絕密★啟用前

2024年高考押題預測卷01【天津卷】

數學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題(本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的)

1.設全集。={1,2,3,4,5},集合”={1,4},N={2,5},則N=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

2.已知p:2'-8W0,q:(x-3)(x-4)V0,則()

A.p是q的充分不必要條件B.p是g的充要條件

C.q是p的必要不充分條件D.q是p的充分不必要條件

02

3.已知。=logo,20-3,b=log060.35,c=4,則()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

4.已知函數y=/(x)的部分圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是()

A.y=ln\yjx+l-x

C.y=sinx—xcosxD.y=sinx—xex

5.已知等比數列{g}的前〃項和S“，滿足a角=S，+1(〃EN*),則％=()

A.16B.32C.81D.243

TTJr

6.已知函數丁=Asin（ox+e）+機的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,，直線x=§是其圖象的一條

對稱軸，則符合條件的函數解析式可以是（)

JI

A.y=4sin（4x+—）B.y=2sin(4x+京)+2

71兀

C.y=2sin（2x+—）+2D.y=2sin(4%+—)+2

7.下列說法正確的是（）

A.一組數據7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位數為17；

B.根據分類變量X與丫的成對樣本數據，計算得到/=4.712,根據小概率值。=0.05的獨立性檢驗

（%=3.841）,可判斷X與V有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；

C.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0；

D.若隨機變量?！M足〃=3舁2,則。（力=3。?-2.

8.在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內有一

定量的水.若在高腳杯內放入一個球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經過冰塊的球心

0（水沒有溢出），則原來高腳杯內水的體積與球的體積之比是（）

彳

A.1B.'D.

36

22

9.已知雙曲線C：1-3=1（°>0力>0）的左、右焦點分別為kB，點M在雙曲線C的右支上，西，叫，

ab

若叫與。的一條漸近線/垂直，垂足為N,且|N4|-|ON|=2,其中O為坐標原點，則雙曲線。的標準

方程為（）

A/LB丁y21

D.--------------=1

2016204

cV—D/L

416420

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.i是虛數單位，復數史到=______.

l-2i

2x—的展開式中X的系數為

12.已知過原點。的一條直線/與圓C：(X+2)2+/=3?,且/與拋物線y2=2pM，＞。)交于。，尸兩

點，若|OP|=4,貝!]〃=.

13.有兩臺車床加工同一型號的零件,第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%,第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%.假

定兩臺車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺車床加工零件，同時出現優(yōu)秀品的概率為；若把加

工出來的零件混放在一起，已知第一臺車床加工的零件數占總數的60%,第二臺車床加工的零件數占

總數的40%,現任取一個零件，則它是優(yōu)秀品的概率為.

14.如圖，平行四邊形ABCZ)中ZZMS=60。，AD=3,AB=6,DE=EC,BF=^BC,^AB=a，AD=b，

用〃，b表不AE=，AE,AF—?

15.已知函數f(x)=G：2+|2尤2—奴+』有且僅有2個零點，則實數a的取值范圍為.

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分14分)在非等腰ABC中，a,b,c分別是三個內角A,B,。的對邊，且a=3,c=4,

C=2A.

(1)求cosA的值；

(2)求ABC的周長；

(3)求cos124+叫的值.

17.(本小題滿分15分)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB±AD,CD±AD,平面平面A5CD,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,M為PC的中點.

(1)求證:瓶〃平面上4D；

(2)求點A到面尸的距離

(3)求二面角P-3D-C平面角的正弦值

18.(本小題滿分15分)已知橢圓C：]+r=l(a>6>0),其離心率為亨，若月,B分別為C的左、

右焦點，x軸上方一點尸在橢圓C上，且滿足尸耳，尸&,忸片+尸為卜2』.

⑴求C的方程；

(2)過點P的直線/交C于另一點。，點/與點。關于x軸對稱，直線。M交x軸于點N,若VPQN的面

積是二QMV的面積的2倍，求直線/的方程.

19.(本小題滿分15分)若某類數列｛q｝滿足“皿22,2>2,且."。，，(女曰)，則稱這個數列｛q｝為“G

an-\

型數列”.

(1)若數列｛4,｝滿足卬=3,%。用=32同，求的，％的值并證明：數列｛%｝是“G型數列”；

⑵若數列｛4｝的各項均為正整數，且％=1,｛4｝為“G型數列"，記粼=4+1,數列也｝為等比數列，公

比4為正整數，當也｝不是“G型數列”時，

(i)求數列｛4｝的通項公式；

(ii)求證：七----->(?eN).

人―12

20.(本小題滿分16分)設函數/(x^f+lnx.

⑴求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

⑵設函數g(x)=/(x)-6(aeR)

(i)當x=l時，g(x)取得極值,求g(x)的單調區(qū)間；

(ii)若g(x)存在兩個極值點占,受，證明：0屋1)>一

x2_玉a2

2024年高考押題預測卷01【天津卷】

數學?全解全析

一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

1.設全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,4},N={2,5},則"<加=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【解析】因為全集。={123.4,5},集合/={1,4},所以6〃={2,3,5},

又N={2,5},所以N={2,3,5},故選A.

2.已知p:2”-820,q:（x-3）（x-4）（。，貝lj（）

A.p是q的充分不必要條件B.p是g的充要條件

C.q是p的必要不充分條件D.q是p的充分不必要條件

【答案】D

【解析】由題得0：xN3,q:34x<4.

當命題。成立時，命題4不一定成立，所以。是q的非充分條件，4是0的非必要條件；

當命題4成立時，命題〃一定成立，所以p是4的必要條件，q是p的充分條件.

所以p是q的必要非充分條件，q是p的充分非必要條件，故選D

a2

3.已知。=log（）,2°3,b=log060.35,c=4,則（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】函數y=log°-2X為（0，+8）上的減函數，又0.2<0.3<1,

所以logo,21<logo,20.3<log020.2,故0<°<1；

函數y=logo,6X為（。,+8）上的減函數，X（0.6）3<0,35<（0.6）2,

623

所以10go,6（0-）<10go.60-35<log06（0.6）,故2<b<3；

函數丁=4工為(0,+e)上的增函數，又0<0.2<0.5,

所以4。<4°2<4婚，故l<c<2；

所以〃故選B.

4.已知函數y=/(x)的部分圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是()

C.y=sin%—xcosxD.y=sinx-xex

【答案】C

［解析］對于A,In+1+兀=ln(J%2+i+x)=］n==—ln('爐,

-」X?1—X

又y=In(V77T-X)的定義域為R,

.?.yTMA/TW-x)為R上的奇函數，圖象關于原點對稱，與已知圖象相符；

當xNO時，y=為增函數，>=彳為增函數，又y=lnf在(0,+s)上單調遞增，

由復合函數單調性可知：y=歷(77+1+x)在［0,+“)上單調遞增，

又y=In(J尤2+1-x)=-InRx?+1+x),

.?.丫小,4^-目在乩+⑹上單調遞減，與已知圖象不符，A錯誤；

對于B,由^y，二0得：XWO,.?.>=￡^的定義域為{小*0},與已知圖象不符，B錯誤;

對于D,sin(-j;)-(-x)ex=-sinx-］-xerxw-sinx+xe",

y=sinx-xe"不是奇函數，圖象不關于原點對稱，與已知圖象不符，D錯誤.

故選：C.

5.已知等比數列｛4｝的前”項和S“，滿足a"M=S“+l(weN*),則％=()

A.16B.32C.81D.243

【答案】A

【解析】等比數列｛4｝的前“項和為S”，且a“M=S,,+l(77eN*),

???a“=M+l(〃N2),

?，.an+1-an=an,：.aii+l=2an,故等比數列｛為｝的公比為2.

在%+i=S,+l(〃eN*a，

令九=1,可得%=4+1,.*.〃]=1,貝I」%=%,/=1x16=16,故選A.

6.已知函數〉=45出(如+0)+m的最大值為4,最小值為0,最小正周期為直線x=g是其圖象的一條

對稱軸，則符合條件的函數解析式可以是()

7171

A.y=4sin(4x+—)B.y=2sin(4x+—)+2

7171

C.y=2sin(2x+§)+2D.y=2sin(4x+—)+2

【答案】B

【解析】:函數y=Asin(cox+(p)+m的最大值是4,最小值是0,

,4_4-0__4+0_??7_萬八_21_4

222T

TT4乃TT

??,直線廣!■是其圖象的一條對稱軸，所以胃+。=1+左心(左￡Z)

(p=-￥+k兀，k￡Z???函數的解析式為y=2sin(4x--^+k?i)+2,k￡Z,

66

TT

可以為y=2sin(4x+：)+2,故選B

6

7.下列說法正確的是()

A.一組數據7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位數為17；

B.根據分類變量X與丫的成對樣本數據，計算得到/=4.712,根據小概率值《=0。5的獨立性檢驗

(%。5=3.841),可判斷X與￥有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；

C.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0；

D.若隨機變量4力滿足〃=34-2,則。(〃)=3。星)—2.

【答案】B

【解析】A選項，10x80%=8,故從小到大排列，第8個數和第9個數的平均數作為第80百分位數,

即衛(wèi)士型=18.5,A錯誤；

2

B選項，由于/=4.712>3.841,得到X與丫有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,B正確；

C選項，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1,C錯誤；

D選項，若隨機變量?！M足〃=3>2,則。（?7）=32。偌），D錯誤.

故選：B

8.在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正二角形，容器內有一

定量的水.若在高腳杯內放入一個球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經過冰塊的球心

0（水沒有溢出），則原來高腳杯內水的體積與球的體積之比是（）

A.1

【答案】D

【解析】如圖，圓。與48切于點。，設球的半徑為

貝ljQ4=2r,且AC=2OC,

^AC2=OA2+OC2,即40c2=4產,得。

c232

所以水的體積匕=?2廠——7tr=—7ir3,

39

所以水的體積與球的體積之比是^-=7,故選D.

?6

3

A

9.已知雙曲線。：,-/=1（4>0力>0）的左、右焦點分別為可，工，點M在雙曲線C的右支上，岬，M工,

若加月與C的一條漸近線/垂直，垂足為N,且|N周一|ON|=2,其中O為坐標原點，則雙曲線C的標準

方程為（）

R尤71

AD.---------------=1

-134rl204

D=I

c7i6=1T4

【答案】C

,且用,

【解析】因為吟居，ON±NFlt且。為￡￡中點，所以ON〃Mg|ON|=JM

因為|N￡|-|ON|=2,所以周-附圖=2（pVFj|TON|）=4=2a,解得a=2,

直線/的方程為y=-/x,所以加凰=J/+.=6,則|ON|=b-。，在直角三角形耳N。中利用勾股定

22

理得62+。一。）2=,2,解得6=2。=4,所以雙曲線的標準方程為二一匕=1,故選c.

v'416

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.i是虛數單位，復數目圖=.

l-2i

【答案】l+2i

|3+4i|55(l2i)5(l2i)

【解析】++

l-2i-l-2i(l-2i)(l+2i)5

7

11.2x--\的展開式中x的系數為

X

【答案】-560

【解析】12x—j7的展開式的通項加=C；（2x）”

(-l)f27-rC；x7-2r

令7-2r=1,得r=3,所以的展開式中》的系數為（一1丫Z,fc；=-560.

12.已知過原點。的一條直線/與圓C：（x+2）2+/=3相切，且/與拋物線yJ2px（p>0）交于O,P兩

點，若|。尸|=4,貝IJP=

【答案】3

【解析】由于圓心為。(-2,0),半徑為廠=代，故直線/一定有斜率,

設/方程為y=履,=△，解得k=±^3,

故直線/方程為'=±底,

聯立y=±V3x與y~=2px(p>0)可得-2?=0=尤=0或彳=g,

故j彳，土沙1故|°H=J用2

4“c

=耳。=4np=3，

13.有兩臺車床加工同一型號的零件,第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%,第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%.假

定兩臺車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺車床加工零件，同時出現優(yōu)秀品的概率為；若把加

工出來的零件混放在一起，己知第一臺車床加工的零件數占總數的60%,第二臺車床加工的零件數占

總數的40%,現任取一個零件，則它是優(yōu)秀品的概率為.

【答案】1.5%13%

【解析】由于第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%,第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%,所以兩臺車床加工

零件，同時出現優(yōu)秀品的概率為15%xlO%=1.5%

記B”加工的零件為優(yōu)秀品"，A="零件為第1臺車床加工“，4=”零件為第2臺車床加工“，

尸(A)=60%,P(A)=40%,P(B|A)=15%,P(B|A)=10%,

由全概率公式可得P(B)=P(B|A)+P(A)P(B\A)=60%x15%+40%x10%=13%,

14.如圖，平行四邊形ABC。中/DAB=60。，AD=3,AB=6,DE=EC,BF=；BC,設A8=a，ADS

用a，b表示AE=，AE-AF=?

【答案】

2

【解析】空一：因為DE=EC,

uimUUIBnumuumiuunuumiuunirr

所以AE=AO+OE=AD+—OC=AD+—A3=—a+b；

222

空二：因為2尸=；BC,

所以AF=48+8戶=AB+』BC=+4,

333

.111-211-2

因止匕Af,?1尸=(—ci+Z?),(tzH—Z?)——QH—ci'b'h-\—h,

23263

因為ZZMB=60。，AD=3,A5=6,所以卜4=忖=3,卜2卜忖=6,〈a,力=60。,

所以廠=Lx36+1x6x3xL+」x9;國，

26232

15.已知函數/'(x)=—+|2尤2一依+［有且僅有2個零點，則實數a的取值范圍為—

【答案】卜2-2后-2)(-2,2-273)

【解析】(1)當△=/一8<0,即時，

2x2-ax+\>0恒成立，

所以/(x)=(。+2)%2-依+1,

因為/(x)有兩個零點，

所以aw—2且/_417_8>0,解得.<2-2用或a>2+2g(舍)，

所以-2夜<。<-2或-2<。<2-2石;

(2)當公=4-8>0,即a<-20或°>2夜，

設8(%)=2/-ax+l=0的兩個根為W,且加<”,

當a>2夜時，/(力>0恒成立，不滿足題意，

當a<-2母,有一62=|2三_依+,有兩個解，

因為-a>2,^<0,所以-辦2與g(尤)在(0,+(?)必有一個交點，

當xe(-oo,m)時，一加與g⑴沒有交點，

當尤=0時，g(O)=l,所以-依2與g(x)在(〃,0)必有一個交點

所以要使方程-62=|2f一有且只有兩個零點,

貝1J—ax?=—2x2+—1無解,

即（2-a）d-依+1=0沒有實數根,

BPa2-4（2-a）＜0,解得-2-2百＜°＜-2+2若，

因為一2-2括＜一2應＜一2+2括，所以一2-2退＜。＜一2忘，

綜上實數0的取值范圍為：「2-2"-2）0卜2,2-2白）.

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）在非等腰.ABC中，a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊，且a=3,c=4,

C=2A.

⑴求cosA的值;

（2）求4ABe的周長;

⑶求cos]24+(J的直

由正弦定理三二上二三，?=

【解】（1）在ABC中,3c=4,

sinAsinBsinC

34

可仁才菽,

434

因為C=2A,所以再即

sin2AsinA2sinAcosA

2

顯然sinAwO,解得cosA=§.

（2）在.ABC中，由余弦定理/=/+/—20CCOSA,

得日6+7=0,解得6=3或b=(.

7

由已知〃，b,c互不相等，所以b=

7

所以CABC=Q+b+c=3+4n—=—.

33

(3)因為cosA=—,所以sinA=Jl—cos?A=,

33

所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2=,

99

71、7C■M』走一逑」=_用46

2A+—\=cos2Acos--sin2Asin

(6（9）29218

17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐尸-ABCD中，AB±AD,CD±AD,平面BAD，平面A5CD,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,Af為PC的中點.

p

(1)求證:平面PAD；

(2)求點A到面PCD的距離

(3)求二面角P-BD-C平面角的正弦值

【解】(1)取尸。中點N,連接川V,初V,如圖

由M為尸C的中點，所以跖V〃CZ＞且=

2

又ABJ_AD,CDJ_AZ),且AB=2,CD=4,

所以A3〃c。且

2

故MN1!AB且MN=AB,

所以四變形即的4為平行四邊形，故8M//AN

又?平面尸AD,ANu平面PAD

所以平面R4D

(2)由CD_LAD,CDu平面ABCD

平面PAD_1_平面ABCD,

平面ABCDc平面R1D=AD

所以CD_L平面PAD,又AVu平面尸AD

所以CD_LA7V,由E4=4)=PD=2,

所以上4￡＞為正三角形，所以AN_LPO

則CD＜^PD=D,CD,PDGPCD

所以AN1平面尸CD,且AN=2.B=6

2

所以點A到面PCD的距離即AN=6

(3)作尸ElAD交AD于點E,

作EFLBD交BD于點F,連接斯，尸尸

由平面上4￡>_L平面ABCD,PEu平面平面尸AD

平面ABCDc平面叢D=AD,

所以尸E_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以尸E_L3D,又PEcEF=E

PE,EFu平面PEF,所以2平面PEF

又尸尸u平面PEF,所以BD/PF

所以二面角尸-5￡>-E平面角為/PEE

PE=6,又ADEF為等腰直角三角形

所以E尸=",所以PF=JPE2+EF2=巫

22

所以sin/PFE=B=3?

PF7

又二面角P-3D-C平面角為萬-NPEE

故sin(乃-NPFE)=sinZPFE=

所以二面角尸-3D-C平面角的正弦值為反

7

18.(本小題滿分15分)已知橢圓C：.+r=1(〃>6>0),其離心率為乎，若月，B分別為C的左、

右焦點，x軸上方一點尸在橢圓C上，且滿足尸片1■尸B，|尸片+「名|=2』.

⑴求C的方程；

(2)過點尸的直線/交C于另一點。，點M與點Q關于x軸對稱，直線R0交x軸于點N,若VPQN的面

積是“QMN的面積的2倍，求直線/的方程.

【解】(1)解：因為出，尸入，所以尸耳.尸鳥=0,且|尸片『+|尸耳「=|甲葉

又畫+成卜2.,所以耐+2PFl-PF2+PF^=12,

即出。尸耳?、萍粹蚓印?|尸入月耳「=4°2=12,所以c=JL

又離心率e=￡=1/Z,所以a=c2—a2—b2,所以6=

a2

所以橢圓方程為1+m=i；

63

(2)解：由(1)可得尸點的坐標為(。,@,

依題意直線/的斜率存在，設直線/的方程為y=E+百,

y=kx+y/3廠

由“/消去y整理得（2公+1）爐+4限=0,解得工=0或工=￥^,

---1=12k+1

[63

癢2限2]

所以。點坐標為

2Z:2+1）

2瓜2-#>'

從而點坐標為

M2/+1

所以直線的方程為y=4x+百,

2k

因為VPQN的面積是,QMN的面積的2倍,

所以SypQM=SvQMN或S^PQM=，

當&皿=$2MV時，即當生二義卜26中解得左=土逅，所以直線/的方程為y=土如x+百；

當$VPQM=3SV°MN時，即弋上=，x(-2布k),解得左=±必^,所以直線/的方程為y=±，^%+指；

2%+1266

所以滿足條件的直線/的方程為＞=土如X+6，＞=土邁X+百

26

19.(本小題滿分15分)若某類數列｛叫滿足“V讓2,」之＞2,且“,產OpzeN*),則稱這個數列｛4｝為“G

an-l

型數列，，.

2+1

⑴若數列｛%｝滿足％=3,anan+1=3-,求生，%的值并證明：數列｛%｝是“G型數列”;

⑵若數列｛q｝的各項均為正整數，且4=1,｛%｝為“G型數列"，記么=%+1,數列也,｝為等比數列，公

比4為正整數，當他J不是“G型數列”時,

(i)求數列｛凡｝的通項公式；

(ii)求證：￡-----).

k=l%為+112

aa=

【解】（1）nn+l3?"+l,令〃=1,則4a2=33。2=9,

2n+1

令〃=2,則a2a3=3'a3=27；由anan+1=3①，

二?當〃22時，an-\an=32〃T②，

由①+②得，當時，—=9,

an-l

所以數列｛%｝(〃eN*)和數列｛%-｝(〃eN*)是等比數列.

因為%=3,%a用=32用，所以%=9,

所以*=3.9"T=,%,=9?9"T=3?",因此為=3",

從而2=3>2(〃N2),所以數列應｝是“G型數列”.

an-\

(2)(0因為數列｛4｝的各項均為正整數，且｛4｝為“G型數列”，

所以巴旦>2,所以因此數列｛q｝遞增.又優(yōu)=凡+1,

an

所以2+1-2=?！?1-%>0,因此｛2｝遞增，

所以公比4>1.又也｝不是“G型數列”，所以存在％eN*,

b

使得資142,所以qW2,又公比為正整數，

%

所以q=2,又偽=%+1=2,所以2=2",則a"=2"-l.

2+|