蘇州大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

\+2y<ln

1.設(shè)X,y滿足約束條件2x+y2-1,若z=—3x+2y的最大值為〃，則2x-的展開式中犬項的系數(shù)為()

x-y<0

A.60B.80C.90D.120

2.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是

(1)對于命題〃與毛€氏使得尺—1<0,則-1PHxeR都有好_1>0；

(2)已知XNQ,/),則尸(X>2)=0.5

(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為夕=2x-3；

(4)“x?l”是“x+^22”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

3.函數(shù)g(x)=Asin(oa+0)(A>O,O<0<2?)的部分圖象如圖所示，已知g(0)=g|夫］=g，函數(shù)y=/(x)

的圖象可由y=g(H圖象向右平移g個單位長度而得到，則函數(shù)/(%)的解析式為()

/(x)=2sinf2x+y

A./(x)=2sin2xB.

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sinf2x-y

4.直三棱柱ABC—A4G中，CA=CCX=2CB,AC.LBC,則直線3G與A片所成的角的余弦值為()

小2出3

A.RJL).---------C.D.

3~5~5

5.等比數(shù)歹！J{%}，若。3=4,〃i5=9貝!!%=()

13

A.±6B.6-6D.

C.~2

6.已知2〃=3"=6,則，，6不可能滿足的關(guān)系是()

2

A.a+b-abB.a+b>4C(Z?-l)<2D.a2+b2>8

7.已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足/⑴=1,且則不等式/(Ig2x)<lg2龍的解集為()

?(Q。)D-(1。*)

A.B?)

1

—X9H--X%<0

8.已知函數(shù)/(%)={2',若函數(shù)g(x)=/Q)-丘有三個零點，則實數(shù)上的取值范圍是(

ln(%+l),x>0

1

A.1B.一,+GC

r2

9.函數(shù)y=sin|x一之?In|x|圖像可能是(

10.若［近+工］的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為()

A.85B.84C.57D.56

11.在AABC中，“cosAccosB"是"sinA>sinB"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.設(shè)集合4、3是全集U的兩個子集，則“Au3”是“A飛8=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)S”為數(shù)列｛4｝的前幾項和，若?！啊?,6=1,且25“=%(%+力，neN*，貝UA。=.

14.在AABC中，角A,B,。的對邊長分別為b,c,滿足/-2a(sinB+退cos8)+4=0,b=2幣,則AABC

的面積為一.

15.設(shè)等比數(shù)列｛a0｝的前“項和為S“，若4-。2=2,。2-%=6,貝!|S4=.

16.已知復(fù)數(shù)z=(l-。?(a+z)(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)改革開放40年，我國經(jīng)濟取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷

加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取

男女駕駛員各50人，進行問卷測評，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示在80分以上為交通安全意識強.

(1)求?的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；

(2)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性

別有關(guān)；

安全意識強安全意識不強合計

男性

女性

合計

(3)用分層抽樣的方式從得分在5。分以下的樣本中抽取6人，再從6人中隨機選取2人對未來一年內(nèi)的交通違章情況

進行跟蹤調(diào)查，求至少有1人得分低于40分的概率.

n〈ad-bc,

附：K2=其中〃=Q+b+c+d.

(〃+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

18.(12分)已知在A6c中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=l,A=-,且限—26=1.

6

(1)求cosC的值；

(2)求ABC的面積.

19.(12分)已知{4},{2}均為正項數(shù)列，其前九項和分別為S.,(，且q=g,仇=1,瓦=2,當(dāng)n22,neN*

時，S_.=l-2a,一2T…

nn-1:-?

"+I+%T

(1)求數(shù)列{4},{2}的通項公式；

(b+2)an

(2)設(shè)g=上[:求數(shù)列｛g｝的前〃項和匕.

bn+2

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=%2-x+alnx(a<0),且/(%)只有一個零點.

(1)求實數(shù)。的值;

⑵若玉<X2，且/(石)=/(%2)，證明：占+々>2.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=g[lnx+；).

(I)若加=1,求曲線y=在(1,/⑴)處的切線方程;

(II)當(dāng)相￡1時，要使/(x)>xlnx恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

22.(10分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)-k(x+l).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)左=2時，求證：對于Vx>—1,/(x)<g(x)恒成立；

(3)若存在%>-1,使得當(dāng)xe(-l,Xo)時，恒有/(x)>g(x)成立，試求上的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到〃=5,再利用二項式定理計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，

3z

z=-3x+2y,即丫=耳工+萬，故z表示直線與y截距的2倍，

根據(jù)圖像知：當(dāng)％=-1,丁=1時，z=-3x+2y的最大值為5,故〃=5.

C1>5_(1Y5-之

2x—丁展開式的通項為：(+i=C](2x廣—一L=G"一‘.(—ly.x2、

取廠=2得到爐項的系數(shù)為：C；-25-2-(-l)2=80.

故選：B.

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

2、C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題。：使得尤-1<0,則—都有

爐—1>0,是錯誤的；

（2）中，已知X?NR,。?），正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為％=2,所以尸（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，可得

回歸直線方程為J=2x-3是正確；

（4）中，當(dāng)尤之1時，可得x+=2成立，當(dāng)工+422時，只需滿足了>0,所以“尤21”是“x+422”

X\XXX

成立的充分不必要條件.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識點的應(yīng)用，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得：=葛-2x（=W，利用周期公式可得①，再根據(jù)圖像過I?,。]（0,百），即

可求出9,A,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

由圖像可知二=9工—2x^=三，即T=%,

2662

27r

所以T=—,解得。二2,

CD

兀

所以1+0=左兀（左eZ）,由。＜夕＜2萬，

所以°=§或三，

又g（0）=G

所以Asin"=g,（A＞0）,

所以夕=3-,A=2f

即g（x）=2sin12x+稱）

因為函數(shù)y=f（x）的圖象由y=g[x）圖象向右平移三個單位長度而得到，

所以V=/（x）=2sin2^%-^+^-=2sin2x.

故選：A

【點睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

設(shè)C4=CG=2C3=2,延長4月至。，使得4片=用。，連BDCQ,可證Ag]//5。，得到（或補角）

為所求的角，分別求出3G，A5]，G。，解G3D即可.

【詳解】

設(shè)C4=CG=2CB=2,延長4耳至。，使得4用=用。，

連8DCQ,在直三棱柱A5C—中，43//4片,43=4片,

AB//B.D,AB=BQ,四邊形ABDB,為平行四邊形，

:.ABXHBD,:.ZQBD（或補角）為直線BC1與A與所成的角,

在放△BCG中，BC[={CC；+BC2=布,

在Rt“耳￡中，A與=QAG+B]C：=區(qū)cosZB]AQ飛'

在AG。中,

C.D2=4Q2+^D2-ZAjQADcosZB^Q=4+20-16=8,

在41g中，AB1=+,牙=3,.BD=AB[=3,

BC：+BD?-CD5+9-875

在BQ。中，cosNC[BD=

2BC「BD6A/5-5

故選：A.

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

5、B

【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.

【詳解】

2

由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，a3-al5=a9,

所以％=±63，％5=±6^-±6，

而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以%=6,

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用，注意項的符號特征，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)2“=3&=6即可得出。=1+1423,^=l+log32,根據(jù)1叫3?1%2=1,log32+log32>2,即可判斷出結(jié)

果.

【詳解】

；2。=3"=6;

/.a-log,6=1+log23,b-log36=1+log32；

：.a+b=2+log23+log32>4,ab^2+log23+log32>4,故A.B正確；

222

(a-l)+(&-l)=(log23)+(log32)2>2log23log32=2,故C錯誤；

222

?/a+/=2+2(log23+log32)+(log23)+(log32)

>2+4^1og23-log32+21og23-log32=8,故D正確

故C.

【點睛】

本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：a+622而和不等式1+〃之2出7的應(yīng)用，

屬于中檔題

7、B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃尤)-X,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(X)-X,則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'(x)=/'(x)—1,Q(x)<1,g'(x)<0,即函數(shù)g(x)為減函

數(shù)，==—l=1—1=0,則不等式g(x)<0等價為g(x)<g⑴，

則不等式的解集為x>1,即/(%)<x的解為x>l,Qf(lg2x)<lg?x,由叱工>1得Igx>1或Igx<-1,解得1>10

或0<x〈吃，

故不等式的解集為［o,u(10,+s).故選:B.

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是難題.

8,B

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知％=0為g(x)=/(x)一質(zhì)的一個零

點；對于當(dāng)x<0時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合尤<0即可求得上的范圍；對于當(dāng)%>0時，結(jié)合導(dǎo)函數(shù),

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷左的范圍.綜合后可得左的范圍.

【詳解】

根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：

4

2，.._.

f-Vr

2

V

/」

函數(shù)g(x)=/(x)-質(zhì)的零點，即f(x)=Ax.

由圖像可知，/(0)=0,

所以x=0是/(%)—丘=0的一個零點，

,1

當(dāng)x<0時，/(%)=-%+2X,若/(X)-卮=0，

則一Y+^x—乙=0,即x=L—左，所以工一女<0,解得!〈女；

2222

當(dāng)x>0時，f(x)=ln(x+l),

貝!1/(尤)=二7,且工e(0,1)

x+1x+1'7

若/(x)-履=0在％>0時有一個零點，貝必武0,1),

綜上可得左??；/],

故選：B.

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應(yīng)用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中

檔題.

9、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項4G當(dāng)x-0+時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.

【詳解】

,y=sin?In|x|=-cosxln|x\,

-cos(-x)ln|-x|=-cosxln|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項4G

當(dāng)正數(shù)x越來越小，趨近于0時，—cosx<0,ln|x|<0,

所以函數(shù)丁=豆111%—g}ln|x|〉0,故排除選項8,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

10、A

【解析】

先求〃，再確定展開式中的有理項，最后求系數(shù)之和.

【詳解】

解：+的展開式中二項式系數(shù)和為256

故2”=256,?=8

8-r8-4」

心==qJ

要求展開式中的有理項，則r=2,5,8

則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為：C；+C；+C；=85

故選：A

【點睛】

考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出cosA<cos8的等價條件為A>5,再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出

"cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要條件.

【詳解】

余弦函數(shù)丁=以《兀在區(qū)間（0,乃）上單調(diào)遞減，且0<A<?,0<B<7r,

由cosA<cosB,可得A>5,由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，"cosA<cosB"是"sinA>sinB”的充分必要條件.

故選：C.

【點睛】

本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力,

屬于中等題.

12、C

【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.

【詳解】

如圖所示，A03nAce3=0,

同時Ace§=0nA0B.

故選:c.

【點睛】

本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、55

【解析】

由題可得2sl=0(4+1=24,解得f=l,所以2s.=%4+1),2s“+1=%+](4什1+1),

上述兩式相減可得25,1+1-25“=2%+[=an+l(切+l)-an(an+1),即(%+an)(an+l-an-l)=0,

因為。“〉0,所以見+[-%一1=0,即%

所以數(shù)列｛區(qū)』是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

10x9

所以百0MlOxl+^^xluSS.

14、2G

【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求5,進而可求。，然后結(jié)合余弦定理可求。，代入

S〃=%sm5,計算可得所求.

【詳解】

解：把/-2a(sinB+^cosB)+4=0看成關(guān)于。的二次方程，

則A20,即4(sin5+百cos3)2-1620,

即為4冊/3+2]]-16>0,

II3〃

化為sin2,+q121,而sin2[5+g]wl,

則sin2,+?1=l,

ITTC47r

由于0<5<?,可得一<8+—<——，

333

可得3+2=工，即8=工，

326

代入方程可得，a2-4a+4=0f

a=29

由余弦定理可得，cos-=4+r~28=—，

62x2c2

解得：c=4百(負的舍去)，

...S[5c=—acsin5——x2x4^/3x—=2^/3.

故答案為2g.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

15、-40

【解析】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為根據(jù)已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

a,-CLq=2

因為q-4=2,%-。3=6,即｛?解得4=3,%=T,

c^q-c^q"2=6

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，及前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，正確求解首項

和公比是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、-1

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解z再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)Z=(l-7)(。+。=。+1+(1-。"為純虛數(shù)，

ci+1^0,1—aw0,

解得a=~l.

故答案為：T.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17、（1）a=0.016,概率為0.2；（2）列聯(lián)表詳見解析，有99.5%的把握認為交通安全意識與性別有關(guān)；（3）1

【解析】

（1）根據(jù)頻率和為1列方程求得。的值，計算得分在80分以上的頻率即可；

（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算K?的值，對照臨界值得出結(jié)論；

（3）用分層抽樣法求得抽取各分數(shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.

【詳解】

解：（1）10（0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028）=1

解得a—0.016.

所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率P=0.16+0.04=0.2

（2）根據(jù)題意可知，安全意識強的人數(shù)有100x0.2=20,

4

其中男性為20x—=16人，女性為4人，

4+1

填寫列聯(lián)表如下：

安全意

安全意識不強合計

識強

男性163450

女性44650

合計2080100

(16x46-4x34)xlOO

K1=---------------------------=9>7,879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認為交通安全意識與性別有關(guān).

（3）由題意可知分數(shù)在（30,40］,（40,50］的分別為4名和8名，

所以分層抽取的人數(shù)分別為2名和4名，

設(shè)（30,40］的為A，%,（40,50］的為男，鳥，鳥，當(dāng)，則基本事件空間為（4，4）,（A，4）,（4，⑦），（&4）,

（4，旦），（4,4）,（4，月），（4，鳥），（4，用）,（4，耳），（耳國），（綜用），（隊員），（&用）,（四,且）

共15種,

設(shè)至少有1人得分低于40分的事件為A,則事件A包含的基本事件有

（A，4）,（4，用）,（4四），（AW）,（4，耳），（4,4），（4,耳）,（4，居），（4，d）共9種

Q3

所以P（A）=^=不

【點睛】

本題考查獨立性檢驗應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.

18、（1）--；（2）B

24

【解析】

JT5

（1）將4=1代入等式，結(jié)合正弦定理將邊化為角，再將A=—及3==萬-C代入，即可求得cosC的值;

66

(2)根據(jù)(1)中cosC的值可求得C和3,詡E而可得力=a=l,由三角形面積公式即可求解.

【詳解】

(1)由石C—26=1,得辰-2b=a，

由正弦定理將邊化為角可得73sinC-2sinB=sinA，

-：A=~,

6

B=-—C,

6

J^sinC—2sin-n-C=-,化簡可得6f>inC_2x—cosC—2x—sinC=—>

16)2'222

解得cosC=—

2

(2)■.,在AfiC中，cosC=—,

2

??Cx-9

3

兀

:.B=TI-A-C=—

6f

:?b=a=',

r1.r111V3

??S=-absmC=—x1x1x—=—,

-ABRCr2224

【點睛】

本題考查了正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，正弦差角公式的應(yīng)用，三角形面積公式求法，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)a=—,b”=n(2)P=l-----——

"2"n("+1)2

【解析】

（1）2%（幾.2）,所S“=l-24+],兩式相減，即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項公式，由

卜2%-%）TT,久整理得2年1-%）（7；+射）_24（7；+?。〆為得

4=-----；-----2T『I=T-T,i（九.2）,整理得-----------------------------------A，+/.t（九?2）,得

nb〃+i+bn+i+

到優(yōu)+i-2=bn-%（九.2）,即可求解通項公式；

（附+2）12（H+1）-H111

（2）由（1）可知，=即可求得數(shù)列｛g｝的前九項和

n+n2n（n+1）2n-2｛n+1）-2

【詳解】

（1）因為S“_i=l—2%（〃..2）,所S,=l—2a”+「兩式相減，整理得/T=g/（九.2）,當(dāng)〃=2時,

S]—q—~—1-2ci?，a?——~q,

所以數(shù)列｛4｝是首項和公比均為;的等比數(shù)列，即4=3

-2r_1=T-T_1(n..2),

2口「小)(，+心)_2d(?；+%)_

整理得-*1n+1n\\n--jL)'

2+1+%

2b

又因為d〉0,所以〈〉0,所以7—L=l（〃..2）,即2中一2T（〃..2）,因為2=1,d=2,所以數(shù)列

｛2｝是以首項和公差均為1的等差數(shù)列，所以a=〃；

(〃+2)12(n+l)-n111

⑵由⑴可知，小+1)FK-

P=++.??+—T^f-,，BP^,=1-zy,?

n12x2）（2x23x2）（n+l）-2J（n+n1）-2

【點睛】

此題考查求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和，關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形，發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系，裂項求和作為一

類常用的求和方法，需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項方式.

20、（1）a=-l（2）證明見解析

【解析】

⑴求導(dǎo)可得在［上呼顯,+8上用工)〉。,在［o’+q7礪上/兇刀)<。,所以函數(shù)/(尤)在x=i+，f時,

\7V74

取最小值,由函數(shù)/(無)只有一個零點，觀察可知/(1)=0則有1+J；-8a=1,即可求得結(jié)果.

⑵由⑴可知/'⑴=0為最小值,/(玉)=/(%2)則。<再<1<工2構(gòu)造函數(shù)

/i(x)=/(x)-/(2-x)=2x-2-lnx+ln(2-x)(0<x<l)，求導(dǎo)借助基本不等式可判斷網(wǎng)工)為減函數(shù),即可得

人(西)>網(wǎng)1)=°，即"&)=/(%)一〃2-菁)>0則有/(2由已知可得

/(2-^)</(X2),由西<1,可知2-%>1,因為時,/(%)為增函數(shù)，即可得2-西<々證得結(jié)論.

【詳解】

(1)f'(x)=2x-l+-=2x2~X+a(x>0).

XX

因為avO,所以l—8a>0,

令第x)=0得%=匕竽？，

1+Jl—8a

X)------------------，

4

且芭<0,x2>0,在I+'1阻,+8上/4%)>0；

在0,二零比上/?x)<0；

所以函數(shù)〃無)在xJ+q3詬時,取最小值，

當(dāng)最小值為。時，函數(shù)“X)只有一個零點，

易得/(1)=0,所以匕正迎=1,

解得。=一1.

(2)由(1)得。=一1,函數(shù)/(x)=x2-x-lnx,

設(shè)/(%)=/(%2)=加(m>0)，貝！1。<為<1<%，

^/i(x)=/(x)-/(2-x)(0<x<l),

貝！I/?(%)=x2一九一In九一(2—x)-+(2—尤)+ln(2—x)=2九一2—lnx+ln(2-x)，

1122

//(%)=2-------------=2-——-<2---------------7=0

x2—xx(2-x)廣+2-J,

所以〃(x)為減函數(shù)，所以//(菁)>網(wǎng)1)=0,

即“(%)=/(%)一/(2-％)>0,

所以/(2—玉)</(藥)，即/(2—石)</(w)，

又西＜1,所以2—七＞1,

又當(dāng)尤＞1時，/(無)為增函數(shù),

所以2-X]<々，即X]+%2>2.

【點睛】

本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查學(xué)生分析問題的能力，及邏輯推理能力，難度困難.

3

21、(I)y=2x——(II)

2

【解析】

(I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解;

(H)構(gòu)造函數(shù)y=/(x)-%加，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.

【詳解】

(I)當(dāng)m=1時，/(x)=x[lnx+g，則/'(x)=2x[lnx+g

+x.

所以八1)=2.

113

又/⑴=萬，故所求切線方程為丁―Q=2(X—1)，即y=2x-].

(II)依題意，得mx?+〉xlnx,

即g：2kn%+L]-jdn%＞0恒成立.

2

令g(x)=rwcHnx+^--xlnx,

則g'(%)=(2mx-l)(lnx+1).

①當(dāng)相KO時，因為g(l)=g7〃VO,不合題意.

②當(dāng)0<mWl時，令g'(x)=0,

金11-11

得玉=，X=—9顯然〉一.

2m2e2me

令g'(x)>0,得0<x<工或x〉