第二章函數(shù)

2.4.1指數(shù)函數(shù)（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一整數(shù)指數(shù)幕的概念及運算性質(zhì)

1.根式運算

a,（〃為奇數(shù)）

（1）<

同（〃為偶數(shù)）

2.整數(shù)指數(shù)幕的概念

(1)an=g?a?q(nWZ*)(2)a°=l(awO)(3)an=~7(^wO,〃eZ*)

n個a

3.運算法則

nn

(1)屋/'=""+"；(2)(a"')"=a'"；(3)^=a'"-(m>n,a^Q);(4)

(ab)m=a'nbm.

二分數(shù)指數(shù)募的概念及運算性質(zhì)

(1)a：=?(2)>=(時=廂(3)尸=4

a"

三指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（1）定義域是R.

（2）值域是（。，+8）,即對任何實數(shù)x,都有優(yōu)>0,也就是說函數(shù)圖像一定在x軸的

上方.

（3）函數(shù)圖像一定過點（0,1）.

（4）當時，y=a*是增函數(shù)；當0<a<l時，是減函數(shù).

（5）指數(shù)函數(shù)的圖像.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一指數(shù)與指數(shù)幕的運算

典例1.化簡（式中字母都是正數(shù)）：

，??A(￡5\

(1)2613b2-6a2b3+一3a6b?

\J\7\/

⑵黑叱小不卜。.

變式1-1.計算：

113--

(I)(2-)2-(-9.6)°-(3^)3+(1.5了；

48

⑵而護-(1)°+0.255x(-==)->

變式1-2.(1)求值：0.125—.-弓)+[(-2)2r+(V2xV3)6；

(2)已知“25=3(。>0),求值：止,".

變式1-3.求下列各式的值：

2：

(1)0.027^-(-I)-+(2^)2-(7布)。;

1

⑵0.064,-(-1)°+[(-2)-邛+1

6-o?+|_O.oip；

(3)(-2^)°+3-2x(2i)^-O.OOP

?

(4)3A/2XVL5XV18.

變式1-4.化簡下列各式:

⑴標叱+A/行.懷士y必?必；

4￡

(2)----------------1-2J—\xyja.

+2>[ab+46Ia)

題型戰(zhàn)法二指數(shù)函數(shù)的概念

典例2.下列是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.-B.y=2x2~]

C.y=axD.y=7rx

變式2-1.下列函數(shù)：①y=3*;②尸6';③y=62；④y=8，+l；⑤y=-6'.其中

一定為指數(shù)函數(shù)的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

變式2-2.函數(shù)y=（-3）',y=6j，y=/，＞=（a）'，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

變式2-3.若函數(shù)y=（＞-機-）環(huán)是指數(shù)函數(shù)，則加等于（）

A.一1或2B.-1

C.2D.g

變式24已知指數(shù)函數(shù)/（力=（2儲-54+3）罐在（0,+巧上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的值為

（）

A.；B.1C.-D.2

22

題型戰(zhàn)法三指數(shù)函數(shù)的圖像

典例3.函數(shù)y=3■'的圖象大致為（）

變式3-1.若指數(shù)函數(shù)y=",y=bx,y=c，（其中以。、。均為不等于1的正實數(shù)）

的圖象如圖所示，則4、。、C的大小關系是（）

變式32已知函數(shù)“力=優(yōu)-2（0<”1）,則函數(shù)的圖像經(jīng)過（）.

A.第一、二、四象限B.第二、三、四象限

C.第二、四象限D.第一、二象限

變式3-3.若函數(shù)/（力=產(chǎn)-1（〃>0且"1）的圖像經(jīng)過定點P,則點尸的坐標是

（）

A.（1,-DB.（1,0）C.（0,0）D.（0,-1）

變式3-4.對任意實數(shù)。<1且。片0關于x的函數(shù)y=（l-〃）'+4圖象必過定點（）

A.（0,4）B.（0,1）C.（0,5）D.（1,5）

題型戰(zhàn)法四指數(shù)函數(shù)的定義域

典例4.已知集則集合A的子集個數(shù)為()

A.8B.16C.4D.7

變式4-1.設函數(shù)〃司=百萬，則函數(shù)/6)的定義域為()

A.(-8,4]B.(5]C.(0,4]D.(0,1]

變式4-2.已知函數(shù)?r)的定義域是(1,2),則函數(shù)12%)的定義域是()

A.(0,1)B.(2,4)

C.弓，1)D.(1,2)

變式4-3.若函數(shù)4力=石。的定義域是“，+8),則。的取值范圍是()

A.[0,1)U(1,+8)B.(1,+oo)

C.(0,1)D.(2,+oo)

變式4-4.若函數(shù)于即正…-1的定義域為R，則a的取值范圍是

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.(-2,1)

題型戰(zhàn)法五指數(shù)函數(shù)的值域

典例5函數(shù)〃x)=e"+l在[-1,1]的最大值是()

A.eB.-e+1C.e+1D.e—1

變式5-1.函數(shù)〃x)=2修的值域是()

A.(0,”)B.(0,2)7C.(0,2]D.[2,-HX>)

a

變式5-2.函數(shù)/(x)="(0<aYl)在區(qū)間[0,2]上的最大值比最小值大;，則。的值為

()

A.\B.也C.—D.立

2222

變式5-3.已知函數(shù)/。)="+以的定義域和值域都是[-L0],則。+。=()

33

A.一一B.-1C.1D.-

22

變式5-4.若函數(shù)/J)=｝一2』的值域為1°，+8)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.｛；｝B.g，+°°)C.18,；D.[0,+8)

題型戰(zhàn)法六指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例6.函數(shù)"x)=2.3的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.1T'+8)B.18,目C.(3,+oo)D.S，0)

變式6-1.函數(shù)y=g)*+2'的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-L+8)B.S,-L1C.[l,+oo)D.y,i]

變式62已知指數(shù)函數(shù)〃力=疝，(a>0,且"1),且〃-2)>/(-3),則。的取值

范圍()

A.(0,1)B.(1,+?))C.(0,+8)D.(-8,0)

變式6-3.指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-l),在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(2,+oo)C.(―°°,—2)D.(1,2)

變式6-4.已知函數(shù)八力=[(：一1)：'*’1是xeR上的單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范

a,x>\

圍為()

A.(0,1)B.(1,2)C.pljD.C

題型戰(zhàn)法七比較大小與解不等式

典例7.設a=0.6°s,匕=0.6",c=1.506,則a,b,c的大小關系()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

變式7-1.已知，a=O.606,6=0.3如，c=0.6°-5,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

變式7-2.不等式5">5'T的解集是()

1

A.(-l,+oo)B.----,+oo

2

C.(f-1)D.(f-2)

變式乜若成<.

，則實數(shù)a的取值范圍是（)

7

A.—,+ooB.(1,+<?)

4

一8,(

c.S，1)D.

變式7-4.設那么()

A.a>b>\B.b>a>\C.O<Z?<6/<1D.Q<a<b<\

題型戰(zhàn)法八指數(shù)函數(shù)的應用

典例8.我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期

臨床試驗階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著

時間，（單位：h）的變化用指數(shù)模型c（f）=c°e-"描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)

%=0.1（單位：h-'）,剛注射這種新藥后的初始血藥含量c°=20（）（）mg/L,且這種新藥

在病人體內(nèi)的血藥含量不低于l（）（）（）mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病

人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（）（參考數(shù)據(jù):

In2=0.693,In3?1.099）

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

變式8-1.放射性核素鋸89的質(zhì)量M會按某個衰減率衰減，設初始質(zhì)量為M。，質(zhì)

￡

量M與時間，（單位：天）的函數(shù)關系為例（其中為常數(shù)），若銅89

的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時間）約為50天，那么錮89的質(zhì)量從M。衰減至

0.66%,所經(jīng)過的時間約為（參考數(shù)據(jù)：log?0.66=-0.6）（）

A.10B.20C.30D.40

變式8-2.2021年，鄭州大學考古科學隊在榮陽官莊遺址發(fā)現(xiàn)了一處大型青銅鑄造

作坊.利用碳14測年確認是世界上最古老的鑄幣作坊.已知樣本中碳14的質(zhì)量N

隨時間，（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=鬧（乂表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)

過測定，官莊遺址青銅布幣樣本中碳14的質(zhì)量約是原來的交至］,據(jù)此推測青銅

24

布幣生產(chǎn)的時期距今約多少年？（）（參考數(shù)據(jù)：log23“1.6）

A.2600年B.3100年C.3200年D.3300年

變式8-3.核酸檢測在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依據(jù)之一，核酸檢

測是用熒光定量PCR法進行的，即通過化學物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增過程中

的靶標DNA進行實時檢測.已知被標靶的DNA在PCR擴增期間，每擴增一次，DNA

的數(shù)量就增加P%.若被測標本DNA擴增5次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0倍，則。的值約

A）2

為（）,（參考數(shù)據(jù)：為2ftd.585,10?0.631）

A.36.9B.41.5C.58.5D.63.1

變式8-4.Logis此模型是常用的數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域，有學者根

據(jù)公布的數(shù)據(jù)建立某地區(qū)流感累計確診病例數(shù)R（r）（f的單位：天）的模型：

RS=,J,其中K為最大確診病例數(shù)，N為非零常數(shù)，當R&）=〈K時，4的

l+e''2

值為（）

A.60B.61C.63D.66

第二章函數(shù)

2.4.1指數(shù)函數(shù)（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一整數(shù)指數(shù)幕的概念及運算性質(zhì)

1.根式運算

a,（〃為奇數(shù)）

（1）<

同（〃為偶數(shù)）

2.整數(shù)指數(shù)幕的概念

(1)an=g?a?q(nWZ*)(2)a°=l(awO)(3)an=~7(^wO,〃eZ*)

n個a

3.運算法則

nn

(1)屋/'=""+"；(2)(a"')"=a'"；(3)^=a'"-(m>n,a^Q);(4)

(ab)m=a'nbm.

二分數(shù)指數(shù)募的概念及運算性質(zhì)

(1)a：=?(2)>=(時=廂(3)尸=4

a"

三指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（1）定義域是R.

（2）值域是（。，+8）,即對任何實數(shù)x,都有優(yōu)>0,也就是說函數(shù)圖像一定在x軸的

上方.

（3）函數(shù)圖像一定過點（0,1）.

（4）當時，y=a*是增函數(shù)；當0<a<l時，是減函數(shù).

（5）指數(shù)函數(shù)的圖像.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一指數(shù)與指數(shù)塞的運算

典例1.化簡(式中字母都是正數(shù))：

(21V1(一

(1)2a3b[-6出〃+7a%6；

(2)廢向“叫；.產(chǎn)(

【答案】(l)4a

⑵一

【解析】

【分析】

(1)同底數(shù)幕的乘除法法則進行計算；(2)把根式化為分數(shù)指數(shù)幕，再利用指數(shù)事

的運算法則進行計算.

(1)

(2+，」1+1_5

2a3b2-6a2b3.一3〃麗=[2x(-6)+(-3)]a?26b^36=4a

變式1-1.計算:

(1)(2$-(-9.6)。-(3#+(1.5)-2；

(2)VMF-(1)°+0.25；X弓尸.

【答案】(I6

(2)-3

【解析】

【分析】

___巴______1

本題應用防7=4，〃為奇數(shù)，Q="(a>O),，L=￡進行整理計算.

⑴

3二

一(-9.6)°-(3工)3+(1.5尸+()2=-1+=

Oll49i

⑵

'(-4)3-(1)°+0.253x(意泡=-4-1+y/O25x卜=-3

變式1-2.（1）求值：0.125-；-弓）I+[(-2尸]；+(亞X為)6;

（2）已知/+戶=3（。＞0），求值：Z+a-'tl

【答案】（I）81；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）（2）根據(jù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)即可求出.

【詳解】

(1)原式=(工.-1+23+(&)久(%)6=2-1+8+72=81：

8

￡12I

(2)111a2+a2=3(?>0)>而a+“T=(京+小)2-2=7,

/+。-2+147+1

則+々-2=(〃+〃T)2一2=47,故=6.

a+cf'+17+1

變式1-3.求下列各式的值:

+（25一（血_拘。;

(1)0.0273-

(2)0.064—°+[(-2)邛+i6-(,75+|-0.01F；

2

41

(3)(-2-)°+3-2X-o.oor；

(4)3V2xVT5xVi8.

【答案】⑴T5：

⑵蕓

⑶263

⑶麗;

（4）3^18.

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡計算即得；

（4）利用根式與分數(shù)指數(shù)事互化，利用指數(shù)塞的運算性質(zhì)化簡計算.

（1）

原式=（急入㈠廠少*守一

10c5[..

=-----419H------1=-45

33

⑵

原式=（蒜片7+（一2尸+2公=143

416810

(3)

原式=i+L(竽.(-L)L+Z」=當;

9910002710270

(4)

1aJ.1

原式=3乂2雙(士戶x(2x32)3

???221

=3X22X(1)3X35X2^X35

—i+—?ii,+—i+—i

=2263x333

152

=^xy=486?

=3炳.

變式1?4.化簡下列各式：

(1山#->/燈6WG必;

41

...-Sa3b(.?區(qū))3廠

(2)-5----------------Y1—2^1—x.

爐+2病+46I

【答案】⑴布

（2）?

【解析】

【分析】

（1）（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)幕，再根據(jù)分數(shù)指數(shù)幕的運算法則計算可得;

⑴

2(7\2]

+Q3

\7

27_2

3

=a+。63

272

a§6+03

12

-h—

23

2

=a6=>[a-

⑵

41

cP-Sa^b

解:~2T

〃3+2\[ab

1/?A

a3(rz-8Z?)Z?3

=7Ty——(y

/+2涼獷+Ia3)

題型戰(zhàn)法二指數(shù)函數(shù)的概念

典例2.下列是指數(shù)函數(shù)的是()

A.y=(-4)'B.y=21T

C.y=axD.y=7rx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念判斷可得出合適的選項.

【詳解】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式可知，為指數(shù)函數(shù)，A、B選項中的函數(shù)均不為指數(shù)函

數(shù)，

C選項中的底數(shù)。的范圍未知，C選項中的函數(shù)不滿足指數(shù)函數(shù)的定義.

故選：D.

變式21.下列函數(shù)：①y=3*;②y=6';③y=62；④y=8，+l；⑤y=-6,發(fā)中

一定為指數(shù)函數(shù)的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷即可；

【詳解】

解：形如丫=優(yōu)3>0且為指數(shù)函數(shù)，其解析式需滿足①底數(shù)為大于0,且不等

于1的常數(shù)，②系數(shù)為1,③指數(shù)為自變量，所以只有②是指數(shù)函數(shù)，①③④⑤都

不是指數(shù)函數(shù)，

故選：B.

變式22函數(shù)y=（-3）",y=g）'，y=—,y=（0「，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可解出.

【詳解】

因為形如y=a'（a>0，叱l）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，所以y=和y=（夜）'是指數(shù)函

數(shù).

故選:B.

變式2-3.若函數(shù)尸（蘇-，〃-1）3是指數(shù)函數(shù)，則”等于（）

A.-1或2B.-1

C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得出關于實數(shù)加的等式與不等式，即可解得實數(shù)小的值.

【詳解】

加2一m一1=1

由題意可得,解得a=2.

m*1

故選：C.

變式24已知指數(shù)函數(shù)/（x）=（2^-5a+3）優(yōu)在（0,+力）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的值為

（）

A.\B.1C.D.2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程2/-5a+3=1即得a=2或a=g,再檢驗即得解.

【詳解】

解：由題得2/-5。+3=1,.\2/-5。+2=0,.?.。=2或。=；.

當a=2時，/（x）=2'在（0,+功上單調(diào)遞增，符合題意；

當。=g時，"》）=（；『在（0,+向上單調(diào)遞減，不符合題意.

所以4=2.

故選：D

題型戰(zhàn)法三指數(shù)函數(shù)的圖像

典例3.函數(shù)），=3”的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

由單調(diào)性和所過定點作出判斷.

【詳解】

因為3〉1,所以y=3,單調(diào)遞增，且恒過點（0,1）,

故A為正確答案.

故選：A

變式3-1.若指數(shù)函數(shù)y=",y=b',y=c'（其中或b、c均為不等于1的正實數(shù)）

的圖象如圖所示，則”、。、c的大小關系是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象可得c>l,0<?<1,然后取x=l,判斷b大小即可.

【詳解】

由所給圖象，可知y=c，在R上是嚴格增函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,

得c>l.同理可得0</?<1.

不妨取x=l,此時）'=優(yōu)的圖象在丫=b'上方，即”>8.所以c>a>A,

選：B.

變式32已知函數(shù)〃司=優(yōu)-2（0<”1）,則函數(shù)的圖像經(jīng)過（）.

A.第一、二、四象限B.第二、三、四象限

C.第二、四象限D.第一、二象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的平移變換即可得出結果.

【詳解】

因為0<a<l,

所以函數(shù)/。）="的圖象經(jīng)過一、二象限，

又f（x）=a*-2的圖象是由/（X）="的圖象沿y軸向下平移2個單位得到,

所以函數(shù)〃x）=a'-2的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，

變式3-3.若函數(shù)f（x）=ai-l（a>0且—1）的圖像經(jīng)過定點尸，則點P的坐標是

()

A.（1-DB.(1,0)C.(0,0)D.(0,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數(shù)圖像的平移變換或根據(jù).。=1可得.

【詳解】

因為4。=1,所以當x-l=o,即x=l時，函數(shù)值為定值0,所以點P坐標為(1,0).

另解：因為/(x)=a'T-l可以由、=罐向右平移一個單位長度后，再向下平移1個單

位長度得到，由尸/過定點(0,1),所以=過定點(1,0).

故選：B

變式34對任意實數(shù)。<1且關于x的函數(shù)y=(l-。)'+4圖象必過定點()

A.(0,4)B.(0,1)C.(0,5)D.(1,5)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(0,I)可求解.

【詳解】

,.?4<1且awO,，1—a>0且1—存1,故函數(shù)y=(l-a)”是指數(shù)函數(shù)，過定點(0,I),

則y=(l-a)“+4過定點(0,5).

故選：C.

題型戰(zhàn)法四指數(shù)函數(shù)的定義域

典例4.已知集合A=F|y=H^,x€N},則集合A的子集個數(shù)為()

A.8B.16C.4D.7

【答案】A

【解析】

【分析】

先化簡集合A,確定集合中元素個數(shù)，再由公式，即可求出其子集個數(shù).

【詳解】

因為力=卜|=N1=1x|4-2v>0,xe7V|=1x|2v<4,xe7V|

=1X|X<2,XGN}={0,1,2},

所以集合A的子集個數(shù)為2'=8.

故選:A.

【點睛】

本題主要考查求集合的子集個數(shù)，屬于基礎題型.

變式4-1.設函數(shù)〃力=內(nèi)二三，則函數(shù)/色)的定義域為()

A.(一力,4]B.C.(0,4]D.(0,1]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出f(x)的定義域，再令]滿足"力的定義域范圍求出x的范圍即可得同的定

義域.

【詳解】

由9-3*20即3*49可得XM2

所以f(x)的定義域為3xV2},

令手，可得X44,所以函數(shù)/圖的定義域為S4]，

故選：A.

變式4-2.已知函數(shù)/U)的定義域是(1,2),則函數(shù)12x)的定義域是()

A.(0,1)B.(2,4)

C.(1,1)D.(1,2)

【答案】A

【解析】

由于/U)的定義域是(1,2),所以在12處中只需l<2x<2,求出x的取值范圍就是所

求答案.

【詳解】

??VU)的定義域是(1,2),：.l<2x<2,即2°<2xV2i,.?.0<x<L

故選:A.

【點睛】

此題考查了求復合函數(shù)的定義域的問題，解題時要注意復合函數(shù)的自變量的取值范

圍是什么，屬于基礎題.

變式4-3.若函數(shù)的定義域是口，+8)，則。的取值范圍是()

A.[0,1)U(1,+oo)B.(1,+oo)

C.(0,1)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

由不等式優(yōu)-〃20的解集是口,+8),結合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得.

【詳解】

ax—a>0,'.ax>a,.,.當a>l時，x>\.故函數(shù)定義域為[1,+8)時，a>\.

故選：B.

變式4-4.若函數(shù)f(x)=八八2皿一1的定義域為R，則a的取值范圍是

A.[—1,0]B.[0,1]C.[―1,1]D.(—2,1)

【答案】A

【解析】

【詳解】

???函數(shù)的定義域為R.

YXWR,F之0'恒成立o

A=4a2+4?i；0?ae：-l,0]

題型戰(zhàn)法五指數(shù)函數(shù)的值域

典例5.函數(shù)f(x)=e'+l在[-1,1]的最大值是()

A.eB.—e+1C.e+1D.e—I

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】

解：因為函數(shù)〉=1是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=e，+l也是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/(X)max=/(I)=e'+l=e+l.

故選：c

變式5-1.函數(shù)/(X)=2T的值域是()

A.(0,物)B.(0,2)2C.(0,2］D.［2,+<?)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結果.

【詳解】

因為xeR,所以l-f,

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：/(x)=2'-/e(O,2］.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查求指數(shù)型復合函數(shù)的值域，屬于基礎題型.

變式5-2.函數(shù)〃x)=a'(O<a<l)在區(qū)間［0,2］上的最大值比最小值大;，貝心的值為

)

B.旦D.在

A.JL.------

2222

【答窠】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，根據(jù)已知條件構造方程，解方程可得答案.

【詳解】

???函數(shù)兀0=?(0<。<1)在區(qū)間［0,2］上為單調(diào)遞減函數(shù)，

，=〃0)=lJ(x)*=八2)=/，

???最大值比最小值大］,

4

3

A1-/=

4

解得

故選：A.

變式5?3.已知函數(shù)/(用=優(yōu)+〃(〃>0MW1)的定義域和值域都是［-L0］,則。+6=()

33

A.--B.-1C.1D.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】

分。>1和0<°<1,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列方程組求解.

【詳解】

f(-l)=a-'+b=-l

當”>1時,方程組無解

/(O)=a°+b=O

+b=0

當0<a<1時,解得

f(O)=a°+b=-i

b=-2

,1c3

:.a+b=——2=——

22

故選：A.

變式5-4.若函數(shù)=J4T_2、a的值域為0+⑹，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.七｝B.g-001C.卜8,gD.［0,+8）

【答案】C

【解析】

【分析】

因為函數(shù)/（X）的值域為［0,+8）,所以4r_2，+a可以取到所有非負數(shù)，即

4-V-2_2工+a的最小值非正.

【詳解】

因為4-2X+a=—（2X—\Y+a-->a--,

2V722

且人力的值域為［0,+°o）,

所以〃一；40,解得

故選：C.

題型戰(zhàn)法六指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例6.函數(shù)”句=2,小的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.B.卜S,SC.(3,+oo)D.(F。)

【答案】B

【解析】

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

/(x)=2'a由y=2"與〃=3x復合，而y=2"為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)

〃x)=2*3,的單調(diào)遞減區(qū)間為“-3x單調(diào)遞減區(qū)間，即單調(diào)遞減區(qū)間為卜8，|).

故選：B

【點睛】

本題考查復合函數(shù)單調(diào)性以及二次函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

變式6-1.函數(shù)y=(g)”+2,的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-1,+℃)B.y,T]C.[1,+OO)D.(9,1]

【答案】c

【解析】

利用復合函數(shù)判斷單調(diào)性“同增異減''的方法求解即可

【詳解】

解：令f=-f+2x,則y=

因為f=-/+2x在(7,1]上單調(diào)遞增，在[1,2)上單調(diào)遞減，

所以y=在(y，1]上單調(diào)遞減，在[1,+8)上單調(diào)遞增，

故選：c

變式62已知指數(shù)函數(shù)f(x)=Q(。>0,且g1),且〃-2)>〃-3),則。的取值

范圍()

A.(0,1)B.(1,物)C.(O,+8)D.(—8,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解決此題.

【詳解】

解：由指數(shù)函數(shù)/(x)=Q=(￡|,(a>0,且a"),且〃-2)>〃—3)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知,>1

a

所以0<a<l,

故選：A

變式6-3.指數(shù)函數(shù)/(x)=(。-1)、在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—2,—1)B.(2,+oo)C.(—00,—2)D.(1⑵

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知條件結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可

【詳解】

因為指數(shù)函數(shù)〃x)=(a-l),在R上單調(diào)遞減，

所以0<a-l<l,得

所以實數(shù)。的取值范圍是。，2),

故選：D

變式6-4.已知函數(shù)外力=卜一6：""是xeR上的單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范

a\x>\

圍為

D

B.

【答案】D

【解析】

【分析】

對。進行分類討論，根據(jù)〃x)是R上單調(diào)函數(shù)列不等式，由此求得。的取值范圍.

【詳解】

當Ovavl時，a-l<0,貝(a-l)xl2",。一1Na,無解.

當。>1時，a-l>0,則(a-l)xl?d,aT4a,所以符合題意.

所以。的取值范圍是(1,+°°).

故選：D

題型戰(zhàn)法七比較大小與解不等式

典例7.設。=0.6。5,匕=0.6%c=1.50-6,則a,b,c的大小關系()

A.a<b<cB.a<c<b

C.h<a<cD.b<c<a

【答案】c

【解析】

【分析】

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】

y=06是減函數(shù)，所以1>0.6。5>0.6"，1.5>1,0.6>0,1,506>1,

所以b<a<c.

故選：C.

變式7-1.已知，a=O.606,。=0.3如，c=O.605,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.

【詳解】

因為y=06單調(diào)遞減，所以0<a=0.6°6<0.6°5=c<0,6°=l,人=0.3如>0.3°=1，所以

a<c<b.

故選：D

變式7-2.不等式52,>5~的解集是()

-；,+8

A.(-1,-HX>)B.

c.y,-i)D.(?,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)y=5*的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

由，=5、在定義域上單調(diào)遞增，

,根據(jù)52，>5，T得：2x>x-l,解得x>-L

，解集為(-1,+00).

故選：A.

變式7-3.若(f,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.6，+8)B.。,+8)

C.(3)D.18彳)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定2a+l與8-2a的大小，從而求出。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=在R上為減函數(shù)，所以2a+l>8-2a,所以a>g.

故選：A.

變式7-4.設那么()

A.a>b>\B.h>a>\C.0<b<a<\D.0<a<b<\

【答案】D

【解析】

【分析】

利用y=(gj的單調(diào)性即可求解.

【詳解】

因為y=(gj單調(diào)遞減，

由可得

故選：D.

題型戰(zhàn)法八指數(shù)函數(shù)的應用

典例8.我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期

臨床試驗階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c(t)(單位：mg/L)隨著

時間T單位：h)的變化用指數(shù)模型c(r)=c°e”描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)

k=0.1(單位：h-'),剛注射這種新藥后的初始血藥含量c°=2000mg/L,且這種新藥

在病人體內(nèi)的血藥含量不低于l000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病

人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為()(參考數(shù)據(jù)：

In2?0.693,In3?1.099)

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

【答案】C

【解析】

【分析】

利用已知條件c")=c°eq=2000e°”,該藥在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?0()()mg/L時需

要的時間為4,轉化求解即可.

【詳解】

解：由題意得：

k

c(Z)-coe^=2O