2024年成都市高三數(shù)學(xué)（文）3月二?？荚嚲?/p>

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},8={xb=&+log3（3-x））,則/口3=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

2.空間中有平面口和直線。，b,若a//a,a/lb,則下列說(shuō)法中一定錯(cuò)誤的是（）

A.直線。平行于平面aB.直線b在平面&內(nèi)

C.直線6與平面a交于一點(diǎn)D.直線。和6共面

3.已知i是虛數(shù)單位，aeR,則“（a+i『=2i”是“力=「，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.用反證法證明“平面四邊形中至少有一個(gè)內(nèi)角不超過(guò)90?！?，下列假設(shè)中正確的是（）

A.假設(shè)有兩個(gè)內(nèi)角超過(guò)90。B.假設(shè)四個(gè)內(nèi)角均超過(guò)90。

C.假設(shè)至多有兩個(gè)內(nèi)角超過(guò)90。D.假設(shè)有三個(gè)內(nèi)角超過(guò)90。

5.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱大運(yùn)會(huì)）在四川成都開(kāi)幕，這是繼2001北京

大運(yùn)會(huì)，2011深圳大運(yùn)會(huì)之后，中國(guó)第三次舉辦夏季大運(yùn)會(huì)；在成都大運(yùn)會(huì)中，中國(guó)代表團(tuán)取得了驕人

的成績(jī).為向大學(xué)生普及大運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，某高校進(jìn)行“大運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽”，并隨機(jī)從中抽取了100名學(xué)

生的成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在［50,100］內(nèi)，將其分成5組：［50,60）、［60,70）、［70,80）、

［80,90）,［90,100］,并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)落在區(qū)間［80,90）內(nèi)

的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

6.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國(guó)際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏

算子，,，，華一王方法，，等，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥?他曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告

知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來(lái)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用

函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)＞=/(x)的圖象

如圖所示，則“X)的解析式可能是()

Z[NSIHAZ[

A.〃x)=3血*B./(x)=3-C./(x)=HD./(x)=H

7.已知雙曲線￡的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),(4,-療)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

()

A.￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為《一必=1B.E的離心率等于四

2.2

C.E與雙曲線f-'=1的漸近線不相同D.直線x-y-l=O與E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

24

8.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形,

若下圖中所示的角為a(0。＜a＜45。)，且小正方形與大正方形面積之比為1：25,貝Utana的值為()

9.已知的內(nèi)角N,B,C所對(duì)的邊分別為。,b,c,面積為S,若asin二一=bsinN,6S=y/3AB-AC,

則AABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

10.若函數(shù)/(x)=xe，-lnx的最小值為小，則函數(shù)g(x)=Inx-xe"]的最大值為()

A.-m-\B.-em+1C.-m+1D.-em~1

2

II.在四棱錐尸一/BCD中，PA1ABCD,ABIBC,且/尸D4=45°,/D+CD=4.若點(diǎn)尸均

在球。的表面上，則球。的體積的最小值為（）

A32.IT64"326兀

A.—兀7rBR.473TlCr.-------7iDn.---------

32727

1°h

12.已知函數(shù)/（x）=e、-三一~x2~bx（a,bwR）沒(méi)有極值點(diǎn)，則一的最大值為（）

2（。+1）4+1

A.逅B.-C.eD.—

222

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知實(shí)數(shù)x>0,y>0,若2x+3y=l,則2+工的最小值為_(kāi)___.

xy

14.已知圓C的圓心與拋物線/=8x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線2x-y-3=o與圓C相交于48兩

點(diǎn)，且|/8|=2,則圓C的方程為.

15.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（（U）,且被兩條平行直線/］：氐+>+1=0和/2：瓜+/+5=0截得的線段長(zhǎng)為

2五,則直線/的方程為.

16.已知橢圓C:=+1=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳心，禺心率為大若A和B為橢圓C上在x軸

ab3

上方的兩點(diǎn)，且函=2正，則直線/耳的斜率為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都

必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4W0,公差為或/*0），S,為｛%｝的前"項(xiàng)和，為等差數(shù)列.

⑴求生與d的關(guān)系；

（2）若％=1，北為數(shù)列」一］的前〃項(xiàng)和，求使得/〈，成立的〃的最大值.

J9

18.在四棱錐尸中，已知〃CD,月B_L4D,BCLPA,AB=2AD=2CD=2,PA=&,PC=2,E

是線段P8上的點(diǎn).

3

(1)求證：尸C_L底面48C。；

(2)是否存在點(diǎn)￡使得三棱錐尸-/CE的體積為g4?若存在，求出R胃F的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9BP

19.2022年二十國(guó)集團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)人第十七次峰會(huì)11月16日在印度尼西亞巴厘島閉幕，峰會(huì)通過(guò)《二十國(guó)集

團(tuán)領(lǐng)導(dǎo)人巴厘島峰會(huì)宣言》.宣言說(shuō)，值此全球經(jīng)濟(jì)關(guān)鍵時(shí)刻，二十國(guó)集團(tuán)采取切實(shí)、精準(zhǔn)、迅速和必要的

行動(dòng)至關(guān)重要，基于主席國(guó)印尼提出的“共同復(fù)蘇、強(qiáng)勁復(fù)蘇”主題，各國(guó)將采取協(xié)調(diào)行動(dòng)，推進(jìn)強(qiáng)勁、包

容、韌性的全球復(fù)蘇以及創(chuàng)造就業(yè)和增長(zhǎng)的可持續(xù)發(fā)展、中國(guó)采取負(fù)責(zé)任的態(tài)度，積極推動(dòng)產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)

發(fā)展，并對(duì)友好國(guó)家進(jìn)行技術(shù)援助.非洲某芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片I有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，

第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.

(1)在中國(guó)企業(yè)援助前，該芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片I的前三道工序的次品率分別為月=*,A=￡.求生

產(chǎn)該芯片I的前三道工序的次品率月；

(2)該芯片企業(yè)在中國(guó)企業(yè)援助下，改進(jìn)生產(chǎn)工藝并生產(chǎn)了芯片n.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得芯片I與芯片IL

并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開(kāi)機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的

100名用戶中，安裝芯片I的有40部，其中對(duì)開(kāi)機(jī)速度滿意的占70%；安裝芯片n的有60部，其中對(duì)

開(kāi)機(jī)速度滿意的占］14.現(xiàn)采一用分層抽樣的方法從開(kāi)機(jī)速度滿意的人群中抽取6人，再?gòu)倪@6人中選取2

人進(jìn)行座談，求抽到2人中對(duì)安裝芯片II的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為1的概率.

22

20.已知橢圓M:》+}=l(a>6>0)的離心率為短軸長(zhǎng)為2百，過(guò)點(diǎn)P(L。)斜率存在且不為0的直

線/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓左右頂點(diǎn)為N,設(shè)N3中點(diǎn)為。，直線。。交直線x=4于點(diǎn)凡自v(3時(shí)一的J是否為定值？若

是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)=(lnx-1),其中0片0.

⑴當(dāng)。=-2時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;

4

⑵若/(x)>0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選一題作答.如果多選，則按所做的第一題記分.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

22.在直角坐標(biāo)系工。歹中，直線G的參數(shù)方程為.。為參數(shù)，0<。<=),把￡繞坐標(biāo)原點(diǎn)

%sma2

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

⑴寫出G，的極坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G的極坐標(biāo)方程為0=8sin。，且G與G交于點(diǎn)4，與G交于點(diǎn)3(/，3與點(diǎn)。不重合)，

求“03面積的最大值.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知函數(shù)/(尤)=|2》-1|-卜+1|的最小值為〃?.

⑴求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足。一26+2c=〃?+],證明：a~+b2+c~>—.

1.A

【分析】根據(jù)根式與對(duì)數(shù)的定義域，結(jié)合交集的定義求解即可.

x>0_x>0

【詳解】由=^>0<x<3,

3-x>0x<3

所以8=]力=V7+log3（3_x）}={x[04x<3},

故/口5={0』,2},

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到b與平面a平行或直線6在平面a內(nèi)，根據(jù)。〃6,可得直線。和

6共面，從而判斷出答案.

【詳解】因?yàn)閍//a,。/",所以6與平面a平行或直線6在平面a內(nèi)，AB正確，C錯(cuò)誤；

因?yàn)閍〃6,所以直線。和6共面，D正確.

故選：C

3.A

5

【分析】由g+i『=2i結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出。的值，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

1

9a=\

【詳解】若（a+i）~=/-l+2ai=2i,且aeR,則｛,解得。=1,

所以，"（a+i）2=2i”是=1”的充分不必要條件.

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)反證法的定義.

【詳解】平面四邊形中至少有一個(gè)內(nèi)角不超過(guò)90°的反面含義為

4個(gè)內(nèi)角沒(méi)有一個(gè)不超過(guò)90°,即四個(gè)內(nèi)角均超過(guò)900，

故選:B.

5.C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求出成績(jī)落在區(qū)間[80,90）內(nèi)的人數(shù).

【詳解】由頻率直方圖可知，成績(jī)落在區(qū)間[80,90）內(nèi)的人數(shù)為

100x[l-（0.01+0.015+0.04+0.005）xlO]=3C.

故選：C.

6.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，了=/（尤）的圖象不關(guān)了軸對(duì)稱，

Z[\cos（-x）/[\cosx

而〃T）=39=3到=仆），3=山=山=/（x）,

即這兩個(gè)函數(shù)均關(guān)于y軸對(duì)稱，則排除選項(xiàng)B、D；

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知v=3'為單調(diào)遞增函數(shù)，y=為單調(diào)遞減函數(shù)，

由y=sinx的圖象可知存在一個(gè)極小的值為>0,使得y=sinx在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/。）=3加在區(qū)間（0,/）上單調(diào)遞增，/（x）=|在區(qū)間（0,尤。）上單調(diào)遞減,

由圖象可知〃無(wú)）=3疝”符合題意,

6

故選：A.

7.C

【分析】分別設(shè)出焦點(diǎn)在x軸上和在v軸上的雙曲線方程求解即可求出雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心

率和漸近線方程的公式可求出離心率的值和漸近線方程，將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立利用判別式即可

判斷雙曲線和直線交點(diǎn)個(gè)數(shù).

22

【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為云=

±_±=12

則工bl，解得El]此時(shí)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為反-必=1,

16_2__12-

22

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在了軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為夕=1（。>0,6>0）,

f14_

下一記"=-1

則:二，解得.c（舍去），此種情況不成立，則A正確；

/161b=—2

+b?=3,：?e=j==坯~，則B正確;

c=a

雙曲線/=i的漸近線為"±2=±交人

2a2

22/y

雙曲線匕—土=i的漸近線為v=±q=±±',即兩者的漸近線相同，則c錯(cuò)誤；

24b2

將直線x-y-l=O與雙曲線三一丁=1聯(lián)立得尤2一4無(wú)+4=0,

A=（-4）2-4xlx4=0,；.直線x-y-l=0與E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則D正確；

故選：C.

8.D

【分析】設(shè)大正方形/BCD的邊長(zhǎng)為。，求出小正方形跳皿N的邊長(zhǎng)，根據(jù)小正方形與大正方形面積之

24

比得2sinacosa=不，再利用弦化切求解可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為。，

則小正方形EFMN的邊長(zhǎng)為以尸|-以￡|=|，尸]-忸尸|=acosa-〃sina,

所以小正方形與大正方形面積之比為回吐二吧回1=（cose-sinJ=-.

aV725

7

2471

化簡(jiǎn)得2sinacosa=—,且Ova<一,

254

,_.2sinacosa2tana24

由2smacosa=；---------=——-----二—

sina+cosatana+125

3

解得tana=：.

4

故選：D.

【分析】利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合誘導(dǎo)公式與倍角公式求得2；利用面積公式與向量數(shù)量積的定

義求得/,從而得解

【詳角單】因?yàn)閍sin'=6sin/,所以sinN?sin-——=sin5-sinA,

22

BBBB

因?yàn)?<4〈兀，所以sin4>0,所以cos—=sinB,所以cos—=2sin—cos—；

2222

因?yàn)?<5<兀，所以O(shè)<0<4,所以cosO>0,所以sinO=J,

22222

所以與所以sin8=W，

263

因?yàn)?S=G荏.次,所以6xgbcsin/=百同Mcjcos/=VJbccos/,

所以tanN=",因?yàn)?</<兀，所以tan/=B，

36

所以C=7r-W-m=W，則。8c是直角三角形，

362

故選：B

10.A

【分析】分析函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(力與函數(shù)g(x)的變換關(guān)系，由此即可推斷函數(shù)g(x)=lnx-xe.

的最大值.

【詳解】/(%)=xe'Tnx,x>0,

令x=ex有：f(ex)=ex--Inex=x-ex+1-Inx-1,

則/(ex)=-g(x)-l,即g(x)=-/(ex)-1,

8

由此知g(x)的函數(shù)圖象為：/(X)的圖象通過(guò)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(，縱坐標(biāo)不變，得到/(ex),

再關(guān)于x軸對(duì)稱，得到-/(ex),最后再向下平移一個(gè)單位，得到g(x)=-f(ex)-1；

根據(jù)已知條件函數(shù)/(x)=xex-lnx的最小值為制,

由此可知函數(shù)g(X)=lnx-xea+1的最大值為-.

故選：A

II.C

【分析】根據(jù)題設(shè)易得ZC是四邊形/BCD外接圓的直徑，利用線面垂直的性質(zhì)、判定證

PA1BC,PAYCD,PA1AC,進(jìn)而得到尸是以尸C為斜邊的直角三角形，即尸C中點(diǎn)。

為外接球球心，令尸Z=/D=x且0<x<4,求得外接球半徑關(guān)于x的表達(dá)式，求其最小值，即可求球體

最小體積.

由題設(shè)，4氏C,。在一個(gè)圓上，故/48c=180°,

又ABLBC,所以NADC=90°，即AD，CD,故/C是四邊形48c。外接圓的直徑，

由平面488,4D,BC,CD,/Cu平面/BCD,

則PA1AD,PA1BC,PA1CD,PA1AC,

由川口48=4,尸a/8u面P48,則面P4B,PSu面尸48,則8C_LP8,

由P/c4D=/,P4,4Du面P4D,則CD_L面尸4D,PQu面尸40,則8_1_a。，貝U/PZM=45°，

P4

又尸/_LAD,故tan/PZM=——=1,即P/=AD,

AD

^PA=AD=xS.0<x<4,貝l]CD=4-x,/C=+(4一x?=也/-8『+16,

且APBCQPCDQPCA都是以PC為斜邊的直角三角形，故尸C中點(diǎn)。為外接球球心，

所以外接球半徑八.而二"？三

64而

---------兀.

27

7

9

故選：c.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定/C是四邊形48co外接圓的直徑，尸C中點(diǎn)。為外接球球心為本題的關(guān)鍵,

由此即可順利得解.

12.B

【分析】轉(zhuǎn)化為/(x)=e，-一1x-620恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和最值，從而得到

匚+叫"口，故f」：與，換元后，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，求出答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=e;了片—一樂(lè)沒(méi)有極值點(diǎn)，

f\x)=ex——1或/(X)40恒成立，

由>=^指數(shù)爆炸的增長(zhǎng)性，/(X)不可能恒小于等于0,

./x)=/---x-b20恒成立.

a+1

令〃(x)=e》x-b,貝［j/z，(x)=eX,

。+167+1

當(dāng)4+1<0時(shí)，"(x)〉o恒成立，〃(x)為R上的增函數(shù)，

因?yàn)閑"￡(0,+8)是增函數(shù)，———x-bG(-甩+⑹也是增函數(shù)，

所以，此時(shí)〃(幻￡(-8,+8),不合題意；

②當(dāng)〃+1〉0時(shí)，1(%)=/——片為增函數(shù)，由〃'(％)=0得了=一111(〃+1),

令//(X)〉0ox〉+”(x)<0o%<-In+1),

???〃(x)在(-8,Tn(a+1))上單調(diào)遞減，在(-In(a+1),+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=-In(a+1)時(shí)，依題意有否卜需=〃(Tn(a+1))=—^+螞竺D-6>0,

d11a11

即叱一L+皿型，

a+1a+1

bIn(a+1)+1

T。+1>0,W(.+1)2'

Q+1

令a+1=x(x>0),u(x)=>0),

x-(lnx+l)-2x-(21iu+l)

則M(x)=

x4x3

10

令/(x)>0<=>0<x<,令/(x)<0,解得

所以當(dāng)x=+時(shí)，"（X）取最大值〃e

2

故當(dāng)a+l=—b=立~,即〃=/^-1,6=，^時(shí)，°取得最大值

Ve2e2a+\2

綜上，若函數(shù)〃（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，則焉的最大值為導(dǎo)

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的最小值，從而得解.

13.7+4A/3##4A/3+7

【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.

【詳解】由x>0,了>0,

(2x+3y)=4+3+^―

xy

6-373

x=----------

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)言，隊(duì)2時(shí)，等號(hào)成立,

2V3-3

21L

所以一+一的最小值為為7+4能\

xy

故答案為：7+40.

14.x2+（y—2）2=6

【分析】根據(jù)圓心與焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求得圓心坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上由直線2X7-3=0與圓c相

交的弦長(zhǎng)求得圓的半徑.

【詳解】由/=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)（2,0）關(guān)于直線V=x的對(duì)稱點(diǎn)為（0,2）,

所以圓C的圓心為（0,2）,設(shè)半徑為小

,|2x0-2-3|r-

點(diǎn)C至I」直線2x-y-3=0的距離為d,則d=J——尸一L=石,

V5

11

所以/=+/=「+(石『=6,

所以圓C的方程為：f+(y_2)2=6,

15.(2+百)x-y+l=O或(2-揚(yáng)x+y-1=0

【分析】直線/分斜率存在和不存在兩種情況討論；當(dāng)斜率不存在時(shí)直線/是歹軸，求交點(diǎn)坐標(biāo)即可；當(dāng)

直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)定直線/的方程并與直線4,的方程聯(lián)立求交點(diǎn)，滿足弦長(zhǎng)即可.

【詳解】若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為：x=O,

此時(shí)與//的交點(diǎn)分別為(0,-1)和(0,-5),

截得的線段的長(zhǎng)為：卜5-(-1)|=4%2行，不符合題意.

若直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為：y=kx+l,

解方程組+\，得點(diǎn)出上廠,上當(dāng),

〔j3x+y+l=0k+y[3k+陋

+1.占.一6-5左+6

解方程組y+5=0'得點(diǎn)"后+疔/).

-6V-k+43-5左+百丫

由|”|=2也，得=8，

k+y/3J、k+y/3k+C,

即后2-2百左一1=0,解得：上=百±2,

則直線/的方程為：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+7-l=0.

故答案是：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+y-l=0.

16.V3

12

【分析】由離心率為得到。力間的關(guān)系，橢圓方程變?yōu)閃+竺=1,借助橢圓的對(duì)稱性，將關(guān)系式

3?25a2

甌=2正轉(zhuǎn)化直線/居與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)直線/月的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理解決問(wèn)題

即可.

22

【詳解】已知橢圓C：A+匕=1（。>6>0）,

ab

由橢圓的離心率為g=得代入/=〃+/,得：）此

Q339

則橢圓C的方程為：鳥+絲=1,

a5a

22

其左、右焦點(diǎn)分別為片且（］。,0）,

如圖所示：若A和8為橢圓C上在X軸上方的兩點(diǎn)，且西=2麗，

設(shè)直線4月,8片與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D,C,

由橢圓的對(duì)稱性，可得：AD=BC，BFt=F\D,F^C=AF2,

即用5=2AF2,

顯然直線/月的斜率定存在，否則直線Ng垂直無(wú)軸時(shí)與為線段的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，直線/耳的斜率不為零，

2

設(shè)直線4名的方程為〉=左0—a。），4（項(xiàng),%）,。（x2，%），

y=k（x--a）

聯(lián)立方程組：,八,，

得：(■^-A：2+l)y2+^kay-^k2a2=0,

--ka~—k2a2

aQ

-----=-----------(*)，

-k2+l-k2+l

55

由于月萬(wàn)=2麗，則%=-2%(乂＞0),

--ka--lea1

(*)式即為：-—，-2燈=9—

-yl2+l-^2+1

55

13

消掉必后，可得：------

2-k2^

9

化簡(jiǎn)可得：E=3,

由于%>0,(/>0,且一切—,得左>0,

-k2+\

5

所以k=8,

故答案是：百.

17.⑴%々=0

(2)7

【分析】(1)由1號(hào)4為等差數(shù)列可得型1=*+'，即可得到可與d的關(guān)系;

[J。2"1。3

(2)由裂項(xiàng)相消法得到北，再解不等式即可求得〃的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以至邑，

IICl?Q]〃3

即2(%+%)=]+%+%+%,從而得到2(2%+")=i+陽(yáng)+3”,

出生ax+d%+勿

化簡(jiǎn)得(4—d)d=0「「dW0,所以％—d=0,dw0.

11￡1

(2)當(dāng)。1一4=0,4=1時(shí),an=n,-------=---------

?！?+1〃(〃+1)nn+1

1)

n+19

解得〃<8,又因?yàn)椤‥N*,所以〃的最大值7.

14

18.(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在點(diǎn)E使得三棱錐尸-/CE的體積為，4，且R等F=：1

9Dr3

【分析】(1)在“3C中，利用余弦定理求得BC,^AB2=AC2+BC2,得到BC，/C,再由3C/R4

得到3cl平面PNC,從而8c_LPC,然后由尸/=/。2+尸。2得至］」尸C_L/C,再利用線面垂直的判定

定理證明；

4RF11114

(2)易知=匕~C8一/TCS=6，設(shè)而'=4，由.X54c.5c.pc-,乂54。.8。.；1。。=6求解.

【詳解】(1)證明：在△4DC中，AD=DC=\,ZADC=90°,

所以AC=dAD2+DC。=Vl+T=V2.

在AZ8C中，AC=42,AB=2,ZBAC=45°,由余弦定理有：

BC2AB2+AC2-2AB-AC-cos454+2-2x2xMx,

2

所以NB2=ZC2+BC2,所以//CB=90°,

所以8c_LAC,又因?yàn)?CJ■尸4尸/c/C=4尸4/Cu平面尸4C,

所以3cl平面PNC,

因?yàn)槭珻u平面P4C,所以BC,尸C,

在△尸/C中：AC=yl2,PC=2,PA=46,則尸T=/。2+尸。2,

所以PCL/C,因?yàn)?。門3。=(7,/仁3。匚平面/38,

所以尸C_L面NSCD.

4

(2)因?yàn)樾?ACE=Vp-ACB——E-ACB=§'

BE。

:—=丸，

BP

4

-x-ACBCPC--xACBC^PC=-

32329

J_

—X—Xy/^2,Xyj^2,x2----XxV2xV2x2Z=—

32329

4RF1

因此，存在點(diǎn)￡使得三棱錐P-4CE的體積為且而二§?

3

以(1)^-

15

【分析】（1）由對(duì)立事件概率的關(guān)系即可求解；

（2）先按分層抽樣得出所抽取的6人中，手機(jī)安裝芯片/的有2人，手機(jī)安裝芯片n的有4人，結(jié)合超

幾何分布的概率計(jì)算公式即可求解.

4Q44473

【詳解］（1）召1=1一（1一4）（1一已）（1一巴）=1一一X—X—=—.

1［八2八3）50494850

（2）對(duì)安裝芯片I的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為40x70%=28,對(duì)安裝芯片n的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人

14

數(shù)為60*石=56,

所以采用分層抽樣的方法的抽樣比為1:2,

故所抽取的6人中，手機(jī)安裝芯片I的有2人，手機(jī)安裝芯片n的有4人，

所以抽到2人中對(duì)安裝芯片n的手機(jī)開(kāi)機(jī)速度滿意的人數(shù)為1的概率為尸=去=2.

G15

20.⑴工+匕=1

43

⑵是定值，為:3

【分析】（1）根據(jù)條件列方程組，求出。力的值，可得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題設(shè)出直線N3的方程》=。+1,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，求得點(diǎn)。坐標(biāo)，以及點(diǎn)R坐

標(biāo)，表示出AM,BN,PR的斜率代入結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系消元運(yùn)算得解.

￡=—（a=2

a2i-

【詳解】⑴由題意：26=2有，解得：件內(nèi)，

a=b2+c

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：上+匕=1.

43

（2）如圖：因?yàn)橹本€48斜率不為0,設(shè)其方程為：x=（y+l,

代入橢圓方程：3x2+4y2=12,得:3（勿+1）2+4/72=0,整理得:（3?+4）/+6（y-9=0.

設(shè)/（國(guó),必），B（x2,y2）,則顯然A>0,則弘必%=一另占,

16

,??+"-2=一二+2=七

.?.。］匕，一用，則直線。。方程為廣一《“，

令I(lǐng),得k-3，，則式（4,-3，）；尸（1,。），則“瓷,磯=占

9?+9

（1+產(chǎn)）弘%+3仇3仇

3/+4

丹跖+3優(yōu)-伊-318』+12

3優(yōu)一縱一

3/+4

八9"+9、9r+9

3優(yōu)一工43ty?------5------

23r+43

又必=_3,2+4-%代入得上BN1kM-k)=

APR18r+12“12/+124

4優(yōu)---5--------

3r+423/+4

3

所以七v（L-囁）為定值“

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題.求出%>R=T,e

X.+Z%2—L

代入化簡(jiǎn)，注意利用韋達(dá)定理，方程尤=江+1將4%代換成必,％,再禾I」用%+%=-另鼻，將必代換

為力,消元運(yùn)算可得答案.

21.⑴函數(shù)“X）的增區(qū)間為（0,1）、（2,+8）,減區(qū)間為（1,2）

⑵屋廿

【分析】（1）當(dāng)°=-2時(shí)，求得/卜）=（尤-2）12，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系可求得函數(shù)“X）的

增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）推導(dǎo)出.<0,設(shè)g（x）=；《lnx-；］+a（hrc-1）,可知，g（x）>0對(duì)任意的x>0恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)。的

取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的最小值，根據(jù)g（x）1nhi>0可得

1q

出。=-：（2加In加+冽），且1<加</，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】⑴解：函數(shù)/⑴的定義域?yàn)椋?,+"）,

/'（%）=，2x|Inx---|+x+4ln%-l+,=jdnx+Qlnx=（x+gIn:,

當(dāng)Q=—2時(shí)，/'(x)=(x—2)lnx,

17

解不等式H(x)>0,有x>2或0<x<l,令，(x)<0得l<x<2,

故函數(shù)的增區(qū)間為(0,1)、(2,+孫減區(qū)間為(1,2).

(2)解：若0>0,則x+a>0,由，(x)<0可得0<尤<1,由#(x)>0可x>l,

此時(shí)，函數(shù)“X)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8),且=

當(dāng)0<%<1時(shí),由lnr<0,有〃x)=x<0恒成立,

所以/(x)>0,必有a<0.

又由/(1)=_"：>0，可得°<一：.

又由x>0,不等式/(x)>0可化為：x[lnx-]+a(lnx-l)>0,

設(shè)g(x)=；x「iK-1

+a(inx-1),

有g(shù)'(x)=UJ12xlnx+x+4a

x2x丁-—

當(dāng)0<x<1且0<x<—4。時(shí)，lnx<0,x+4o<0,可得g'(x)<0,

當(dāng)x〉l且x〉-4a時(shí)，lnx〉0,x+4a>0,可得g'(x)〉0,

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)卜=工加+巴+工在(0,+司上單調(diào)遞增，

2x4

故存在正數(shù)m使得2加In加+加+4〃=0.

若0<加〈1,有In冽(0,4(2<-1,W2mlnm+m+4^<m-l<0,

與2加In加+冽+4。=0矛盾，可得力>1,

當(dāng)%>加時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x<加時(shí)，g'(x)<0,

可得函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(0,加)，增區(qū)間為(九+℃),

若g(x)>0,必有g(shù)(加■加|inm—g1

+Q(inm-1)>0

2

有2mlnm-m+4a\nm一4。>0,

又由2加In冽+加+4。=0,有2minm-m+4tzlnm-4。+(2mlnm+