貴州省安順市第二高級中學2023-2024學年高三下學期第一次

模擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復數(shù)會了的實部為（）

A.--B.-C.--D.1

4422

2.已知集合4={*€叫了＜4},B=[x\x=n2-l,neA\,P=AcB,則集合尸的子集共有（）

A.2個B.3個C.4個D.8個

3.記S“為等差數(shù)列{風}的前兀項和，若$5=15,則為=（）

A.-10B.-3C.10D.3

4.已知向量4與b的夾角為60。，且。=(1,J5),網(wǎng)=1,則K-3〃=()

A.幣B.而C.4D.2幣

5.某城市運動會的組委會安排甲、乙等5名志愿者去足球、籃球、排球、乒乓球4個比賽場館

從事志愿者活動，每人只去一個場館，若排球場館必須安排2人，其余場館各安排1人，則

不同的方案種數(shù)為（）

A.48B.52C.60D.68

6.已知在正四面體。4SC中，OA=1,則直線與平面03c所成角的正弦值為（）

A.正B.|C.且D.如

4233

7.某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐

漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放

的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3,第"次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量

5滿足函數(shù)模型5=%+5-RS?！?"aeR,〃eN*）,其中為為改良工藝前排放的廢水中

含有的污染物數(shù)量，片為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，〃為改良工藝的

次數(shù).假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/m3時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的

廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.30,1g3?0.48）

A.12B.13C.14D.15

8.已知拋物線T：y2=2px（p>0）的焦點為R直線/交拋物線T于A,B兩點,M為線段AB

....\MN\

的中點，過點M作拋物線T的準線的垂線，垂足為N,若=則京的最大值為

（）

A.1B.變C.1D.-

223

二、多選題

9.設函數(shù)=?一號+3x,貝U（）

A.“X）有1個極大值點

B./（力有2個極小值點

C.x=-1是〃x）的極大值點

D.x=g是〃尤）的極小值點

i2

10.已知圓G:x?+>2-2尤—2y—2=。，|§|C2:x+y—8x—10y+32=0,則下列選項正確的

是（）

A.直線CG的方程為4n=0

B.圓C1和圓CZ共有4條公切線

C.若P,。分別是圓G和圓Cn上的動點，則|PQ|的最大值為10

D.經(jīng)過點G，G的所有圓中面積最小的圓的面積為弓25兀

11.已知函數(shù)〃x）=sin（2x+e）（M<]],若把函數(shù)的圖像向右平移；個單位長度后

得到的圖像關于原點對稱，則（）

71

A.（p=一

3

B.函數(shù)〃x）的圖象關于點對稱

試卷第2頁，共4頁

jrjr

c.函數(shù)〃尤)在區(qū)間-5,-正上單調遞減

D.函數(shù)在:7T苫37r上有2個零點

三、填空題

12.將棱長為4的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為.

13.已知cos[tz-f-sina=；,貝ljcos(2e+.

22

14.已知橢圓T:會+g=l(a>6>0)的左、右焦點分別為片，鳥,P為T上一點，且

4b2

4即=60,若|p凰|p周=三，△刊笆的外接圓面積是其內切圓面積的25倍，則橢圓T

的離心率0=.

四、解答題

15.已知在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,J.asinA-csinC=(a-&)sinB.

⑴求C；

⑵求sin?A+sin2B的最大值.

16.如圖，已知在圓柱。。|中，A,8,C是底面圓。上的三個點，且線段3C為圓。的直徑,

A，耳為圓柱上底面上的兩點，且矩形山珥4,平面ABC,D,E分別是AA，C4的中點.

4

EW

⑴證明：DE〃平面A3C.

(2)若耳BC是等腰直角三角形，且平面C8g,求平面480與平面84c的夾角的正弦

值.

22

17.已知雙曲線C:會-方=l(a>0,6>0)的一條漸近線方程為嚴耳，右焦點/到漸近線的

距離為由.

⑴求雙曲線c的標準方程；

⑵過點廠的直線/與雙曲線C交于M,N兩點，A(-LO).求AM.AN的值.

18.某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票.為

提高服務水平，現(xiàn)對當日購票的120人征集意見，當日購買單程上山票、單程下山票和雙程

票的人數(shù)分別為36、60和24.

(1)若按購票類型采用分層隨機抽樣的方法從這120人中隨機抽取10人，再從這10人中隨

機抽取4人，求隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率.

(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買

回程票的相(根>2且加eN*)人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的

2人的購票類型相同，則該組標為A,否則該組標為8,記詢問的某組被標為8的概率為p.

(i)試用含優(yōu)的代數(shù)式表示p；

(ii)若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標為8的概率，試求g(0的最大值及此

時m的值.

19.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)討論了("的單調性；

(2)若Vx>0,/(x)Vxe2￡-26恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，化簡得至i

(l+i)44

【詳解】根據(jù)復數(shù)的運算法則，求得;==4一;i，

(1+1)—Z+Z144

所以復數(shù)方三的實部為一，.

(1+1)4

故選：A.

2.C

【分析】首先用列舉法表示出集合A、B,即可求出集合尸，再求出其子集個數(shù).

【詳解】因為A={xeN|x<4}={0,1,2,3},又2={尤卜="-1,"e4},

所以3={-1,0,3,8},所以P=Ac3={0,3},則集合尸的子集共有22=4個.

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的求和公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】$5=亞2=5%=15,即。3=3.

2

故選：D

4.A

【分析】由題意和平面數(shù)量積的定義可得Q6=l，結合

\a-3b\=yl(a—3b)2=yja2-6a-b+9b2計算即可求解.

【詳解】由題意可得同="『+(石<=2,a-b=\a\\b\cos<a,b>=2xlx^=l,

所以|a一3。|=3b丫=y/d2-6a-b+9b2=V4-6xl+9xl=近.

故選：A

5.C

【分析】先從5人中安排2人去排球場館，然后剩下的3人安排去余下的3個場館，按分步

計數(shù)原理相乘可得答案.

【詳解】先從5名志愿者中選出2人去排球場館，有C；=10種選擇，

將剩下的3名志愿者分別安排到足球、籃球、乒乓球3個比賽場館，有A；=6種選擇，

答案第1頁，共12頁

則共有10x6=60種不同的方案.

故選：C.

6.D

【分析】設H為三角形OBC的中心，取BC中點P,連接OP,根據(jù)正四面體的性質得到AHJL

2

平面O8C,B.OH=-OP,NAO”即為直線與平面QBC所成角，再由銳角三角函數(shù)計

算可得.

【詳解】如圖，在正四面體Q4BC中，設H為三角形。BC的中心，取BC中點尸，連接。尸，

2

由正四面體的性質可知AH_L平面03C,且07/=§0尸，則440”即為直線。4與平面03c

所成角，

因為。4=1,貝l」8P=CP=g,

i^op=yloc2-cp2=—,i^oH=-op=—,

233

由勾股定理得AH=ylAO2-OH2=邁,

3

^.sinZAOH=—=—,

AO3

即直線。4與平面OBC所成角的正弦值為逅.

3

故選：D.

7.D

【分析】由題意，根據(jù)指數(shù)幕和對數(shù)運算的性質可得＜,=2.25-004x3。。"-,由/40.65,解

不等式即可求解.

【詳解】由題意知％=2.25g/n?,z;=2.21g/m3,

當〃=1時，「%+儲-始x3。如，故3。如=1,解得/=-0.25,

答案第2頁，共12頁

所以5=2.25-0.04x3°g("f.

U40

由「W0.65,得3。25(1)240,即0.25(〃—1)2系刀

1g3

得讓汽浮+…33,—

所以〃215,

故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少要15次.

故選：D

【分析】設|A/卜m，忸同=〃，如圖，根據(jù)拋物線的定義和梯形的中位線的性質可得

|MN|=g4，結合基本不等式的應用即可求解.

【詳解】設|AF|=m,\BF\^n,因為=所以班

所以|4卻=，療+荷,過點A,B分別作AG,垂直準線于點G,W,

由拋物線的定義可知|A同二MG，忸尸卜忸w|,

上小田弘士八心I\AG\+\BW\\AFU\BF\m+n

由梯形的中位線可知\MN\=J―U——J―U―?=-----.

11222

因為〃+/22rHn,所以2（療+〃2）22a〃+/+〃2=（小+〃）2,

當且僅當加二兒時，等號成立，所以|AB|=’蘇+"二夜|MN|

所以\MN為\丁J2，故\房MN的\最大值為孝、歷.

故選：B

9.ABD

【分析】求出函數(shù)的導函數(shù):（x）=（x-D（尤+君）（尤-百），即可得到函數(shù)的單調區(qū)間與極

值點.

答案第3頁，共12頁

【詳解】函數(shù)〃x）=《-至+3x的定義域為R,

v7432

且尸（無）=V—A：?—3x+3=（彳_0（彳2_3）=（工_]乂彳+6）（彳_6）,

所以當x<-6或l<x<退時/'（力<0,

當-g<x<l或x>6時用X）>0,

所以〃x）在卜8,-括），（1,6）上單調遞減，在卜上,1）,（班,+8）上單調遞增，

所以『（"在》=-有處取得極小值，在x=l處取得極大值，在x=6處取得極小值.

故選：ABD

10.ACD

【分析】根據(jù)題意，求得圓G，c2的圓心坐標和半徑，結合直線方程的形式，圓與圓的位置

關系的判定，以及圓的性質，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意得，圓C|：（x-l）2+（y-l）2=4的圓心G（l,l）,半徑釬2,

圓。2：（XT）?+（y—5）2=9的圓心G（4,5）,半徑馬=3,

對于A,直線GC2的方程為即4x-3y-l=0,所以A正確；

5-14-1

對于B,因為|。?|=而二了百丁=5且/馬=2+3=5,可得6。2|=4+4，

所以圓C1與圓C?外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以B錯誤；

對于C,因為16c21=5,所以的最大值為|￡6|+石+2=10,所以C正確；

對于D,當/夕21為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點C-C2的所有圓中面積最小，

此時圓的面積為d。]=作兀，所以D正確.

故選：ACD.

11.BCD

【分析】根據(jù)題意，由條件可得夕=-三，即可得到函數(shù)/（尤）的解析式，再由正弦型函數(shù)的

性質，對選項逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】因為/■[x-g]=sin|2卜：一"|[+夕=sin12x-g7r+，的圖像關于原點對稱，

答案第4頁，共12頁

9Jr

貝Ij——兀+0=E,左￡Z解得9=不兀+配,左￡Z,又冏＜不，

J乙

則上=-1時，＜p=~,所以〃x)=si“2尤-;J,故A錯誤;

因為/'[-3=sin(-g兀一3=sin(-兀)=0,所以/⑺的圖像關于點[一夕0卜寸稱，故B正

確;

ITJT7T47T47r

當時，則2%一不￡--71,--,且函數(shù)y=sinx在一鼻兀,一不單調遞減，故C

乙j.乙Jj乙j乙

正確；

令/(x)=sinj2x-']=。，gp2x~—=k7i,{keZ),解得％=/+"兀，左cZ,又xe—,

\3J362-42_

27

貝ljk=1,兀=彳兀，左=2,%=:兀共兩個零點，故D正確；

36

故選：BCD

32兀

12.~3~

【分析】由題意可知，球為正方體的內切球，即可求出球的半徑可解出球體體積.

【詳解】根據(jù)題意可知，此球為正方體的內切球，所以球的直徑等于正方體棱長,

故球的半徑為2,所以球的體積為：?x23=—.

33

故答案為：子32兀.

7

13.

9

【分析】根據(jù)題意，由余弦的和差角公式展開可得cos[a+￡

再由二倍角公式，即可

得到結果.

【詳解】因為cos|a--j-sinor=—,整理得cosicos'+sinasinsina=—，

V6J3663

所以2^cosa—」sina=，，所以cosja+g]=，，

223I6J3

所以cos(2a+|^=2c°s2[a+1]-l=2x[-l=-5.

7

故答案為：

【分析】根據(jù)題意結合橢圓的定義，利用等面積法可得方程S怔=杷〃+2少=與

由

答案第5頁，共12頁

此可得〃—C,再由正弦定理可得H=i士，又根據(jù)△尸耳耳的外接圓面積是其內切圓

面積的25倍，可得R=5r,由此列出方程化簡即可得到齊次式7/+2a-5/=0,即

7e2+2e-5=0解方程注意e>0即可得到結果.

【詳解】

根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：

外%=：「周歸與卜缶/甲有，又|尸/的尸詞=(,

NJ

所以5切，絲x國回，

可巡2323

設△尸片耳的外接圓半徑為R,內切圓半徑為「，

因為尸為橢圓上一點,則歸司+|尸局=2°,又由周=2c,

以△尸片鳥的三邊為底，工內切圓半徑為高的三個三角形面積和等于△尸￡鳥面積,

所以……)T，解得一",

2c4辰解得R*

由正弦定理有:

sinZ^PTs-3

又△尸片鳥的外接圓面積是其內切圓面積的25倍，即71代=25口2,即氏=5廠,

所以友￡=§/即2〃c+2c2=5人2=5(/一°2),

33(Q+C)\7

即7c2+2ac—5/=0,兩邊同除以〃2,得7f+2-5=0,又e>0,解得

故答案為：y

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用等面積法求出廠=9”，再利用正弦定理求出

3(。+。)

答案第6頁，共12頁

尺=￡竺，結合已知條件得到關于。、c的齊次式求解e.

3

一71

15.d)C=-;

⑵2

【分析】(1)利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.

(2)由(1)的信息結合正弦定理邊化角，再利用基本不等式求解即得.

【詳解】(1)在ABC中，由asinA-csinC=(a-/?)sin3及正弦定理得/=仍一》2+c2,

BP^2_C2ZJ由余弦定理得COSC=""一。=工,而0<。<兀，

+/?=6/?

2ab2

所以。=三.

3

(2)由(1)知，a2+次一c?=ab，由正弦定理得si/A+sir^-sinAsinBusir?C=—,

4

而sinA>0,sin8>0,因此sinAsinB<g(sin2A+sin2B),當且僅當sinA=sinB時取等號，

313

于是sin?A+sin?5——<—(sin2A+sin2B),解得sin2A+sin2B<—,

422

TVTT

在一ABC中，C=—,由sinA=sin3,得A=3=§,

jr3

所以當A=5=1時，5皿24+5皿25取得最大值；.

16.(1)證明見解析

⑵逅.

3

【分析】(1)運用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質定理證明線面平行;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

【詳解】(1)如圖，取B片的中點尸，連接。尸，EF,

答案第7頁，共12頁

因為。，E,F分別為AA，B(,2瓦的中點，

所以￡＞尸AB,EF//BC.

又因為DPa平面ABC,EFa平面ABC,/Wu平面ABC,BCu平面ABC,

所以￡)F〃平面ABC,跖P平面ABC.

因為EF=F,DF,EFu平面DEF,

所以平面。EF〃平面ABC.

又因為DEu平面DEF,所以DE〃平面ABC.

(2)如圖，連接E。，AO.因為E,。分別為BC，5c的中點，所以￡?！?月，且=

又因為。為A4的中點，所以且ZM=；陰，

所以EO=D4,且EO〃ZM,所以四邊形AOED為平行四邊形，

所以DE〃AO.

因為DE2平面CBBj,所以AO_L平面CBB1.

又因為BCu平面CBB1,所以AO1BC,可得AB=AC.

因為是等腰直角三角形，所以又矩形44胡，平面ABC,可得平

?ABC,

以A為原點，以AB,AC,441分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示,

設3月=BC=2,則AB=AC=JL可得用（也,0,2）,C（0,V2,0）,A（0,0,2）,2（忘,0,0）,

則44=（0,。,。），4。=（0,0,-2）,BC=（-V2,V2,0）,BBi=（0,0,2）.

/、n-A,B,=0

設平面481c的法向量為〃=（x,y,z）,貝",

n-AtC=0

答案第8頁，共12頁

y/2x=0廠

即■1-，取y=可得x=0,z=l,所以〃=(0,v2,1).

J2y-2z=0

m-BB]=0

設平面54c的法向量為加=(a,b,c),則＜

m-BC=0

2c=Q

即取a=l,可得〃=1,c=0,

-y/2a+yflb=0

所以m=(1,1,0).

.o石

cosn,m=/:——.=——,

71+1+OXVTFI3

所以平面AB.C與平面BB、C的夾角的正弦值為好.

3

17.⑴/-上=1

3

⑵。

【分析】(1)根據(jù)題意，結合雙曲線的幾何性質，求得。，瓦c的值，即可求解；

(2)當直線/的斜率不存在時，BP/：x=2,求得M(2,3),N(2,-3),得至(1巾濟=0；

4%24k2+3

當直線/的斜率存在時，設/：y=/x-2),聯(lián)立方程組求得占+9=；匚，占9=結

k-3k-3

合％%=獷占彳2-2/(玉+超)+4公，結合向量的數(shù)量積的坐標運算，即可求解.

22

【詳解】⑴解：由雙曲線C:1-馬=1的漸近線方程為y=可得

aba

又由焦點b(c,0)到漸近線的距離為右，可得"==6可得。=2,

2

又因為02=/+/2,可得。=1/=石，所以雙曲線的方程為爐-二=1.

3

(2)解:由(1)知。=2,可得尸(2,0),

2

當直線/的斜率不存在時，即/:x=2,將x=2代入/一]_=i,可得％=3或%=-3,

不妨設M(2,3),N(2,-3),

又由A(—l,0),可得AM=(3,3),3=(3,-3),

所以AM-M=3x3+3x(-3)=0；

答案第9頁，共12頁

當直線/的斜率存在時，即/：'=左（彳-2）,

y=k（x-2）

聯(lián)立方程組I2/，整理得（3）/+4左2%-4/一3=0,

x---=1

I3

22

設,%）,N（X2，%）,則A=（4左2）+4（3-k）（4/+3）＞0,

4k24k2+3

且可+々=正與，%逮2=r_3，

22

貝!Jyxy2=左2（玉_2）（々-2）=kxxx2-2^（x1+x2）+4k2,

且AM=（玉+l,y）,4V=（々+1,%），

貝U=（玉+1）（入2+1）+%%=西%2+（%+%2）+1+%%

2

=x1x2+（石+/）+1+kx1x2一2左之（％+%）+4歸2

=(1—2k2)X]X2+(k2+l)(%i+9)+4k2+1=

2

=(1—2左2).與4^±+32+(F+i)4〃.2f^+4Z2+i

)t2-3k2-3

422

4k之一8k&+4左2+3k2+4)t+3+4V-12^+^-3八

=z=0,

k2-3

綜上可得：AMAN=O.

【點睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值與定值問題的解答策略與技巧：

1、若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、

圖形，以及幾何性質求解；

2、當題目給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個目標函數(shù)

的最值(或值域)，常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調性法；④三角換元法；⑤

導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.

18.⑴2

10

(2)(i)p=2---；(ii)〃z=3時，g(p)=&^.

m2+3/M+2v7max625

【分析】(1)由古典概型結合組合數(shù)公式即可求得答案；

(2)(i)由古典概型結合對立事件的概率公式即可求得答案；

(ii)由"次獨立重復試驗的概率公式結合導數(shù)知識即可求解.

【詳解】(1)因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為3:5:2,所以這10

答案第10頁，共12頁

35

人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：l°x而=3，10x—=5,

10x2=2,

10

C2c23

故隨機抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率P=胃=旨.

(2)(i)從小+2人中任選2人，有C工種選法，其中購票類型相同的有C：+C；種選法,

C2+C2m2—m+24m

則詢問的某組被標為5的概率

m2+3m+2

(ii)由題意，5組中恰有3組被標為5的概率

g(P)=C；p3(l-pf=10p3(l_2p+p?)=10(p3-Zp，+p5),

所以g'O)=10(3p2-8p3+5；/)=i0p2s_D(5p_3),0<p<l,

所以當pe(o,|)時，g'(p)>0,函數(shù)g(p)單調遞增，

當時，g'(p)<0,函數(shù)g(p)單調遞減，

所以當P=]時，g(p)取得最大值，且最大值為g]￡|=C；x[[x[]-g：=|||

4根3

由〃=二一;---=-,心2且mEN*,得m=3,

m2+3m+25

當機=3時，5組中恰有3組被標為8