試題類型：A

2024屆山西省高三適應性考試（一）數學試題秘密★啟用前

數學

姓名準考證號

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置

上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，

將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知向量5=（機+1,i）,B=（%—1,1）,且萬j_B，則加=（）

A.lB.-lC.+V2D.0

2.已知集合2=卜百，1},8={-1,0,1,2,4},則圖中陰影部分表示的集合為（）

03

A.{1}C.{0,l}D.{-1,0,1}

3.設命題夕：mxeR,/>Ax,則7為（）

xT

A.VxGR,a>kxB.3xeR,a?kx

xx

C.VxeR,a?kxD.HxGR,a=kx

4.某學校高三年級組在每次考試后將全年級數學成績的第85百分位數定為“優(yōu)秀”分數線.某

次考試后，張老師將自己所帶100名學生的數學成績錄入計算機，并借助統(tǒng)計軟件制作成

如圖所示的頻率分布直方圖.據此，以樣本估計總體，可知此次考試的“優(yōu)秀”分數線約為

（）

頻率Tii

成績

A.120B.123C.126D.129

22

5.已知片，心是橢圓。：0+==1（。>6>0）的左、右焦點，經過大的直線/與橢圓。相

ab

交于45兩點，若［4閭=3,|/>=4,忸聞=5,則橢圓C的離心率為（）

A-fBTc-iD'f

6.已知數列｛%｝滿足=2%+]-%—1,且％=3,則4024=()

152

A.-B.-4C.-D.-

543

7.已知函數/（"是定義在例XHO｝上不恒為零的函數，若等+坐±則

()

AJ⑴=1B./(-l)=l

C./（x）為偶函數D./（x）為奇函數

8.如圖，在體積為1的三棱錐幺-8。的側棱48,NC,ND上分別取點瓦凡G,使

AE:EB=AF:FC=1:1,AG:GD^2:1,記。為平面8CG、平面CDE、平面DBF的

交點，則三棱錐。-8。的體積等于體積等于（）

1111

A.—B.-C.一D.-

4567

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的

得0分.

9.已知復數z=-l+3i,彳是z的共輾復數，則（）

A.|z+3-2i|=V5

B.z的虛部是3i

C.z在復平面內對應的點位于第二象限

D.復數z是方程/+2》+8=0的一個根

10.已知函數/（x）=sincox-->0),貝!J()

A.當0=；時，函數/（x）的周期為4兀

B.函數/（x）的對稱軸是x=—

6①co

157r

C.當0=5時，x=§是函數/（X）的一個最大值點

5兀

D.函數/⑴在區(qū)間（0,1）內不單調，則0〉一

6

11.群的概念由法國天才數學家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀30年代開創(chuàng)，群論雖起源

于對代數多項式方程的研究，但在量子力學、晶體結構學等其他學科中也有十分廣泛的應

用.設G是一個非空集合，“?！笔且粋€適用于G中元素的運算，若同時滿足以下四個條件,

則稱G對“。”構成一個群：（1）封閉性，即若a,beG,則存在唯一確定的ceG,使得

c=a°b-,（2）結合律成立，即對G中任意元素仇c都有（。。6）。。=口。3。。）；

（3）單位元存在，即存在eeG,對任意aeG,滿足。。0=6。。=。，則e稱為單位

元；（4）逆元存在，即任意aeG,存在使得。。6=6。。=0,則稱。與b互為

逆元，b記作al一般地，可簡記作附,。。?？珊営涀鱝?,/。?？珊営涀鳂?以此

類推.正八邊形Z8C0EEGZ/的中心為。.以e表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變

TT

換；以「表示以點。為中心，將正八邊形逆時針旋轉一的旋轉變換；以加表示以。4所在

4

直線為軸，將正八邊形進行軸對稱變換.定義運算“?！北硎緩秃献儞Q，即/og表示將正八邊

形先進行g變換再進行/變換的變換.以形如rpmq（夕應€N,并規(guī)定r°=m°=e）的變換

為元素，可組成集合G,則G對運算“?！笨蓸嫵扇海Q之為“正八邊形的對稱變換群”，記

作A-則以下關于4及其元素的說法中，正確的有（）

A.mr~eD&,且mr~—r~m

B.r3m與r5m互為逆兀

c.A中有無窮多個元素

D.Dg中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓柱的底面半徑為1,高為2,若圓柱兩個底面的圓周都在同一個球的球面上，則

該球的表面積是.

13.甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學中考語文、數學、外語的成績如下表：

甲乙丙T戊己

語文108110115110118107

數學110120112111100118

外語110100112114110113

將每人中考成績最高的科目認定為他的“最擅長科目”，例如甲的最擅長科目為數學和外語.

現從這六位同學中選出三人分別擔任語文、數學、外語三個科目的科代表（每科一人，不可

兼任），若每個科代表對應的科目都是他的最擅長科目，則符合要求的安排方法共有

__________種.

14.已知幺（不為拋物線「=8x上兩個不同的動點，且滿足％%=T6,則

%+必+2|+卜+>2+2］的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）A48C中角48,C所對的邊分別為名“c,其面積為S,且

4S^b2+c2-a2.

⑴求z；

（2）已知q=2j5，求S的取值范圍.

16.（15分）如圖，在三棱臺48C—44cl中，平面平面

7T

ABXC,BBi1AB],AB=4,AAi=ABX=2,ZBAC=-.

（1）證明：幺。，平面2844；

（2）若直線8c與4cl距離為3,求平面4B44與平面8CG4夾角的余弦值.

17.（15分）某次比賽中，甲乙二人進入決賽并爭奪冠軍.比賽規(guī)則為：①每局比賽后，勝

者獲得3分，負者獲得1分，比賽沒有平局；②連續(xù)2局獲勝或積分率先達到11分者可獲

得冠軍，比賽結束.已知在單局比賽中，甲乙獲勝的概率均為

2

（1）求甲乙決出冠軍時比賽局數X的分布列與數學期望E（X）；

（2）求在甲獲得冠軍的條件下其積分達到11分的概率。.

22

18.（17分）已知雙曲線。：——勺=1（。＞0力＞0）經過點2（3,2）,其右焦點為尸，且

直線y=2X是c的一條漸近線.

（1）求C的標準方程；

（2）設“（根,〃）是。上任意一點，直線/:絆-箸=1.證明：/與雙曲線。相切于點

ab

M；

（3）設直線尸丁與。相切于點T,且而.k=0,證明：點尸在定直線上.

19.（17分）已知Q＞0,且awl,函數/（x）=a"+ln（l+x）—1.

Q

（1）記%=/（〃）—ln（〃+l）+凡S”為數列｛%｝的前〃項和.證明：當。二，時，

564<2024；

(2)若口=』，證明：…0；

e

(3)若有3個零點，求實數。的取值范圍.

秘窗★啟用窗

2024年山西省高考考前適應性測試

數學參考答案

評分說明：

i.考生如按其他方法或步界解答?正確的.同樣給分；有錯的.根據情誤的性質.參照評分說明中相應的規(guī)定

坪分。

2.計算庖只有成后答案而無演算過程的,不給分;只寫出一股公式但未能與試魅所給的具.體條件聯系的.不

給分。

A卷選擇題答案

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

I.D2.C3.C4.D.5.A6.B7.C8.B

二、多項選擇題:本誕共3小誕,每小題6分,共18分。在每小逝給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的

得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.AC10.ACDII.ABD

B卷選擇遨答案

LD2.C3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.BC10.ABDIkABD

A、B卷非選擇題答案

三、填空題:本題共3小遜，每小邈5分，共15分。

12.8%

13.10

14.6

四、解答題:本題共5小涯，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步費。

15?解：(1)因為Su4%iM?o<kvl——............................................................................................................2分

22bc

代人4s=分+/-得：

2bdnA=26ccoev4..........................................................................................................................................................3分

所以Um/I=l?.................................................................................................................................................................4分

又/IW(0?F)所以4=￡...........................................................................................................................................5分

4

(2)因為/!+8+C=IT.所以B+C=.............................................................................................................6分

4

因為。=2M?.

由---=---="--=4.............................................................................................................................8分

坨認BIDB3inC

所以S=；bc^inA=4\Z2sinflsinC

數學試組答案第1頁（共5頁）

=4V^Bin8sin(-；—fl)?=4(Aio&cosH+Rin2fi)

4

o2(ein2￡f-cas2AI)c2v^2sin(2B--)2.........................................................................................10分

4

因為0<8??所以一;<28一:.......................................................II分

4444

所以-芋<sin(28-京)￡I.

RfW0<5<s2\/2+2.

即S的取值范圖尼(0.20+2J....................................................................................................................13分

16.(I)證明：?.?平麗/L984平而/L0,C.平平C平而〃?6=。凡,6瓦U平面48伉兒,88,IAB,,

.昭J_平面/I8,C............................................................................................................................................3分

?/HCU平面/IBC：.BB,A.AC.................................................................................................................4分

?:ZJ3AC=???，AC-LBA.

2

又-■ABDBB,nB,.\AC........................................................................................................6分

(2)解:議48,中點為。.???/M?=AB,,.\AD±A,Bt.

?：AB//A,B,..\AD1.AB.

因為直線8C與8,G的距離為3.

故BB,1-{

辯鐺a=2\/?（或a=舍）................................................................1】分

平而共88,4的怯向月為祝=（0.4四.0卜.......................................................12分

,、a-BB,=0,-3x+\/3z=0.

設平面8CG8,的法向適為n=(x.y.3).則一即「

n-B,Ct=0.-2r+2\/2y=0.

=(\/2.l.x/6)....................................................................................................................................14分

IAC|=4\/2.|n[=3./IC-n=40.c?B(/IC.n)==y.

故平面川陽,4與平面8CC,8,夾角的余弦假為;.................................................15分

17.解i由比賽規(guī)則知.1的比賽后,中乙雙方共朕得4分.

若比賽進行了4局還未納束,則雙方共什16分,此時雙方均為8分.

則第5附比賽若必定有1人積分可達刑11分，枚比賽局數不會郵過Si

押由比犯規(guī)則可知,若比賽共進行了“同(2w”G5),

則前〃-1冊不可他川現某人違股網次(百則二違勝后比理即汴求).

故前I局甲乙二人必定勝仇文費.

標上可知，比賽次出鬼軍時,二人比賽過強中的勝負何況衣以下三腳可的：

第一.比賽進行。局(2G"64),而〃-1附二人勝負交任，第”局與第。-1局勝者柏同.此人僅達成二連勝并

獲用冠軍(凡機分不用過3x3+I。10分,故未達II分)|

笫二.比費進行5腦,二人始除股負交替，而中第5局獲勝看跳得II分.另一方9分.此時獲勝著僅達成率先獲得

11分并洪得冠軍;

第三.比雅進行5局，的4同二人勝負交林，但第4局的正勝者在第5局推嫁獲勝,剛他同時達成二連觸與率先女

用II分并獲得冠軍.

記班機“件4=”第/同比費中W獲勝，e11.2,3.4,5),

B="甲達成二連勝”,C=”甲率先獲得11分”.

(1)根據甌鼠。(*=2)=/，(4()+/>(7；7；)=或了+(y)-=J,...............................................................2分

P(X=3)=P(\A,A,)+PiA^T,)=(1)'+(^))=...............................................................................3分

「(4口4)。戶(4否4/1?)+0(工人否工)口(4)'+(：)'=4........................................................................5分

ZZO

P(X=5)=1-P(Xo2)-P(X3)-P(Xs4)°1-^一!135........................................................6分

24oo

于是X的分布列為

X2345

上2工

p

2488

I1II23

故E(X)=2X彳+3x：+4Xp+5x---=--；..............................................................................................7分

24ooo

___ii|7

(2)根據以上分析知P(8C)=P(/l"])+P(篇4/J+P(4+(k)'+(k『=T7............9分

222Io

(萬五人五/(身=表.......................................

P0=2(/1,1,)=11分

5

P(BC)=PCA.A^A^)C(i)=.....................................................................13分

11

故P=P(C|(BUQ)=°⑹=——g—=豆+'u

15分

iKU〃P(BUC)P(BC)+P(BC)+P(BQ2_+J_+J_

苒3232-

2_±=|

【8.第：（1）根據國位.有，，y.部耳|二：士即C的方程為1..................................................4分

o.\u—32.o32

⑵山電肘在C上.琲等■白=1①.

o32

將您”的坐你代人/.利丁■&=1.0然成立，故點”在/上.....................................5分

oJ2

化為弱激式.陽功=如K一%.代人C井整現.

nit

利(n'-Am1)12+64WCT-256-8n;=012)....................................................................................................6分

|tl(D5M4?:-n2c32.

故②即4Y-8ms+32+nJ=0.......................................................................................................................7分

Jt列加式A=(-8m)，-4x4x(32+/)>=I6(4m]-32-n:)=0.

故直戲/與雙曲線ClU切于點M......................................................................................................................8分

當Q=0時.可用m=*2/5.此?計宜找占=+2口與C相切.........................................9分

(3)lh<I)?IF(2vn0.0),i?P(x1.y,),r(x；oJ).

由陽邑.而?77=(4-26^p卜(孫-2"必)<=0.

Uflx,%；-2VT0X,-2V,IOI；+40+ylyi=(X3)......................||分

由（2）知C在點.7?處的切姣方程為-看y=I?

o3L

又點P在此切段上.故W■一筆?=1(3)........................................................................................................13分

o32

@+32x@.^5x,x:-2VT0X,-2VT0J.+8=0.

BP(5x.-ZVTOJi,=2VT0X.-8................................................................................................................15分

2VT0XJ-82\/2(\/5x,-2\/2)2\/T0

因為5工：-2M市*0.解恒匕

5X:-2VT0-5/5(V/5X3-2\/2)5

于有「維皿工—上................................................................17分

J

8

19.(1)證明：由醫(yī)愈知a.n(-f?D-1.

88,'o78

令4=(K)，?其前0項和為匚-則匚=K--------=8-8x(-)'.....................................................................2分

97O7

，-9

令c.=n-1.其前八項和為兄.則R.=~+S；"=巴」L11....................................................................4分

故S-=幾?取=8-8x([)z.&：63<g+2016_2024;.......................................................................5分

(2)證明：/(外定義域為(-1.+8).

當aJ時./(Jt)=="+ln(l+x)-=—=—-X-\.......................................................6分

ceeI+xc/(J?x)

記名n)=<?-x-i.g'G)=c?-1.當-i<x〈o時./a)<o；當x>o時./a)>o.

數學氏題答案第4頁（共5頁）

.?.&G)在(-1,0)上單兩期減.在(0,+8)上單調遞地.................................................7分

Ag(x)>g(0)=O./'G)》0,當且僅當X=0時取等號.

.,,/(%)在(-1.+8)上單曲遞增.....................................................................8分

/.當-I<x<0時，/(才)</(0)=0；當工>0時,/(x)>/(0)=0.

，WG”0,............................................................................................................................................................9分

(3)方法I:/(")定義域為(-1,+oo)./'(x)=a'lna+J-=-叭二"”2L

①當。>1時J<T)>J->0.故/(*)是+上的增函數./G)至多有1個庫點.不符合Jg不.……10分

②當0<°<】時,記《(x)=?'(%+I)lna+14

J:

g'(工)=Q'(K+I)lna+a'\na=a*lno(x+1+7^—).

Ina

當-1<*<一"r------1時.，(.r)<0;當x>-T"-------1時?/(萬)>。?故g(x)在(一】?-----】)上的四遞減.

InaInaIna

在(J-I.+8)上華潤通地，

Ina

?(一』---1)=--1+1........................................................................................................................................It分

Inaa。

(i)若,宅。<1,則1)=--+120/6”0.故/3在(-|.+8)上單^建培./仃