第八章圓第31課與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識點(diǎn)課標(biāo)要求廣州市數(shù)學(xué)近三年命題分析題型點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系了解未涉及本知識點(diǎn)無切線的判定與性質(zhì)掌握2021年中考卷第3題(3分)2022年中考卷第15題(3分)選擇、填空題三角形的內(nèi)心和外心掌握2023年中考卷第9題(3分)選擇題知識梳理1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種：設(shè)☉O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：(1)d＞r?點(diǎn)P在☉O

；

(2)d＝r?點(diǎn)P在☉O

；

(3)d＜r?點(diǎn)P在☉O

.

內(nèi)上外2.直線與圓的位置關(guān)系有3種：設(shè)☉O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則有：直線與圓交點(diǎn)個數(shù)r與d的關(guān)系相離0d＞r相切1d＝r相交2d＜rA.2B.3C.4D.5點(diǎn)對點(diǎn)練習(xí)

1.(2022·吉林)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在☉A內(nèi)且點(diǎn)B在☉A外時，r的值可能是(

)C2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的☉P的圓心P的坐標(biāo)為(－3，0)，將☉P沿x軸正方向平移，使☉P與y軸相切，則平移的距離為

.

1或5

知識梳理1.切線的定義：直線和圓只有一個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線.2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線

過切點(diǎn)的半徑.

垂直于3.切線的主要性質(zhì)：(1)切線和圓只有一個

；

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；(5)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.4.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的

，它們的切線長

，這一點(diǎn)和圓心的連線

兩條切線的夾角.

平分相等兩條切線交點(diǎn)A.65°B.60°C.50°D.25°點(diǎn)對點(diǎn)練習(xí)

3.如圖，AD，BC是☉O的直徑，點(diǎn)P在BC的延長線上，PA與☉O相切于點(diǎn)A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為(

)A4.(2022·長沙)如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點(diǎn)，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為(B)A.32°B.52°C.64°D.72°知識梳理1.定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線是圓的切線.2.距離法：如果圓心到直線的距離等于這個圓的半徑，那么這條直線是圓的切線.3.定理法：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.4.用定理法證明有兩種題型：(1)在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點(diǎn)已知，證明方法是“

”；

(2)若直線與圓的公共點(diǎn)未知，證明方法是“

”.

這兩種情況可概括為一句話：“有點(diǎn)連半徑，無點(diǎn)作垂線”.作垂直，證半徑連半徑，證垂直點(diǎn)對點(diǎn)練習(xí)

5.如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的☉O與AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G.求證：FG是☉O的切線.證明：(1)連接OF.∵AB＝AC.∴∠B＝∠C.∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC.∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB.∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.又∵OF是半徑，∴FG是☉O的切線.知識梳理1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的圓心是三角形

的交點(diǎn)，這個交點(diǎn)叫做三角形的

.

性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的

.

2.經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心是三角形

的交點(diǎn)，這個交點(diǎn)叫做三角形的

.

性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的

.

距離相等外心三條邊垂直平分線距離相等內(nèi)心三條角平分線

點(diǎn)對點(diǎn)練習(xí)

6.如圖，☉O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則☉O的半徑是(

)C7.如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的☉O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OC，則圖中陰影部分的面積是

cm2.(結(jié)果用含π的式子表示)

分析：求出∠A的度數(shù)再由切線性質(zhì)和正切定理求出長度.

【例1】如圖，AB是☉O的切線，B為切點(diǎn)，連接AO交☉O于點(diǎn)C，延長AO交☉O于點(diǎn)D，連接BD.若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長為(

)C【變式1】(2023·天河一模)如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝8，O是BC的中點(diǎn)，☉O分別與AB，AC相切于D，E兩點(diǎn)，則☉O的半徑長為

.

【例2】如圖，AB為☉O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作☉O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE.(1)直線BE與☉O相切嗎？請說明理由；(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的長.解：(1)直線BE與☉O相切.理由如下：連接OD，∵CD與☉O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS).∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∵OB是☉O的半徑，∴直線BE與☉O相切.(2)設(shè)☉O的半徑為r.在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2.解得r＝3.∴AB＝2r＝6.∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.由(1)，得△DOE≌△BOE.∴DE＝BE.在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2，即64＋DE2＝(4＋DE)2.解得DE＝6.∴DE的長為6.分析：(1)連接OD，利用平行線和等腰三角形性質(zhì)即可；(2)設(shè)半徑為r，利用切線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理計算即可解答.

解：(1)CD與☉O相切.理由如下：連接OD.∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB.∵BE是☉O的切線，OB是半徑，∴OB⊥BE.∴∠OBE＝90°.∴∠EBD＋∠OBD＝90°.∴∠EDB＋∠ODB＝90°.∴OD⊥DE.∵OD是半徑，∴CD與☉O相切.

A組基礎(chǔ)1.在平面直角坐標(biāo)系中，☉O的圓心在原點(diǎn)，半徑為5，則點(diǎn)P(0，4)與☉O的位置關(guān)系是(

)A.點(diǎn)P在☉O內(nèi)B.點(diǎn)P在☉O上C.點(diǎn)P在☉O外D.無法確定A

2.如圖，P為☉O外一點(diǎn)，PT與☉O相切于點(diǎn)T，OP＝10，∠OPT＝30°，則PT長為(

)AA.28°B.50°C.56°D.62°3.如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為

(

)C

4.(2023·廣州)如圖，△ABC的內(nèi)切圓☉I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若☉I的半徑為r，∠A＝α，則(BF＋CE－BC)的值和∠FDE的大小分別為(

)D

C

6.(2023·白云一模)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，☉O恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，當(dāng)∠B＝

°時，∠AOD＝30°.

60

7.(2023·四川攀枝花)如圖，AB為☉O的直徑，如果圓上的點(diǎn)D恰使∠ADC＝∠B.求證：直線CD與☉O相切.證明：連接OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，