）

1.已知集合4={m=—一+1},2=/9-，＜3},則幺口3=()

A.0<x<BE.均不是

2.已知log“％=2,logAm=3,則bg"〃?=

C.-D.-E.均不是

65

3.已知西，巧分別是關(guān)于%的方程%加工=2023,xe'=2023的根，則下面為定值2023的是（）

A.再+工2B.再一%2C.再D.:E.均不是

4.將函數(shù)/'（x）=sin卜—力（。>0）的圖象向右平移T個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，且函數(shù)g（x）

是偶函數(shù)，則。的最小值是（）

￡￡均不是

A.B-1C.D.fE.

366

3

5.以下不滿足sina='的角是（）

A.^-arcsin—B.arccos—C.arcsin—E.均不是

555

22

6.已知耳，鳥為雙曲線二一與=1（a>0,b>0）的兩個焦點，P為雙曲線上的任意一點，若銃笆

ab

的最小值為則雙曲線的離心率為（）

A.41B.V3C.2D.3E.均不是

S2n3

7.設(shè)等差數(shù)列{%},物」的前〃項和分別為s“，T?,若對任意正整數(shù)〃都有U=則

ln4〃一J

a31a9

b4+4b5+b]

A.35719

B.D.——E.均不是

72140

3

8.一個彈性小球從I。米自由落下，著地后反彈到原來高度丐處，再自由落下，又彈回到上一次高度

3

的1處，假設(shè)這個小球能無限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為（）

A.50D.80E.均不是

9-如圖'在棱長為1的正方體""4G〃中,E為線段"8上的點、，且商=3'點「在線段AE上,

則點尸到直線距離的最小值為（）

E.均不是

10.已知。=1+C；02+C；O22+C；。23+…+C；：22°,則。被10除所得的余數(shù)為（

E.均不是

11.在《周易》中，長橫■”表示陽爻，兩個短橫表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成

一卦，共有23=8種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回

地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰

爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，

然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（）

A.—B.—C.—D.-E.均不是

716168

12.過點（0,-2）與圓/+/-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a,貝!]sina=（）

E.均不是

—

22

13.已知圓G：x2+y2=b2（i>0）與雙曲線。2：3-烏=1（a>0，b>Q）,若在雙曲線c?上存在

77

一點尸，使得過點?所作的圓G的兩條切線，切點為A、B,且乙4尸5=§,則雙曲線G的離心率的取

值范圍是（）

（/71「石）

A.1,——B.—,+ooC.D.[V^,+8）E.均不是

v2JL2J一

14.如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，〃是的中點，當(dāng)點尸沿4-5-。-河運動時，點?經(jīng)

過的路程x與的面積V的函數(shù)V=/（x）的圖象的形狀大致是（）

2

E.均不是

15.已知函數(shù)/（x）=sin2x-2sin2x+l,給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)）（無）的最小正周期是2兀；

②函數(shù)“X）在區(qū)間京TT谷57r上是減函數(shù)；

_OO

③函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線尤對稱；

O

④函數(shù)/（X）的圖象可由函數(shù)y=V^sin2尤的圖象向左平移2個單位得到.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4E.0

第H卷（非選擇題）

二、解答題

16.已知函數(shù)/（尤）=x。+2。尤+2.

⑴當(dāng)。=1時，求函數(shù)/（x）在-2Vx＜3上的取值范圍；

（2）當(dāng)。=-1時，求函數(shù)/（尤）在r4x4/+1上的最大值.

17.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足%=1,all+1=2an+1.

（1）計算出,%，%，猜想｛4｝的通項公式并加以證明；

（2）求數(shù)歹屹=F，求上｝的前〃項和

22_

18.已知雙曲線C:4-三=1（。＞0）＞0）的漸近線方程為〉=±百》，焦點到漸近線的距離為1,過點

ab

3

M(o,4)作直線NB(不與y軸重合)與雙曲線C相交于43兩點，過點A作直線/：V=/的垂線NE,E為垂

足.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在實數(shù)人使得直線所過定點尸，若存在，求,的值及定點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

19.一般地，任何一個復(fù)數(shù)2=。+歷(。，beR)都可以表示成r(cos6+isin。)形式，其中，r是復(fù)數(shù)z

的模，。是以無軸的非負(fù)半軸為始邊，向量歷所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的

輻角，r(cosO+isinO)叫做復(fù)數(shù)2=。+所的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，a+6i

(a,6eR)叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.

y

2

1

2-LO:

—1

—2

(1)畫出復(fù)數(shù)z=l-i對應(yīng)的向量，并把z=l-i表示成三角形式;

3。，令.試求z逐2

(2)已知Z1=cos斗+isinq,z2=cos己+isin02,cos(?+4+2)=『其中4

(結(jié)果表示代數(shù)形式).

20.已知關(guān)于x的不等式*-法-2.<0的解集為(-1,3).

(1)求。，6的值；

x2-lax+b<0

⑵求不等式組〈x-y+lNO所表示的平面區(qū)域的面積.

2x+3y>6

1.D

【分析】

求二次函數(shù)值域可得集合A,解指數(shù)不等式可得集合B,再求交集即可.

【詳解】因為xbO,所以-/+1W1,所以N={y|y41},

又因為9f<3n32<3n-2x<1nx>-；，所以3="|x>-g}.

所以=<尤VI}.

4

故選：D.

2.D

【分析】

運用對數(shù)運算公式計算即可.

【詳解】由題意知，m>0,a>0,b>0,

因為log0/=2,logftm=3,

所以由換底公式可得log,/=g,log,"=g,

又因為log“a+log,“b=log“ab(abW1),

所以log/b=；+J=X，

23o

所以由換底公式可得=*

故選：D.

3.C

【分析】

20232023、?2023、

由必=lnx與%=F關(guān)于直線>=x對稱,▼〒關(guān)于直線三對稱可得z（三,再）與爪工）為同

一點即可求得結(jié)果.

【詳解】由已知條件可知，Inx=上20上232023

X

2023

令乂=lnx,y=------

3x

曲線必與曲線％關(guān)于直線>=x對稱，曲線外關(guān)于直線>=x對稱,

20232023

設(shè)曲線外分別與曲線力,必交于點次和——），Bg,),

王

5

則點A,B關(guān)于直線y=x對稱,

202320232023

而點力(再，——)關(guān)于直線〉=%對稱的點為(——，再)，即為點——),

石再x2

2023

貝!Jx2=----,即xix2=2023.

xi

故選：C.

4.A

【分析】

結(jié)合圖象變換求得g(x)解析式，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.

■、乂ATI-I口=,/、.71、71-..zCOTl7T,.八、

【詳解】由就思知，^(x)=sin[r<2?z(x——)——]=sin(6?x—-——)(G>0)

又因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)關(guān)于y軸對稱.

mjrTTJrS

所以-絲=+keZ,解得@=一二一2左，keZ,

2323

又。＞0,所以當(dāng)左=-1時，。取得最小值為;.

故選：A.

5.D

【分析】

利用誘導(dǎo)公式及反三角函數(shù)的定義即可求解.

333

【詳解】對于A項，sin(7i-arcsin-)=sin(arcsin")=~故A項正確;

444I-------a

對于B項,^arccos—=t,則cos%=1,所以sin(arccosM)=si"=，1-coJ%==」，故B項正

5

確;

33

對于C項,sin(arcsin,故C項正確；

33

對于D項,sin(arcsin(--))=--,故D項不成立.

故選：D.

6.A

【分析】

設(shè)出點B，P坐標(biāo)，運用數(shù)量積坐標(biāo)公式可得西?用=￥-，+需=|00/_°2,結(jié)合|0口2?？傻?/p>

C2=2Y，進(jìn)而可求得離心率.

【詳解】如圖,

6

yk

設(shè)片(—c,0),F2(C,O),尸(/Jo),

則西?麗=(—C—%,一%)=/一°2+/=|0。|2一°22〃2一。2(當(dāng)且僅當(dāng)尸在頂點時取等號)，

所以。2_。2__〃2,即02=2Q200二6a，

所以e=￡=VL

a

故選：A.

7.C

【分析】

運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，

11+q

1n

a3a9a3a9a3+a9ax+an2S”2x11-319

^7^+^；=策+亞=也=4+4=]囪+4)=二4x11-3=4r.

故選：C.

8.C

【分析】

運用等比數(shù)列求和公式計算可得￡解析式，結(jié)合極限思想即可求解.

【詳解】由題意知，這個小球在這次運動中第"次反彈著地后所經(jīng)過的總路程為

33

S=10+2X10X-+2X10X(42+??+2X10X(4"=10+20X4-----^―=10+60[1-(十],

444]_34

4

假設(shè)這個小球能無限次反彈，

3

所以這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為S=limS“=lim{10+60[l-(4y])=70.

n—>0072—>004

故選：c.

9.C

7

DF

【分析】在CO上取點尸，使后=3,連接EF、DF,過點。作。產(chǎn)于點G,結(jié)合題意可得4。//

FCt

平面瓦，2，DGL平面成故點P到直線NO距離的最小值為。G,計算出。G即可得.

DF

【詳解】在C。上取點尸，使R=3,連接E尸、。尸，過點。作。廠于點G,

FC

r)p4F

由——=——=3,故AD/1EF,又4Z)u平面EF2，即.平面屏〃，

FCEB

故40//平面或*i，由4D_L平面DGu平面故4D_LOG,

故石戶_L￡>G,又DGIDF,D、FcEF=F,D1F、石尸u平面跳〃，

故。G,平面9n，故/。到平面屏n的距離為。G,

又尸在線段。也上，故點尸到直線距離的最小值為。G,

3_5

由CO=DD=1,故DF=—,則D'F=——,

X4

故選：C.

10.C

【分析】

由題意可得。=(1+2戶=(10-1廠，將其展開式寫出后可得。=10?。1()9-%+1,即可得解.

232022010

【詳解】a=1+C^02+C^02+C^02+???+C^2=^+2)°=3=9=(0-1,

98

由(io—1[=或1。°一0；。^+…一C。io+C；=i((c°oio-qoio+----c^)+,

故。被io除所得的余數(shù)為i.

故選：c.

11.B

【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為〃=26=64,這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數(shù)為加=晨=20,

8

由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.

【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，

基本事件的總數(shù)為〃=26=64,

這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為機(jī)=媒=20,

所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是尸二段=斗二弓.

n6416

故選：B.

12.B

【分析】

（yC1

得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質(zhì)可得sing即可得cosg即可得sine.

22

【詳解】圓一+/-4》一1=0可化為（無一2）2+/=3,即圓心為（2,0）,半徑為6,

故圓心到點（0,-2）的距離為后后=2百,

i.?V3瓜rha+ha,fV6

貝m|isin—=--j=-—，由彳￡0,二，故cos—=/1———

22收42I2)2V(44

痂.c.aa.46Vioy/l5

改sina=2sin—cos—=2x——x-----=------.

22444

故選：B.

13.B

PO_________二%

【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得五口幺竺一，即雙曲線G與圓d+/=4/有交點，即a〈2b,

Sm2

即可計算離心率的范圍.

rb

【詳解】由乙4PB=工，故幺竺=巴，則尸°=.NAPB=F=%,

326sin--------sin—

即雙曲線G與圓d+V=4/有交點,

即a42b,即即

a2V42

即雙曲線G的離心率的取值范圍是事,”.

,2

故選：B.

9

14.A

【分析】

求出點尸在對應(yīng)線段上時的解析式，結(jié)合圖象判斷即可得.

]x

【詳解】當(dāng)點尸在45上時，y=-xAPxBC=-

22

當(dāng)點尸在3c上時，y=ABxBC--xABxBP--ADxDM--MCxCP

222

.171111/,

=1——x-1——x------x—2—1=--------,

2V72222V744

51

當(dāng)點尸在CM上時，y=-xADxPM=-|-x------A,

2242

其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.

故選：A.

15.B

【分析】根據(jù)降幕公式和輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷.

【詳解】f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=V_2sii^

對于①，因為。=2,則/(x)的最小正周期T=兀，故①錯誤；

對于②，由函數(shù)解析式可知，滿足巴+2E42X+71W型+2farMeZ時單調(diào)遞減，

242

解得￡++當(dāng)左=0時，單調(diào)遞減區(qū)間為,故②正確；

8O|_OO_

JT7T

對于③，由函數(shù)解析式可知，對稱軸滿足+：=7+,

42

解得x=g+?,左eZ,所以當(dāng)k=0時，對稱軸為尤=?,故③正確；

O2O

對于④，函數(shù)y=V?sin2x的圖象向左平移;個單位可得

4

y=J^sin21x+；■J=6sin(2尤+曰=/0$2尤W/卜)，故④錯誤.

故正確結(jié)論的個數(shù)是2個.

故選：B.

,1

。-1)+1/<5

16.(1)1</(X)<17(2)<

t2+i,^>—

2

【分析】(1)對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，從而可求得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出/(%)的取值范圍,

10

（2）對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，然后分和此!兩種情況求出函數(shù)的最大值

22

【詳解】（1）當(dāng)°=1時，/（X）=x2+2x+2=（x+l）2+1,

對稱軸為直線x=-l,

函數(shù)在-2<x<-l上單調(diào)遞減，在-1<xV3上單調(diào)遞增，

?.?x=T，X=3,/（X）1mx=17,

.??函數(shù)/X）在區(qū)間_2Vx<3上的取值范圍是14/（x）V17；

（2）當(dāng)〃二一1時，/（x）=X2~2X+2=（x-1）2+1,

對稱軸為直線％=1,

當(dāng)X；時，函數(shù)/（X）在區(qū)尤</+1上的最大值=

當(dāng)/zg時，函數(shù)“X）在+l上的最大值〃/+1）=〃+1；

21

（/-I）+l,t<-

???函數(shù)〃x）在上的最大值2.

t2+l,t>-

[2

“+2

17.（1）g=3,&=7,%=15,猜想%=2"-1,證明見解析（2）S“=2-亍

【分析】

（1）利用遞推關(guān)系式可求得。2,%，&，由此可猜想得到通項公式；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得通項公式

%=2"-l（〃eN*）成立；

（2）由（1）可得“，采用錯位相減法可求得S“.

【詳解】（1）由。1=1,?！?1=2?！?1得：〃2=24+1=3；。3=2〃2+1=7；。4=2。3+1=15；

由此可猜想%=2"-1（〃eN*）,證明如下：

當(dāng)〃=1時，?[=21—1=1,即？=2"-1成立；

假設(shè)當(dāng)〃=左心eN*）時，應(yīng)=2"-1成立，

4W

那么當(dāng)〃=左+1時，^+1=2^+1=2（2-1）+1=2-1,即%=2"-l（〃eN*）成立；

綜上所述：當(dāng)“eN*時，凡=2"-1.

11

nn

（2）由（1）得：b=

n￡7T酒

c123n-\n1123n-\n

-—7H----7H----7H-------1-----------1------，

*丁聲+升…+產(chǎn)+歹5$，2223242"2"M

11112

兩式作差得：片“1+…n_|---2------nn+

=2+￥+7+￥77+11-;?+17+1

〃+2

2〃

3

18.--%2=1（2）存在實數(shù)t=使得直線口過定點尸

34

【分析】

（1）焦點到漸近線的距離為6,在根據(jù)漸近線方程求出〃；

（2）計算出￡5的直線方程，再令x=0即可求出定點坐標(biāo).

【詳解】（1）

bc

焦點到漸近線的距離不妨求（O,c）直線y=￡x的距離d=\\=6=1,漸近線方程y=±fx=±?,

22

byja+b0

得Q=6

2

所以雙曲線方程為匕-/=1；

(2)

假設(shè)存在實數(shù)，，使得直線仍過定點P,

設(shè)直線48:了=履+4,/（占/]）,2（尤2，%）,則￡（占1）.

y=Ax+4

聯(lián)立/2_,消丁得（左2-3*+8履+13=0

[3

8k13

^Xl+X2=--Xix2=_.

12

直線仍：%'()-項),令X=0得:

x2一項

x

-y2i+及］+,_(5+4)玉+/?{_心工2-%+及］?(

yp=

x2-Xjx2一/x2-%1

又下入2普，?一一米1%2=1(再+馬)

石+x2O/tO