廣西防城港市2023-2024學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z—反=2+i(i為虛數(shù)單位)，貝!|z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300,則判斷框中可以填()

A.i>30?B.i>40?C.i>50?D.i>60?

3.下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)N除以正整數(shù)加所得的余數(shù)是〃”記為

“N三”(modm)”，例如7三1(mod2).執(zhí)行該程序框圖，則輸出的〃等于()

A.16B.17C.18D.19

2x+1+2,x<0,

4.已知函數(shù)/(%)=<若關(guān)于X的方程[/(x)]2-2af(x)+3a=0有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取

110g2尤>0,

值范圍為()

A.B.C.(3,4)D.(3,4]

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8,則框圖中①處可以填（）.

A.S>7?B.S>21?C.5>28?D.S>36?

設(shè)函數(shù)/（X）=sin1+g卜?！?）,

6.若/Xx）在［0,2汨上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

1229122912291229

A.B.C.D.

T10T'ToT'lOT'TF

?2020士里，則z的虛部是（

7.若2=)

1+z

A.iB.萬(wàn)C.-1D.1

8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

24+萬(wàn)B.24—7T

24—2〃D.24—3%

9.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處

開(kāi)始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便

領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)10米時(shí)，烏龜先他1米….所以,

阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為01米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）

10.如圖所示的程序框圖輸出的S是126,則①應(yīng)為（）

(W5)

n=1,5=0

n=n+l

A.〃<5?B.n<6?C.n<7?D.n<8?

22

11.已知雙曲線二-1=1(。>0,6>0)的離心率為e,拋物線V=2px(p〉0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),若e=p,則雙

ab

曲線。的漸近線方程為()

A.y=±y/3xB.y=±2^2x

「__k小N__L也

C?y=±xD?y—±-------x

-22

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+4?(。，對(duì)應(yīng)向量OZ(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)"z|=r,以射線Ox為始邊，OZ

為終邊旋轉(zhuǎn)的角為。，則z=r(cos9+isin。)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：zt=(cos6>+zsin6?),

z2=G(cos%+isin60,則ZR=彳弓[cos(6j+60+/sin(4+60],由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：

[r(cosd+isine)]"="'(cos^e+isin”。)，已知2=(出+7),則口=()

A.273B.4C.8百D.16

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.“sine+cose=0"是"cos2a=0”的條件.(填寫“充分必要"、"充分不必要"、”必要不充分"、"既

不充分也不必要”之一)

14.如圖，橢圓「:=l(a〉6〉0)的離心率為e,歹是「的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是「上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn),

/b2

UUL1UUU1ULUIUULU

OQ=AOP（A>0）,FQOP=0,若4<e,貝！|e的取值范圍是

x+3y-3<0

15.已知實(shí)數(shù)(x,y)滿足x-y+GO則點(diǎn)P(x,y)構(gòu)成的區(qū)域的面積為,2x+y的最大值為

y>-1

16.在ABC中，角A的平分線交于。，BD=3,CD=2,貝UABC面積的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端.某種植戶對(duì)一塊地的〃(〃eN*)

個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言，

2

如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.

（1）當(dāng)〃取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當(dāng)九=4時(shí)，用X表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

x=2cosa

18.（12分）選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系龍。丁中，曲線G：\（a為參數(shù)），在以平

[y=2sina

面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、X軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系X。，取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中，曲線

/7sin（8一令=1.

（1）求曲線G的普通方程以及曲線02的平面直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線G上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線G的距離相等，求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).

11

%=—+—COS6Z,

42

19.（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程是（e是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正

出1.

y=——+—smcr

-42

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線C上取一點(diǎn)"，直線OM繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三，交曲線C于點(diǎn)N,求IOMWONI的最大值.

20.（12分）根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國(guó)G。產(chǎn)總量從0.37萬(wàn)億元躍升至90萬(wàn)億元，實(shí)際增長(zhǎng)了242

倍多，綜合國(guó)力大幅提升.

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值-GDP（萬(wàn)億）

將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替，并表示為hV表示全國(guó)GOP總量，表中

_15

4=如%(=1,2,3,4,5),2=三4.

3Z=1

x（，T（z，-z）

tyz

Z=1i=lZ=1

326.4741.90310209.7614.05

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，判斷與$=（其中e=2.718.為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為全國(guó)

GOP總量y關(guān)于/的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并求出y關(guān)于才的回歸方程.

（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計(jì)2020年的全國(guó)GAP總量.

線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

八￡（%—元）（%-9）

2=上，---------------a^y-bx.

元）2

1=1

參考數(shù)據(jù):

n45678

en的近似值5514840310972981

1

21.（12分）已知函數(shù)/（%）=—41nx+/x9.

（1）求/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論g（x）=/^^+卜一力”零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

22.（10分）已知數(shù)歹?。荩?』滿足&+&=2（力22）,且%彳出，/=工，?！，生，生成等比數(shù)列?

。〃+1an-l5

（1）求證：數(shù)列｛-!-｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

,1、1

（2）記數(shù)列｛—｝的前"項(xiàng)和為S”,bn=a"%S“,求數(shù)列｛bn｝的前〃項(xiàng)和Tn.

4

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到z,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.

【詳解】

2+/_(2+，)(1+，)_1+3，_13.

由2—，Z=2+2?得:1-z-(l-z)(l+z)-221

j_3

，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.

2,2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

由300=200+10+20+30+40,則輸出為300,即可得出判斷框的答案

【詳解】

由300=200+10+20+30+40,則輸出的值為300,,=40+10=50,故判斷框中應(yīng)填i>40?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量〃的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，代入四個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).

若輸出〃=16,貝!|16三l（mod3）不符合題意，排除；

若輸出〃=17,則17三2（mod3）』7三2（mod5）,符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.

4、B

【解析】

令/（x）=r,則/—2m+3a=0,由圖象分析可知/—2s+3a=0在（2,4］上有兩個(gè)不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解決.

【詳解】

令/(x)=r,則――2由+3a=0,如圖

'=/與y=/(x)頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn)，要使關(guān)于x的方程[/(%)]2一2硝%)+3a=0有

六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則r-2at+3a=Q有兩個(gè)不同的根(2,4],

設(shè)g(/)=r-2at+3a由根的分布可知,

A=4a2—12a>0

ae(2,4)16

二二，解得3<a<?

g⑵〉05

g(4)>0

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中

檔題.

5、C

【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時(shí).

【詳解】

第一次循環(huán)：S=0,i=l

第二次循環(huán)：S=l,i=2

第三次循環(huán)：S=3,i=3

第四次循環(huán)：S=6,i=4

第五次循環(huán)：S=10,1=5

第六次循環(huán)：S=15,1=6

第七次循環(huán)：5=21,/=7

第八次循環(huán)：S=28"=8

所以框圖中①處填S228?時(shí)，滿足輸出的值為8.

故選:C

【點(diǎn)睛】

此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.

6、A

【解析】

7T

由0＜兄＜2?求出①次+《范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征，建立①不等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】

,人冗71_71

當(dāng)［0,2乃］時(shí)t，+—,2710)H——,

55

???〃尤）在［0,2句上有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

?*.57r<2G)TIH—<67r,—V。<—.

5510

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為：。+方的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.

【詳解】

產(chǎn)。+3,_l+3z_(1+3，)。-，)_l+2z-3r

由題可知z

1+z―7+7—(l+z)(l-z)―1-z2-=2+i,

所以Z的虛部是1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體為邊長(zhǎng)為2正方體ABCD-AB'C'D'挖去一個(gè)以3為球心以2為半徑球體的工，

8

1,

如圖，故其表面積為24—3?+§*4乂乃義22=24—乃，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

⑴以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元

素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

⑵多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的

面積之和.

9、D

【解析】

1(1丫T

根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)芻1=100,q=—=0.1,由a=0.1=100x—，解得〃=4,

10〃n(10)

再求和.

【詳解】

根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)q=100,7=—，an=0.1,

/1y-1

所以己=o.i=100x—，

nin

\±U7

解得〃=4,

(

(八1001-----

所以S=%(1-。)=Iu⑺J=10：-1.

41-q1190

1——---

10

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.

10>B

【解析】

試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+...+2n

的值，并輸出滿足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并輸出滿足循環(huán)的條件.

,.,S=2+22+...+21=121,

故①中應(yīng)填nWL

故選B

點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視.程序填空也是重要的考試題型，

這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題

型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

11、A

【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解“，8關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,

又0=「，所以e=$=2,可得。2=4層=/+肥，可得：b=Ma,所以雙曲線的漸近線方程為：產(chǎn)土瓜.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：［r(cos6+，sine)了=r'(cos7訪+isin7訪)，直接求解即可.

+zsin

+zsin

|Z|=^(-8)2+(8^)2=16.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形

式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、充分不必要

【解析】

由余弦的二倍角公式可得cos2a=cos2a-sin2a=(cosa-sincr)(cose+sina)=0,即sina-cosa=0或

sina+cose=0,即可判斷命題的關(guān)系.

【詳解】

由cos2a=cos?e-sir?c=(cos戊-sincr)(cos夕+sinor)=0,所以sina-cosa=0或sina+cosc=0,所以

“sina+cosa=0"是"cos2a=0"的充分不必要條件.

故答案為:充分不必要

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷，考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.

【解析】

由于點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0尸與X軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)ZFOQ=，，又由/。?。戶=0,可知

，2/~\/~\?'

2（ccos2^,ccos^sin^）,從而可得。［二廠,任廣一J,而點(diǎn)「在橢圓上，所以將點(diǎn)p的坐標(biāo)代入橢圓方程

中化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)q=c,P（%,y）,ZFOQ=0,則Q（ccos2accosOsin。），

由法=4法（2>0）,得力匕誓，上2誓4,代入橢圓方程，

I4%,

得〈化簡(jiǎn)得，黑梁。<”9。。）恒成立,

【點(diǎn)睛】

此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

15、811

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:

數(shù)形結(jié)合可知，可行域?yàn)槿切?，且底邊長(zhǎng)BC=8,高為2,

故區(qū)域面積S=」x8><2=8；

2

令z=2x+y,變?yōu)閥=-2x+z,

顯然直線y=—2x+z過(guò)5(6,-1)時(shí)，z最大，故馬四=2x6—1=11.

故答案為：8；11.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.

16、15

【解析】

ADRD

由角平分線定理得——=——，利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出ABC面積的最大值.

ACCD

【詳解】

畫出圖形：

-ACCD2

設(shè)AC=2x,ZBAC=2a,ae[o，d，則AB=3%

由余弦定理得：524x2+9x2-2-3x-2x-cos2a

25

即九2

13-12cos2a

75sin2a

S^BC=-,3x-2x-sin2a=3x2-sin2a=

13-12cos2a

752tana

75x2sinacoscif_1+tan2a

13-12x^cos2cif-sin2cif)1一tan?a

1+tan2a

150-tan(7150150

=15

1+25tan2a」一+25tana2J-——25tana

tan。Vtana

當(dāng)且僅當(dāng)一--=25tana,即tana二工時(shí)取等號(hào)

tana5

所以ABC面積的最大值為15

故答案為：15

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角形面積的最值問(wèn)題，通過(guò)三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為3；(2)見(jiàn)解析.

16

【解析】

(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成〃的函數(shù)，考查函數(shù)隨"的變化情況，即可得到〃為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概

率最大.(2)"=1時(shí)，X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期

望即可.

【詳解】

(1)對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率。=心

有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為屐(￡|.

解得5W〃W6,因?yàn)椤癳N*，所以"=5,6,

當(dāng)〃=5時(shí),

當(dāng)九=6時(shí),

所以當(dāng)〃=5或〃=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為

16

(2)由已知，X的可能取值為0,1,2,3,1.X?

所以X的分布列為

X01231

1]_3￡1

P

1648416

X的數(shù)學(xué)期望歐=4x^=2.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于中檔題.

18、⑴x2+y2=4,x-+2=0;(2)

【解析】

⑴把曲線Ci的參數(shù)方程與曲線。2的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.

【詳解】

x=2cosarc

解：(1)由1c,消去參數(shù)e得f+y2=4,

y=2sina

即曲線G的普通方程為Y+y2=4,

又由「sin］。一=1得p］sin6cos看一cosesin?1=1

即為x-百y+2=0,即曲線。2的平面直角坐標(biāo)方程為％-代＞+2=0

ld==l=-r

(2)1?圓心。到曲線。2：x—代＞+2=0的距離2，

如圖所示，所以直線x-石y+4=0與圓的切點(diǎn)A以及直線x-6＞=0與圓的兩個(gè)交點(diǎn)3,。即為所求.

?：OA±BC,則左帆=—百，直線機(jī)的傾斜角為］一,

即A點(diǎn)的極角為V，所以3點(diǎn)的極角為V-￡=￡,c點(diǎn)的極角為2/+f=?,

3326326

所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為《2彳｝”吟)《2,葡.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把

參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元

法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將夕cos，和夕sin。換成y和x即可.

19、(1)p=sin[o+6](2)最大值為：

【解析】

(1)利用sin2(z+cos2o=l消去參數(shù)戊，求得曲線C的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得|OM|?|ON|的表達(dá)式，并利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)最值的求

法，求得|OM|?|ON|的最大值.

【詳解】

11

x=—+—cosa,

42

(1)由＜消去a得曲線C的普通方程為x2+y=0.

731.22

y=------1—sina,

4---2

所以C的極坐標(biāo)方程為叱梟0+*0,

即p=sin18+2

(2)不妨設(shè)M(Pi，e),2VL,0+|I,

2Pi＞。,p2＞0,6￡[0,2])，

則

\OM\-\ON\=pg=sin=sinI0+—cos0=——sin，+—cos。-cos61

I6；122J

J3111.21

=——sin20+—cos26)+—=-sin+—

44424

JT3

當(dāng)6=工時(shí)，|OM|.|ON|取得最大值，最大值為巳.

64

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)系下線段長(zhǎng)度的乘積的最值的求法，

考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.

dt

20、(1)y=ce,>才歷泊=,-2.312)3405,⑵148萬(wàn)億元.

【解析】

(1)由散點(diǎn)圖知y=ce"更適宜，對(duì)〉=ce"兩邊取自然對(duì)數(shù)得lny=lnc+力，令z=lny,a=\nc,b=d,則

z=a+bt,再利用線性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算即可；

(2)將￡=5.2代入所求的回歸方程中計(jì)算即可.

【詳解】

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，

y=ced,更適宜作為全國(guó)GZ>P總量V關(guān)于f的回歸方程.

對(duì)〉=ce”兩邊取自然對(duì)數(shù)得lny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,^z=a+bt.

因?yàn)閆，=^1—----------=—=1.405,

Zb)10

Z=1

所以a=』-應(yīng)=1.903-1.405x3=-2.312，

所以z關(guān)于f的線性回歸方程為z=1.405^-2.312，

所以y關(guān)于f的回歸方程為$=/°5"312=("2.312)一叫

(2)將t=5.2代入9=34°5-2.312,其中1.405x5.2—2.312=4.994,

于是2020年的全國(guó)GOP總量約為：y=e4"4148萬(wàn)億元.

【點(diǎn)睛】

本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線性回歸方程時(shí)，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來(lái)處理，是一道中

檔題.

21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

⑴求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.

—4InXzllnxyint

⑵g(x)=-----+bx,g(x)有零點(diǎn)等價(jià)于方程------+bx=O實(shí)數(shù)根，再換元將原方程轉(zhuǎn)化為b=——，再求導(dǎo)分

XXt

析丸?)=聞的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.

t

【詳解】

,42-4

(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/